C.R., t. V, p. 6. (3 juillet 1837.) 13 juin

Le Compte rendu de la séance du 15 mai 1837 (‘) contient une Note de MM. Sturm et Liouville, sur le théorème qui termine un Mémoire lithographié à Turin, sous la date du 15 juin 1833. Je regrette que ce Mémoire ne soit point parvenu à MM. Sturm et Liouville; ils y auraient vu que j'étais complètement d'accord avec eux sur l'utilité de résoudre par des principes élémentaires les questions relatives à la détermination du nombre des racines réelles ou imaginaires des équations. Il y a plus : le but de ce Mémoire était précisément de montrer comment on peut résoudre directement de semblables questions sans recourir à des formules de Calcul intégral. Au reste, il était tout simple qu'en 1833 je fusse pénétré de cette pensée, puisque déjà en 1813 c'était sur des principes élémentaires que j'avais fondé une méthode pour déterminer & priori le nombre des racines réelles positives et le nombre des racines réelles négatives d’une équation de degré quelconque. Le Mémoire qui renfermait cette méthode, présenté à l’Institut dans la séance du 17 mai 1813, et approuvé sur le rapport de M. Poisson, est précisément celui duquel il résulte que, pour une équation de degré quelconque, on peut toujours obtenir des fonctions rationnelles et entières des coefficients, tellement choisies que, si l’on remplace chacune d'elles par + 1 quand elle est positive, par —1 quand elle est négative, la somme des quantités + 1 où — 1 ainsi trouvées est précisément égale au nombre des racines réelles comprises entre des limites données. (Vorr le rapport de M. Poisson, l'exposé

(1) Voir Comptes rendus du 8 mai 1837, p. 672 (OEuvres de C., S. I, t. IV, p. 45) et du 15 mai 1837, p. 720.

OEuvres de C. — S.I,t. IV. | 11

sommaire de la méthode imprimée chez M®* Courcier, avec la date du 17 mai 1813, et le Journal de | École Polytechnique.)

Pressé par le temps, je n’ai pu développer la pensée qu’expriment les dernières lignes de ce Mémoire, et je me suis vu obligé d’omettre la démonstration du théorème VIT. Ce théorème, qu'on peut généraliser encore, entraine comme conséquence les propositions sur le nombre des racines imaginaires énoncées dans le Mémoire de 1831, et, pour les en déduire, il suffit de prendre pour f(x,.y) et F(x, y) la partie réelle et le coefficient de ÿ-—1 dans une fonction entière de la variable imaginaire æ + y Y— 1.

Dans ce cas, et dans beaucoup d’autres, par exemple, lorsque la fonction D(x, y) (x, y) — o(x, y) X(x, y) reste continue et ne s’évanouit pas entre les limites données, le théorème est exâct et la démonstration que j'ai indiquée subsiste. Mais on peut se demander si l’on doit conserver l'énoncé du théorème dans toute sa généralité. MM. Sturm et Liouville se sont prononcés pour la négative, et ils ont eu raison, Ils ont fait l'observation très juste qu’un examen attentif de cette démonstration même devait conduire à l'opinion qu’ils manifestent; et j'avouerai à ce sujet que, trouvant cette démonstration trop peu développée dans ma Lettre du 22 avril, j'avais entrepris, dès le 24, la rédaction d’une Note plus étendue que je me proposais d’adresser à l’Académie ; mais, arrivé à la treizième page de cette Note, je me trouvai arrêté par quelques difficultés qui me firent prendre le parti d’en ajourner l'envoi jusqu’au moment où l’on aurait publié dans les Comptes rendus les démonstrations des autres théorèmes relatifs à la résolution des équations, et que j'avais précédemment énoncés. En conséquence, à peine rétabli d’une indisposition assez grave, je profitai des premiers moments de loisir pour exposer la nouvelle méthode de résolution des équations qui se trouve développée dans mes deux Lettres adressées à l'Académie, sous les dates du 2 et du 13 mai. L'observation de

MM. Sturm et Liouville m'ayant engagé à revoir la Note commencée

le 24 avril, j'ai reconnu qu’en vertu des principes mêmes établis dans cette Note, le théorème VIIT peut devenir inexact dans le cas où la fonction D(x, y)y(x, y)— ox, y) X(x, y) s’évanouirait entre les limites données, mais que, même dans ce cas, le théorème subsiste encore, S'il n'existe point, entre les limites dont il s’agit, des valeurs

réelles de x, y propres à vérifier simultanément les deux équations (A) Dix,y) x(æ,7) — o(x,r) X(x,r)=0, F(x,r)=o.

Ainsi, pour rectifier l'énoncé du théorème, il suffit d'y joindre la condition que le système des équations (A) ne puisse être vérifié pour des valeurs réelles de x, y comprises entre ces limites. Alors en effet, la démonstration indiquée est applicable, et l’on ne rencontre plus les mêmes difficultés. Au reste, je me propose de reproduire dans une autre Lettre les diverses méthodes à l’aide desquelles j'étais parvenu au théorème VII, et qui toutes supposent implicitement la condition cidessus énoncée. |

Quant à la démonstration élémentaire que MM. Sturm et Liouville ont donnée de mon théorème sur les racines imaginaires, et que je ne connais pas encore, n'ayant pas reçu leur Mémoire, quoique peut-être elle soit du nombre de celles qui se déduisent des principes que j'avais indiqués ou établis, toutefois, comme ils n'ont eu nulle: connaissance du Mémoire de 1835, qui d’ailleurs ne renferme explicitement ni cette démonstration ni même celle du théorème VII, il est clair qu'ils ont tout le mérite de la découverte, et qu’on doit leur savoir gré de lavoir publiée.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Note sur la résolution des équations de degré

quelconque.