ILE TE

Cela posé, si, en attribuant au paramètre & une valeur réelle et positive, on fait croître cette valeur par degrés insensibles, depuis & — 0 jusqu’à & — #, les racines de l'équation (27) ou (31) commenceront par être développables, chacune séparément, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de #, et ne cesseront pas de l'être si l’on remplace la valeur réelle et positive attribuée à par une valeur 1maginaire dont cette valeur réelle soit le module.

Les mêmes séries continueront d’être convergentes tant que la valeur positive du paramètre #, ou son module, restera inférieure à tous les modules principaux de ce paramètre. Mais, le module de z venant à croître, les racines devront être distribuées en divers groupes dont le nombre, d’abord égal à », c’est-à-dire au degré de l'équation (r),-diminuera d’une unité chaque fois que deux racines comprises dans deux groupes différents deviendront égales entre elles pour une valeur donnée du paramètre z. Alors ces deux groupes se réuniront en un seul, composé de racines dont la somme, ainsi que celle de leurs puissances entières de degré quelconque, continuera d’être développable suivant les puissances ascendantes de &. Si trois, quatre, ... racines comprises dans trois, quatre, ... groupes différents devenaient égales entre elles, la valeur principale correspondante du paramètre se trouverait fournie par une valeur principale de x, qui serait elle-même une racine double, triple, ... de l'équation (13). Alors aussi, le module de x venant à croitre au delà de sa valeur principale, les trois, quatre, . groupes différents se réuniront-en un seul. Il suit de ces diverses re-

marques que, si l’on nomme | | n—l

le nombre des groupes correspondants à un module donné de &, le nombre entier / ne pourra surpasser le nombre des modules princi-

paux de £ inférieurs au module donné. Done, si ce dernier module est “égal à #, le nombre /, d’après ce qui a été dit plus haut, ne pourra surpasser la quantité

et pour chacune des équations (27), (31), réduites à l'équation (1), en vertu de la supposition : — #, le nombre des groupes de racines surpassera la différence

IN n+m (35) " À Lara : = - « 2 2

IL y a plus, si l’on nomme 7’ le nombre des racines réelles de l’équation (13), le nombre de ses racines imaginaires, savoir n—mMm'—1

sera égal ou supérieur au nombre des modules principaux de # qui ne surpassent point la quantité #£; et par suite, le nombre des groupes de racines, pour l'équation (27) ou (31), réduite à l'équation (r), en vertu de la supposition # — #, sera égal ou supérieur à la différence n—m'—1 1+m+n

(36) Les ==

Supposons maintenant que, parmi ces groupes, ceux qui renferment une seule racine soient en nombre égal à »,, ceux qui renferment deux racines en nombre égal à »,, ceux qui renferment trois racines en nombre égal à »,, ete. On aura tout à la fois

I+m+n (37) Ri+ le ++... OÙ > ———;

(38) Ri+2N +3n3+...—=n,

puis on en conclura

n+h—= OU Dan +R+nN3+...)= Ou >iI1+m+n,

par conséquent, (39) Ni=OUDI+M, R>m.

Donc, le nombre n, des racines qui resteront isolées, et séparément développables suivant les puissances ascendantes de ? — #, surpassera le nombre #2’ des racines réelles de la dérivée. On peut donc énoncer le théorème suivant.

Taéorèue I. — La fonction f(x) étant supposée de forme réelle, l’équa-

lion

1) ffr)—=0o | F2

considérée comme déduite de la formule (27) ou (31) par la supposilion i— k, offre plus de racines développables en séries convergentes, ordonnées

suivant les puissances ascendantes de 1, que l'équation dérivée

n'offre de racines réelles.

Corollaire. — I en résulte que, dans tous les cas, une racine au moins de l'équation (1), si le degré r est un nombre impair, deux raeines, si le degré x est.un nombre pair, pourront être immédiatement développées en séries convergentes.

Les théorèmes I et IT, ainsi que j'en ai fait l'observation dans ma Lettre du 24 février, sont du nombre de ceux auxquels j'étais parvenu à Turin. En s'appuyant sur ces théorèmes, on pourrait développer successivement en séries convergentes toutes les racines d’une équation donnée f(x) —o. Car, après avoir développé une première racine +,, on pourrait en développer une seconde x, considérée comme racine de l’équation f{x)—f(xo) PR NES TT. \yn-3 e + ne ou 2-1+{ro+ a )ar 2 + (xt + Lo +2) +... — 0, puis une troisième æ,, ..., et ainsi de suite. Si la racine x, devenait imaginaire ou de la forme 2 +6Y—1, alors f(x) étant de forme

réelle, on connaîtrait immédiatement la racine imaginaire conjuguée 4 — By— 1, et, en nommant x, cette dernière, on pourrait développer une troisième racine +, considérée comme propre à vérifier l'équation

ANT HR (Lo+ Li + M)Ar 3 +...—0, etc:

On pourra, d’ailleurs, déterminer les limites de l’erreur que l’on commettra sur une racine en réduisant son développement à un nombre fini de termes, et réciproquement déterminer une limite du nombre des termes qu'il faudra conserver pour obtenir la valeur de chaque racine avec une certaine approximation, par exemple à à près, N étant un nombre entier quelconque. Les problèmes de ce genre sont précisément l’objet du nouveau calcul que j'ai appelé Calcul des limites, et qui s’applique même aux équations transcendantes. (Voyez le Mémoire présenté à l’Académie de Turin, le 11 octobre 1831.)

Je passe à la démonstration du théorème ITF, énoncé dans ma Lettre du 24 février.

