C.R.,t. V, p. 301. (27 août

19 août 1837.

Les principes établis dans les différentes Lettres que j'ai eu l’honneur de transmettre à l’Académie fournissent, comme on l’a vu, des méthodes générales pour la résolution des équations de tous les degrés. En suivant l’une de ces méthodes, fondée sur le troisième théorème énoncé dans ma Lettre du 24 février, on développe immédiatement chaque racine d’une équation en série convergente, lorsque toutes les racines sont réelles, et l’on peut toujours ramener la question à ce dernier cas en se débarrassant, comme on l’a expliqué, des racines imaginaires. Mais quoique, sous le point de vue théorique, cette méthode ne laisse rien à désirer, il peut être avantageux de lui substituer, dans la pratique, l’une des autres méthodes qui se déduisent des principes exposés dans mes diverses Lettres, et en particulier celles qui se fondent sur plusieurs théorèmes que je vais énoncer en peu de mots.

Considérons une équation du degré 7. On pourra la réduire, même

d’une infinité de manières, à la forme e(æ)=ù

o(æ) désignant une fonction entière ou fractionnaire, et z un paramètre réel ou imaginaire. Or, comme je l'ai fait voir, la résolution de cette équation pourra toujours être ramenée, pour de très petites valeurs

de #, à la résolution de l’équation auxiliaire p(æ)=0,

et, pour de très grandes valeurs de #, à la résolution de l’équation

auxiliaire

Il y à plus; si l’on nomme valeurs principales de x celles qui vérifient l'équation dérivée

pile sans vérifier l’une des deux équations auxiliaires, et modules principaux de :— (x) ceux qui répondent aux valeurs principales de x, toutes les racines de la proposée seront développables suivant les puissances ascendantes ou descendantes du paramètre à lorsque le module donné de ce paramètre sera: inférieur ou supérieur à tous ses modules principaux. Enfin, si l’on fait correspondre à chaque expression imaginaire un point situé dans un plan donné, en prenant la partie réelle et le coefficient de ÿ— 1 pour l’abscisse et l’ordonnée de ce point, les expressions réelles correspondront toujours à des points situés sur l’axe des abscisses, et les diverses valeurs de x propres à résoudre l’équation

px) = pour un module donné de #, correspondront à des points situés sur un système de courbes qui pourront être de deux espèces différentes. Nous avons nommé courbes de première espèce celles qui s’élargissent, et courbes de seconde espèce celles qui se rétrécissent, pour une valeur croissante du module de #; et nous avons fait voir que l’équation proposée peut toujours être décomposée en autant d'équations partielles qu'il y a de courbes distinctes. Or si, la fonction o(x) étant de forme réelle, on attribue au paramètre & une valeur réelle, chacune des courbes traversées par l'axe des abscisses, étant symétrique par rapport à cet axe, ne pourra le couper en plus de deux points, hors le cas des racines égales. Donc alors chacune des équations partielles offrira au plus deux racines réelles. Ainsi se trouve établie la proposition suivante :

THéoRËME [. — En supposant résolues les équations auxiliaires

on peut généralement décomposer une équation de la forme g(a)=i en équations partielles dont chacune offre au plus deux racines réelles.

Corollaire. — Si la proposée a toutes ses racines réelles, elle sera immédiatement décomposable en facteurs réels du premier ou du second degré. |

À ce théorème on peut en joindre plusieurs autres dont je vais transcrire les énoncés, me réservant d’en offrir la démonstration dans une autre Lettre.

TuéorÈME Il. — Sr l’on donne successivement à la Jonction o(x) les deux

formes

k—fix), k+/f{x),

f(x) désignant une fonction entière de forme réelle, et k une constante

réelle ou unaginaire dont le module surpasse tous les modules principaux de f(x); st d'ailleurs on suppose inégales entre elles les racines de l'équa-

lion

fix) =, celle équation, que l’on pourra présenter sous l’une quelconque des formes k—f(x)=i, k+f{x)=i, en donnant au paramètre à la valeur k, offrira, sous l’une de ces formes, au moins une racine développable suivant les puissances ascendantes de 1.

On pourra d'ailleurs, dans l'hypothèse admise, développer suivant les puis-

sances descendantes de k les racines de chacune des équations auxiliaires k—f{(x)=0, k+f(x)= 0.

THéorÈME III. — Les mémes choses étant admises que dans le théorème précédent, si l’on forme divers groupes avec les racines de l'équation Là (x ) on eA présentée d'abord sous la forme

k— flæ)=i,

puis sous la forme

k+ f(x) =i, en composant chaque groupe des racines qu'il est indispensable d ‘ajouter entre elles pour obtenir une somme développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de i, deux racines distinctes ne pourront en général se trouver rcunies dans le premier cas, sans étre separees dans le second, ni réunies dans le second cas, sans être separees dans

le premier.

Corollaire. — Après avoir développé toutes les racines de chacune

des équations

h—f{zx)}=t; k+ f(x) — i, suivant les puissances ascendantes de r, et calculé les sommes formées par l'addition des développements qu'il est nécessaire d'ajouter entre eux pour obtenir des séries convergentes, il suffira, pour obtenir chaque racine, de réunir entre elles plusieurs de ces sommes, prises les unes avec le signe +, les autres avec le signe —.

Exemple. — Si, l'équation proposée ayant toutes ses racines réelles, on suppose la constante # réelle et positive, les développements correspondants aux racines réelles des équations auxiliaires seront convergents, ainsi que la somme des développements correspondants à deux racines imaginaires conjuguées. Cela posé, si l’on nomme

ab eds. : fresh

les racines réelles rangées par ordre de grandeur, et si, z étant le degré de l'équation donnée, on suppose le premier terme de /{x) réduit à x", alors, pour des valeurs paires de », l'équation auxiliaire

fixz)—k=0o fournira le moyen de calculer les ines a, h, avec les sommes b+é, d+e, ..., f+8g, tandis que l'équation auxiliaire

fournira le moyen de calculer les sommes a+b,c+d,..., g+h.

Au contraire, si x est impair, la première équation auxiliaire fournira la racine À, avec les sommes a + b, c+d, ..., f+g; et la seconde, la racine a, avec les sommes b+c, d+e, ..., g+ h. Dans l’une et l’autre hypothèse, on obtiendra immédiatement la plus petite et la plus grande racine, les autres étant données par les formules

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Méthode générale pour la détermination des

racines réelles des équations algébriques ou méme transcendantes.