C.R.,t. IX, p. 359 (16 septembre

L'Académie nous a chargés, M. Liouville et moi, de lui rendre compte d’un Mémoire de M. Lamé sur le dernier théorème de Fermat.

On sait que Fermat, l’un des plus beaux génies qui aient illustré la France, a donné des énoncés de plusieurs théorèmes, parmi lesquels il en est deux dont la démonstration a été pendant longtemps recherchée avec ardeur par divers géomètres. De ces théorèmes il n’en reste plus qu’un seul qui ne soit pas aujourd’hui complètement démontré : c’est le théorème relatif aux puissances des nombres entiers, et suivant lequel une puissance d’un degré x supérieur au second ne peut résulter de l'addition de deux puissances du même degré. On sait toutefois que le théorème, une fois démontré pour une valeur particulière de », l’est en même temps pour tous les multiples de cette valeur, et que, d’après les principes établis par Fermat lui-même, le théorème se démontre assez facilement pour » — 4. De plus, Euler et M. Legendre sont parvenus à le démontrer encore pour les valeurs 3 et 5 de l’exposant ». Mais leurs démonstrations sont fondées sur la théorie des formes quadratiques des nombres premiers; et les difficultés que M. Legendre a eu à surmonter, pour le cas de x — 5, laissaient peu d'espoir d'appliquer avec succès les mêmes principes au cas où 7 acquiert des valeurs plus considérables. Toutefois, cette considération n’a pas empêché M. Lejeune-Dirichlet, dont les recherches sur la théorie des nombres avaient été utiles à M. Legendre, de s'occuper de nouveau du dernier théorème de Fermat; et, à l’aide d’un artifice particulier de calcul, il est parvenu à le démontrer pour le cas où l'on suppose n =14. M. Lamé a considéré à son tour un cas qui renferme le précédent, savoir, le cas où l’on suppose 7 — 7; et les savants apprendront

avec plaisir qu'il est parvenu effectivement au but qu'il s'était proposé d'atteindre.

Pour démontrer l'impossibilité de résoudre en nombres entiers une équation de la forme F LIRE STE 0, où = est supposé négatif, M. Lamé n’a point recours à la théorie des formes quadratiques des nombres premiers. Après avoir prouvé à l'ordinaire que

peuvent être supposés premiers entre eux, il démontre un lemme, digne de remarque, savoir, que le rapport entre la somme

X +V+.3 des trois inconnues et la racine 7° du produit des trois sommes TH+Ÿ, + Y+Z,

ou de ce produit multiplié par 7, est un carré parfait; puis, à l’aide de ce lemme, il prouve facilement qu'il est impossible de supposer les trois inconnues non divisibles par 5, ce que l’on savait déjà. Enfin, en supposant l’une des inconnues divisible par 7, et s'appuyant sur le lemme dont il s’agit, il remplace l'équation proposée, du septième degré, par une autre équation dont le premier membre est du quatrième degré, le second membre étant du huitième, et qui peut être présentée sous la forme

Z—4x8— 32x17 + rs;

puis il démontre l'impossibilité de résoudre cette dernière équation, à l’aide d’une suite d'opérations semblables à celle que fournit la résolu-

tion d’une équation de la forme L Abel As A.

En lisant avec soin le Mémoire de M. Lamé, nous nous sommes demandé : 1° si le lemme dont il a fait usage se trouve compris dans

EXTRAIT N° 62. 501 quelque autre proposition plus générale relative à une valeur quelconque de x; 2° s’il ne serait «pas possible d’abréger encore la démonstration donnée par M. Lamé pour le cas de x — 7. Nous avons reconnu qu'effectivement le lemme de M. Lamé est une conséquence nécessaire d’un théorème d'Analyse qui nous semble assez curieux pour mériter

d'être indiqué dans ce Rapport. Voici l'énoncé de ce nouveau théorème :

St l’on retranche la somme des puissances n°" de deux inconnues x, y

de la puissance n°°"° de leur somme " TT; le reste sera divisible algébriquement, non seulement par le produit nxy(x +),

comme on le reconnaît aisément; mais encore, pour des valeurs de n superieures à 3, par le trinôme

2x3 — y AIH ar +r*= Sepi

et méme par le carré de ce trinôme, lorsque n, divisé par 6, donnera pour reste l'unité.

En appliquant ce théorème aux cas où l'on a RÈES ER F}} Jp OZ Tip V1

nd n 5; Bb;

on obtient successivement les formules

(x +yh— 2x8— y3— 3xy(x +y), SE TStN 2.

(x Hp} — xs — 95 = Say(x +y)(2?+ ay +7), fe Hp at— pt = zx +r)(e+zr +}, dont la dernière conduit sans peine au lemme de M. Lamé. Quant à la seconde question, nous avons reconnu qu'on abrège la

démonstration de M. Lamé quand on commence par établird'impossibilité de résoudre l’équation

| 1 RE ONU

en prenant pour +, y, z des nombres premiers entre eux, et pour y un carré pair. Au reste, la méthode par laquelle on y parvient ne diffère pas au fond de celle qui sert à démontrer l'impossibilité de résoudre en nombres entiers l'équation

etservirait pareillement à établir l'impossibilité de résoudre en nombres entiers une multitude d'équations de la forme

32—= x\— Ax?y2+ By*.

Nous ne terminerons pas ce rapport sans rappeler qu'à une époque antérieure M. Lamé s'était déjà occupé de la théorie des nombres. Au moment où l’Académie proposa, pour sujet de prix, le dernier théorème de Fermat, elle reçut un Mémoire qui ne résolvait pas, il est vrai, la question proposée, mais qui renfermait du moins des théorèmes curieux sur l'impossibilité de la résoudre sans que certains nombres, égaux, par exemple, à l’unité augmentée du double ou du quadruple de l’exposant, fussent diviseurs de l’une des inconnues. L'un de nous, nommé Commissaire à cette époque avec M. Legendre, se rappelle encore avoir lu ces théorèmes dans le Mémoire envoyé au concours. Si l’auteur, que nous avons su depuis être M. Lamé, ne parvint pas alors à remplir entièrement le vœu de l’Académie, son travail n'était pourtant pas sans mérite, et son nouveau Mémoire prouve qu'il est capable de lutter avec avantage contre des difficultés qui dans cette matière n’ont pu être jusqu'à présent complètement surmontées par les géomètres.

En résumé, vos Commissaires pensent que le Mémoire de M. Lamé est digne de l’approbation de l’Académie, et mérite d’être inséré dans le Recueil des Savanis étrangers.

Les conchusions de ce Rapport sont adoptées.

Post-scriptum. — On démontre aisément le nouveau théorème énoncé dans ce Rapport de la manière suivante :

Soient de <8

les trois racines de l’équation