Soient x, 6 deux quantités réelles, f(x) étant toujours une fonction entière de forme réelle, et

(40) zx—a+6ÿ—1

une valeur de x propre à vérifier l’équation (27) ou (31) pour une valeur donnée réelle ou imaginaire de r. Si l’on fait varier cette dernière par degrés insensibles, en faisant croître son module, la valeur de x, et par suite celles de x, 6, varieront elles-mêmes par degrés insensibles; mais 6 ne pourra changer de signe avant que le module de : devienne supérieur à #. En effet, 6 ne pourra changer de signe sans passer par zéro, c’est-à-dire sans que x devienne réel, et pour une valeur réelle de x l'équation (27) ou (31) fournira un module de : équivalent à l'expression (23), par conséquent égal ou supérieur à #, suivant que x sera ou ne sera pas racine de l'équation (1). Il résulte de cette observation que, le module de z venant à croître depuis la limite zéro jusqu’à la limite #, le coefficient 6 de ÿ— 1, dans une racine imaginaire de l'équation (27) ou (31), ne pourra jamais changer de signe,

mais seulement s’évanouir pour = #, si l'équation (1) a des racines réelles. D'ailleurs, avant de se réunir dans un même groupe, deux racines imaginaires de l'équation (r), dans lesquelles les valeurs de 6 ou les coefficients de ÿ— 1 se trouvent affectés de signes contraires, doivent devenir égales entre elles, ainsi qu’à une valeur principale de x, et par suite l’un de ces coefficients doit changer de signe. Done, puisque ce changement ne saurait avoir lieu avant que le module de devienne supérieur à #, nous devons conclure que les racines imaginaires de l’équation (27) ou (31), dans lesquelles le coefficient de

ÿ— 1 sera positif, resteront séparées des racines imaginaires dans les-

quelles le coefficient de ÿ— 1 sera négatif, tant que l’on aura (41) modi << h.

Alors chaque groupe sera exclusivement formé des unes ou des autres; par conséquent la somme des unes, aussi bien que la somme des autres, sera développable, avec la somme de leurs puissances entières de degré quelconque, suivant les puissances ascendantes du paramètre &. D'ailleurs, tant que la condition (41) sera remplie, 1l est évident que l'équation (27) ou (3r) n’admettra point de racines réelles.

Lorsque & devient précisément égal à #, l'équation (27) ou (31) se réduit à l'équation (1), et peut offrir des racines réelles. Mais alors la somme des racines, dans lesquelles le coefficient de ‘1 avait un signe déterminé, ne pourrait cesser d’être développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de #, qu’autant qu’une valeur principale de #, correspondante à une valeur principale de æ, dans laquelle 6 s’évanouirait, c’est-à-dire à une valeur principale et réelle de +, offrirait pour module le nombre #. Alors aussi, l’expression (23) devant se réduire à #, on aurait à la fois

et par conséquent l'équation (1) admettrait des racines égales, contre l'hypothèse généralement admise dans ce qui précède. Donc,-en reve-

EXTRAIT N° 13. 73 nant à cette hypothèse, nous pourrons énoncer la proposition suivante :

Tuéorème IT. — La fonction (x) étant supposée réelle et entière, si l'on distribue les racines toutes imaginaires de l'équation (25) ou (29) en deux suites distinctes, la première suite comprenant les racines dans lesquelles le coefficient de WŸ— 1 est positif, et la seconde suite, les racines dans lesquelles le coefficient de V— 1 est négatif; les mêmes conditions sont remplies, pour un module de à inférieur à k, par les racines de l'équation (27) ou (31), qui pourront être distribuées en deux nouvelles suites correspondantes aux deux premières, et composées chacune de racines dans lesquelles les coefjtcients de V— 1 seront tous et toujours affectés du méme signe. Alors la somme des termes de la troisième ou quatrième suite, ainsi que la somme de leurs puissances entières de degré quelconque, sera développable en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de 1, le premuer terme de la série étant la somme des termes de la première ou de la seconde suite, ou

de leurs puissances entières du degré donné. St l'équation (1) n'a point de | racines égales, les séries obtenues ne cesseront pas d’être convergentes quand on posera i—k, ce qui réduira les formules (27) et (31) à l'équation (1) elle-même, et par conséquent l'équation (x) pourra étre décomposée en deux autres dont les racines coincideront respectivement avec

les termes de la troisième suite, puis avec les termes de la quatrième.

Corollaire. — Parmi les racines réelles que peut admettre l’équation (1), il importe de savoir quelles sont celles qui devront être censées appartenir à la troisième suite ou à la quatrième. Or, pour décider cette question relativement à une racine donnée de l'équation (r), à la racine a par exemple, il suffira de rechercher si, en considérant la racine a comme la limite vers laquelle converge une racine imaginaire de l’équation (27) ou (3r), tandis que le module de # croît et converge vers la limite #, on doit supposer dans cette racine imaginaire le coefficient de ÿ— 1 ou positif ou négatif. Soit

(42). æ—=a+Ôû+e—1

la racine imaginaire dont il s’agit, à, « désignant deux quantités réelles, OEuvres de C.—S.I,t.1V. d 10

7h COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

qui deviennent infiniment petites pour une valeur de z infiniment rapprochée de #, et s’'évanouissent pour z — #. Posons en outre

or f(a+dHeÿ—1)=D+eEÿ— 1,

D, E désignant encore deux quantités réelles. En vertu des formules (42), (43), les équations (27) et (31) donneront

44) LS ik+eE-DYy—:,

(45) 1h 2E+Dy 1,

la valeur de E étant

(46) pe ((etèev (axe)