GA

lorsqu'on aura, suivant la notation de M. Gauss, - h=k (modp);

et de plus les diverses racines de l'équation (1) pourront être représentées par

1, 9, 62, @P-1, par conséquent celles de l’équation (2) pourront être représentées par

BR opee

La fonction principale 6 sera la somme de ces dernières, rangées dans un ordre quelconque et respectivement multipliées par les diverses racines de l’unité du degré p — 1, c’est-à-dire par les diverses racines de l'équation

(3) rires,

ou plus généralement par les diverses puissances de Fune de ces racines. Donc, si l’on nomme + une racine primitive de l’équation (3), les coefficients des diverses puissances de 9 dans la fonction principale seront les divers termes de la suite

TX LH PTT ou plus généralement les divers termes de la suite ls rh, T°, be r(p—2)#, c’est-à-dire les diverses puissances d’une racine quelconque + de l’équation (3). Si le nombre entier À est premier à p — 1, les termes de la seconde suite seront les mêmes, à l’ordre près, que ceux de la pre-

mière. Mais si le nombre 2 a pour facteur un diviseur & dep — 1, en

sorte qu on ait P—1—=nS,

n termes de la seconde suite seront égaux à chacune des racines de l’équation

(4) æu= 1,

et, si l’on nomme & une racine primitive de cette dernière équation, les termes réellement distincts de la seconde suite se réduiront à

lé D Di re WT Lorsque p est un nombre premier impair, alors, d’après un théo-

rème connu de Fermat, la puissance du degré p — 1 de tout nombre non divisible par p, et par conséquent de chaque terme de la progression arithmétique

OU CINÉ TONER P—1;, est équivalente à l’unité, suivant le module p. Donc alors, si l’on adopte la notation de M. Gauss, ces divers termes seront les diverses racines de l’équivalence

(5) æP-l=1 (modp).

Soit une racine primitive de cette dernière, c’est-à-dire un nombre entier tellement choisi que, dans l’équivalence

(6) tPrl=1 (modp}), on ne puisse remplacer l’exposant p par un exposant positif moindre. Les divers termes de la progression arithmétique

Re M di cou Doi

seront, à l’ordre près, équivalents, suivant le module p, aux divers termes de la progression géométrique

RE LR SONORE: er

et par conséquent les diverses racines de l'équation (r) pourront être représentées par

CR RS AP PSC ARCS Si l’on multiplie respectivement ces dernières, dans lesquelles les exposants forment une progression géométrique, par les divers termes de cette autre progression géométrique

ou plus généralement de celle-ci

PR ME SP A à ca

la somme des produits obtenus sera évidemment une des valeurs de la fonction principale. En désignant cette valeur par 6,, on aura

(7) 02 —=0 + ThQ+ rh E,, + TCp-DADET,

Or, comme je l’ai déjà remarqué dans le Bulletin de M. Férussac de septembre 1829, la valeur précédente de la fonction principale a cela de très remarquable que, si l’on y remplace 2 par — L en changeant seulement le signe de l'indice k, le produit des deux valeurs ob-

tenues 0», O»

sera égal au nombre p pris avec le signe + ou avec le signe —, suivant que l'indice k sera pair ou impair, pourvu toutefois que 2 ne soit pas

divisible par p. Si k était divisible par p, alors, en vertu de la formule (8) 1+0+02+.:.+060P-1— 0,

on aurait évidemment

(9) Mr:

Mais, dans le cas contraire, on aura généralement (ro) 00-2—(—1)#p, Savoir,

si À est pair, et 01 —p

dans le cas contraire. Pour cette raison, nous désignerons les deux expressions imaginaires

0, 0% sous le nom de facteurs primitifs de + p, et nous dirons que ces deux facteurs sont conjugués l’un à l’autre.

EXTRAIT N° 64. o1f

Comme l’on a

il en résulte que l'équation (3) se décompose en deux autres, savoir

Nr (12) HE,

et l'équivalence (5) en deux autres, savoir

bEA

(13) 44 1! (mod. p), Psri

(14) æ?=—1 (mod.p).

Or, = et, étant racines primitives des formules (3) et (5), ne peuvent vérifier les formules (11) et (13); ils vérifieront donc les formules (72 et (14), en sorte qu'on aura

p—1 (14 bis) PA et, Pi (15) t? =—1 (mod.p).

Donc, si l’on pose (16) BEL DES RON QT A,

on aura

sr . \ et, en posant 4 —P = on tirera de la formule (10)

Cette belle formule est l’une de celles que M. Gauss a données dans ses Recherches arithmeétiques. D'autre part, comme, en posant

æ=l?" (mod.p},

ilest clair que les diverses racines de l’équivalence (13) seront les puissances paires de £, savoir | BR HN LU ou, ce qui revient au même, les divers termes de la suite 12,02 D eu it

Done chaque racine de l'équation (13) est le reste ou résidu de la division d’un carré par p; ce qui n’a pas lieu pour les racines de l’équiva- . lence (14). On dit pour cette raison qu'une quantité entière 2 est résidu quadratique où non-résidu quadratique, relativement au module p, sui-

ant que k est racine de la formule (13) ou de la formule (14), c’està-dire suivant que le reste de la division de

par p se rédyit à + 1 ou à — 1. Nous désignerons ce même reste, avec

en sorte qu’on aura, si est résidu quadratique,

où p-—

Une propriété remarquable des facteurs primitifs de p, c'est que le

M. Legendre, par la notation

et si À est non-résidu

produit de deux ou plusieurs facteurs de cette espèce est proportionnel à un semblable facteur. En d’autres termes, on a

0x 04 — Rz,x Onvx, et généralement

(18) On 0x 0... = Rx. Bhrktits

les expressions Rs,r Rz,2,0

étant indépendantes de 6, et se réduisant en conséquence à des fonctions symétriques de +”, +“, ou généralement de