D PUR PA PL: PRÉ DE
de l'équation (1) étant rangées d’après l’ordre de leurs grandeurs, lorsqu'on reviendra, en suivant l’ordre inverse, de la dernière 2 à la première a, ces racines fourniront des valeurs de f(x) alternativement positives et négatives, la valeur f’(2) qui correspond à la dernière racine étant positive. En effet, la fonction f(x), qui s’évanouit quand x se réduit à l’une de ces racines, doit nécessairement, dans le passage de l’une à l’autre, commencer par croître et finir par décroitre, ou commencer par décroitre et finir par croître. Mais, à partir du moment où la valeur croissante de x atteint la dernière racine réelle 4, il faut que la fonction f(x) croisse pour devenir positive, puisque avec son premier terme +” elle doit être positive pour de très grandes valeurs de æ. D'autre part, on sait que la dérivée f(x) est positive ou négative suivant que la fonction f(x) croit ou décroit pour des valeurs croissantes de x. Cela posé, si le-nombre »2 des racines réelles &, b, €,
d, ..., g, h est impair, la fonction dérivée f'(x) sera négative pour
HE
racines réelles, savoir
hdi hp
Là À on | . à a racines réelles, savoir
et positive pour Hd lin hi. , Si, au contraire, le nombre »2 est pair, la fonction f(x) sera négative m + , .
pour -- racines réelles, savoir OR HET € 5.6 m . , Ê et positive pour - racines réelles, savoir
b, dissous sh
Done, si l’on pose, pour une valeur impaire de 7»,
et pour une valeur paire de 2,
si d’ailleurs on nomme U le produit des facteurs simples qu'on obtient en retranchant successivement de + les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de ÿ— 1 est négatif,-et V le produit des facteurs simples conjugués aux premiers; la troisième et la quatrième des suites mentionnées dans le théorème précédent auraient pour termes les racines de l'équation (r) propres à vérifier la première et la seconde des deux formules
(51) Hi O0,
ou eV = 0,
ou bien encore la première et la seconde des deux formules
(53) | sU—e,
(54) uV =,
suivant que l’on supposera l'équation (r) tirée de la formule (27) ou de la formule (31) par la supposition # — #. D'ailleurs, les coefficients des équations (51) ou (52) et (53) ou (54) se déduiraient sans peine de la somme des térmes de la troisième ou de la quatrième suite, et de la somme de leurs puissances semblables et entières des divers degrés. Donc l'équation (1), ou
(55) uvUV = 0,
pourra être, en vertu du théorème HI, décomposée à volonté soit
dans les équations (51) et (52), soit dans les équations (53) et (54). Mais, en divisant par leur plus grand commun diviseur les premiers
membres des équations (51) et (53), ou (52) et (54), on réduira ces équations à
(56) L'on + NON dE
De même, en divisant par leur plus grand commun diviseur les pre- miers membres des équations (51) et (54), ou (52) et (53), on réduira ces équations à
(57) U — 0, F0, On peut donc énoncer le théorème suivant :
Tuéorème IV. — La fonction entière f(x) étant réelle, et les racines de l'équation (1) inégales entre elles, cette équation pourra toujours être decomposée en quatre autres, qui offrent seulement :
La prenuére, les racines réelles pour lesquelles f (x) est négau/f;
La seconde, les racines réelles pour lesquelles f(x) est positif;
La troisième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de V— 1 est négatif:
La quatrième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de
V— 1 est positif.
Corollaire. — Cette proposition coïncide avec le théorème III de ma Lettre du 2/4 février, et lorsqu'on la joint au théorème [, elle fournit la détermination complète des racines réelles d’une équation de degré quelconque. J'ajouterai que cette détermination peut encore être simplifiée à l’aide des considérations suivantes :
Soient s la somme des racines de l'équation (1), ou de leurs puissances semblables d’un degré donné /, et
RE TV et la somme des puissances semblables, et de même degré, des racines de l'équation (51),
