C.R.,t. IX, p. 519 (28 octobre

Suivant une observation importante faite par Lagrange, la résolution algébrique des équations du second, du troisième et du quatrième degré, aussi bien que la résolution algébrique des équations binômes, peut se déduire de la considération d’une seule fonction linéaire des racines ; savoir, de celle qu’on obtient en prenant pour coefficients des

diverses racines d’une équation proposée, de degré », les diverses raeines nims de l'unité, ou plus généralement les diverses puissances de l’une de ces dernières racines. Cette fonction sera, pour plus de commodité, désignée ici sous le nom de fonction principale. Lorsqu'on veut appliquer l'observation que je viens de rappeler à la résolution d’une équation binôme du degré p, ou de la forme

(1) XP—1—=0,

on doit d’abord débarrasser celle-ci de la racine r, en la réduisant à l'équation suivante :

XPH XP +... +X+IiZ O0,

et par conséquent on doit, dans la fonction principale, prendre pour coefficients les racines de l’unité du degré p — 1, ou les puissances de l’une de ces racines. Si d’ailleurs on nomme, avec M. Poinsot, racines prünitives de l'équation binôme, celles qui ne peuvent satisfaire à aucune équation binôme de même forme, mais de degré moindre, les diverses racines de l’équation du degré p seront, comme l'on sait, les diverses puissances d’une racine primitive quelconque, les exposants de ces puissances pouvant être réduits aux divers nombres inférieurs à p, OU, ce qui revient au même, aux divers termes de la progression arithmétique Do SUR, pra,

et deux puissances représentant la même racine, lorsque leurs exposants divisés par p donnent le même reste, c’est-à-dire, en d’autres termes, lorsque leurs exposants sont équivalents entre eux, suivant le

LA

module p. Ainsi,

étant une racine primitive de l'équation (1), on trouvera généralement