C. R.,t. IX, p. 473 (14 octobre

Dans une des précédentes séances, en annonçant la découverte d’un Manuscrit de Fermat, M. Libri a remarqué que ce Manuscrit renfermait l'énoncé, non seulement des théorèmes déjà connus de cet illustre géomètre, mais encore d’autres propositions dignes de remarque. Ainsi, en particulier, Fermat annonce qu'il a trouvé une méthode pour décomposer directement en deux carrés un nombre premier de la forme 4x + 1. Toutefois nous avons eu le regret d'apprendre que cette méthode ne se trouve, ni exposée, ni même indiquée dans le Manuscrit de Fermat. Heureusement, comme je l’ai observé, la décomposition dont il s’agit, et d’autres du même genre, peuvent aujourd’hui être effectuées par des méthodes directes, comme Fermat l’annonçait, et même à l’aide de calculs qui n’exigent que de simples additions, comme on le verra tout à l’heure. Dans son beau Mémoire sur les résidus biquadratiques, publié en 1825, M. Gauss donne une règle à l’aide de laquelle on peut obtenir directement la racine de l’un des carrés dans lesquels se décompose un nombre premier de la forme 4n + 1. Il suffit de chercher le plus petit reste qu’on obtient en divisant par » la moitié du coefficient du terme moyen dans la puissance 27 d’un binôme. De

plus, dans le Journal de M. Crelle de 1827, M. Jacobi annonce qu'en cherchant la démonstration de la règle de M. Gauss, il a été conduit par une théorie féconde à des règles du même genre qui fournissent, par exemple, la réduction d’un nombre premier p, ou du quadruple de ce nombre, à la forme quadratique x? + 77°, lorsque p — 1 est divisible par 7, ou a? + 27y°, lorsque p — 1 est divisible par 3. Enfin, dans des Notes et Mémoires publiés, ou présentés à l’Académie en 1829 et 1830, je me suis à mon tour occupé de la recherche directe des formes quadratiques des nombres premiers, et j’ai été assez heureux pour parvenir à des résultats dont la grande généralité a paru digne de l’attention des géomètres. Tel est, entre autres, un théorème établi dans un Mémoire du 17 mai 1830, et suivant lequel, z étant un nombre premier de la forme 4x + 3, et p un nombre premier de la forme 7x +1, on peut résoudre directement en nombres entiers l'équation

x?+ ny?= p" ou

a+ ny?=4p", dans laquelle la valeur de »2 se déduit par une règle facile de ce qu'on appelle les nombres de Bernoulli. Ce théorème, qui a été publié, avec un extrait du Mémoire en question, dans le Bulletin de M. Férussac de mars 1831, et d’autres théorèmes analogues se trouvent démontrés dans ce Mémoire, dont l’impression s'achève en ce moment, et à la suite duquel j'ai placé des Notes nouvelles qui me paraissent de nature à intéresser les savants occupés de la théorie des nombres. Parmi les résultats nouveaux auxquels je suis parvenu, je citerai dès à présent une méthode directe qui sert à déterminer l’exposant d'une puissance d’un nombre premier p représentée par un binôme de la forme

GX? + vY® ou

°F V0}, où par le quart de ce binôme, 6 et v étant deux diviseurs premiers impairs de p— 1, dont l’un est de la forme 4x + 1, et l’autre de la forme

lberes de C. — SA, & IV. 6;

4x + 3. Au reste, je ne fais aujourd'hui qu'indiquer le sujet de mes nouvelles recherches, et je demanderai à l’Académie la permission de lui donner plus de détails à cet égard dans l’une des prochaines séances.

J'ajouterai seulement ici une observation qui n'est pas sans importance. Dans les formules auxquelles je parviens, comme dans les formules que j'ai citées de MM. Gauss et Jacobi, Les valeurs des inconnues se déduisent toujours des restes que donnent les coefficients du binôme divisés par un nombre premier donné. II semblerait en résulter au premier abord que la détermination de ces valeurs exige la formation de produits composés souvent d’un très grand nombre de facteurs; mais, pour éviter cette formation et réduire le calcul à de simples additions, il suffit, comme je l’ai déjà remarqué dans un Mémoire du 5 juillet 1830, de recourir au triangle arithmétique de Pascal et de réduire en même temps chaque terme au reste le plus petit (abstraction faite du signe) que donne la division de ce terme par le nombre premier donné. On peut même alors réduire le triangle arithmétique à quelques termes de chaque ligne horizontale, les termes suivants reproduisant périodi-

quement les termes déjà calculés.

Sur la théorie des nombres, et en particuker sur les formes quadratiques

des puissances d’un nombre premier ou du quadruple de ces puissances.