RD

(64) s—28—— a + bt

Si le nombre / est impair, la formule (63) ou (64), dans laquelleS représente la somme d’une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de à — #, fournira, pour une valeur impaire de /», la somme des puissances semblables, et du degré {, des m racines de l'équation :

EXTRAIT N° 13. 19 ou, pour des valeurs paires de #2, la somme des puissances semblables, et du degré /, des 77 racines de l’équation

(66) (æ+a)(æx—b\(x+c)(x—d)...{(x+g(x —h)—o.

D'ailleurs, étant donnée, pour une équation du degré 77, la somme des puissances semblables des racines des degrés représentés par les

nombres HIS, y 5%, Vam —5},

on en tire aisément, à l’aide de formules toutes linéaires, les coefficients des diverses puissances de æ dans le premier membre de cette équation. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :

Tuéorème V. — La fonction f(x) étant supposée entière et de forme réelle, et les racines de l'équation (1) inégales entre elles, on pourra déterminer immédiatement, à l'aide de series convergentes, les coefficients d'une autre équation qu offrirait seulement pour racines les racines réelles de l'équation (1) prises avec le signe + ou avec le signe — suivant qu'elles

correspondent à des valeurs positives ou négatives de f(x).

Corollaire. — Le théorème V, joint au I, suffit à la détermination de toutes les racines réelles d’une équation de degré quelconque. Je me propose de revenir, dans une Note nouvelle, sur cette détermination, d’éclaircir encore ce qui a été dit ci-dessus en montrant la méthode appliquée à des exemples numériques, et d'établir d’autres théorèmes relatifs à la résolution des équations. Parmi ces théorèmes, on doit distinguer ceux auxquels on est conduit lorsque, dans les for-

mules (17), (18), (19), la valeur de 5 cesse d’être égale à + =: On doit

Œ surtout remarquer le cas où l’on a eV! — +1, On peut aussi établir facilement la proposition suivante :

TaéorÈme VI. — H(x) et w(x) désignant deux fonctions entières, la première du degré n, la seconde du degré m<n, et dans lesquelles les

coefficients des plus hautes puissances de x sont réduits à l'unité, suppo-

sons que les racines réelles et Jirues des deux équations

(68) sx) =, ctant rangées par ordre de grandeur, forment la suite RS D a ds Het

En donnant à cette suite, pour termes extrémes, — &, +, on ob-

et, si l'on nomme i une quanitté réelle positive, deux termes de la derniére suite, pris conséculivement, pourront comprendre entre eux des racines

réelles d'une seule des deux équations

Si l’on nomme 1°", 2°, 3°, ... intervalle les intervalles compris entre le 1% et le 2° terme, entre le 2° et le 3°, entre le 3° et Le 4°, ..., les racines réelles de l'équation (70) ne pourront être rénfermées que dans le 1", le 3°, le 5°, … intervalle, lorsque 2 — m sera pair, et dans le 2, le 4°, le 6°, ... intervalle, lorsque 7 — m sera impair. Ce sera l'inverse pour l'équation (71). De plus, le nombre des racines réelles de l’équation (70) ou (71) qui pourront se trouver comprises dans l'intervalle compris entre deux termes consécutifs de la suite (70), par exemple entre 6 et y, sera impair si ces deux termes sont racines réelles, l’un de l’équation (67), l'autre de l'équation (68). Le même nombre sera pair et pourra se réduire à zéro dans le cas contraire. |

Nota. — Lorsque deux, trois, ... racines de l’équation (70) ou (71) - deviennent égales, on ne doit pas cesser de considérer leur valeur commune comme représentant deux, trois, ... termes de la suite (69). Seulement ces termes sont égaux entre eux.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Vote sur un théorème relatif aux racines

des équations simultanées.