C.R., t. VIT, p. 907 (26 novembre

Considérons un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelles, et soient, au bout du temps #,

és . À Cr 5 6

les déplacements de la molécule »+ qui coïncide avec le point (x, y, 3), ces déplacements étant mesurés parallèlement aux axes des coordonnées

supposés rectangulaires entre eux. Les équations du mouvement par ondes planes seront de la forme

(1) Ê—Acos(kr— st +2), n—Bcos(kr—st+u), 6 = Ccos(kr — st +),

la valeur de r étant r=ax+by+ cz.

EXTRAIT. N° 21. DE 107 Dans ces équations RER AU RS, RE R D 0 représentent des constantes dont les deux premières sont liées avec

l'épaisseur / d’une onde plane, la durée T des vibrations moléculaires, et la vitesse de propagation @, par les formules

représentent les cosinus des angles formés par la perpendiculaire au plan d’une onde avec les demi-axes des coordonnées positives. Par suite, r désigne la distance de la molécule » à un plan passant par l’origine, et parallèle aux plans des ondes.

On tire des équations (1)

(2) à Sin(u —v) + g Snb—d+Zsin(i—nu)=o, et

n\? n RER ET PE (3) (3) —2pçcos(u—v)+ (4) — sin?(u —v),

La courbe qui a pour coordonnées les valeurs de £, , 7, déterminées par les formules (2), (3), est, en vertu de ces formules, une courbe plane du second degré, et même une ellipse. Elle se réduit à une droite lorsqu'on a

LR Alors, en effet, si l’on nomme & la valeur commune de ?, p, v, les équations (1) deviendront

(4) EÉ—Acos(kr—-st+w), n—Bcos(kr—-st+w), E—Ccos(kr— st +),

et l’on tire de ces dernières

> {x ŒIS QIsx

Il existe, entre les constantes contenues dans les équations (4), plusieurs relations en vertu desquelles on peut considérer # et Q& comme des fonctions de a, b, e, s, ou bien encore s et même les deux rapports B:6 FOX réduites à trois formules qui déterminent s et les rapports + + en

comme des fonctions de a, b, ce, k. Ces relations peuvent être

fonctions des trois quantités (5) RAT, HD EU, Fo:

. A : "dy PPS | et, pour obtenir ces trois formules, 1l suffit de considérer la quantité ;

et les coefficients A, B, C comme exprimant l’un des trois demi-axes d'un ellipsoïde et les cosinus des angles formés par ce demi-axe avec ceux des coordonnées positives, l’ellipsoide étant représenté par

l'équation I{x?+ y? + 22) + x? sg Ru (6) \ Y PTE à à ”. dz? db DER Ro FR:

J* 5yoz 02 0 2 Gxdy — ?

et I, K désignant deux fonctions déterminées de w, », æ développables en séries ordonnées suivant les puissances entières et ascendantes de u, 9, #. Si certaines conditions sont remplies, les séries obtenues renfermeront seulement les puissances paires de w, #, w, et alors, en réduisant les séries, ou du moins leurs parties variables, à leurs premiers termes, savoir : Le développement de T aux termes du second degré, et la partie variable du développement de K aux termes du second degré, on verra l'équation (6) se réduire à

(Gu2+ He +Iuw?)(x2+y2+ 2) + Luz? + Mey?+ Nw2z

(7) + P(oz+ wy)} + Qlwx +uz}+R(uy + vx} =:1,

G, H, 1, L, M, N, P, Q, R désignant des quantités constantes. Si maintenant on cherche l'équation qui détermine s en fonction de &, +, w, ou, ce qui revient au même, @ en fonction de a, b, ce, on reconnaitr: que cette équation est du troisième degré par rapport à s° ou à Q?, et

peut être présentée sous l’une des formes

(8) — ») Fo s?— Ak? s?—Bk? s2—Ck2 2PQR a \ ? b 2 ec \2 | Es lee El (9) ‘. OT RTC 2P0R les valeurs de À, B, C étant A=(L-23T G)e+ (R+ H)6+(Q + 1e°, (10) { B—(R + G)a?+ (2 + H)o+ (P+I)c?, RE n e C=(Q + Ga+(P+ H)b+ (Na +l)et.

Dans le cas particulier où le mouvement se propage en tous sens suivant les mêmes lois autour d’un point quelconque, on a

(ui P—QO—R, L—M—N—3P—3Q—3R, et, par suite, La +G—R+H—Q+I, (12) R+G=M—2 2 + HP +1, | Q+G=P+H=N—2 € +L (13) A—B—C.

Alors l'équation du troisième degré en Q?, à laquelle on parvient en faisant disparaître les dénominateurs dans la formule (9), fournit deux racines égales, c’est-à-dire deux valeurs de @? égales entre elles et à la valeur commune des coefficients À, B, C. Alors aussi on à

a À Le LÉ RARES eC sin(p—y) Ssin(v—À) sin(i— p)

et l'équation (2), réduite à

aë+bn+cË=o,

montre que les vibrations des molécules sont comprises dans les plans des ondes. Lorsque les conditions (11) sont remplies, non d’une manière rigoureuse, mais par approximation, les différences

Q—P, R—P, ne sont plus rigoureusement nulles, mais très petites, et les deux racines précédemment égales différent très peu de h0.

Alors, pour chacune d'elles, chacun des termes que renferme le premier membre de l'équation (9) acquiert des valeurs très considérables, . quand on les compare au terme que renferme le second membre; et, dans un calcul approximatif, on peut réduire cette équation à

De DR ii

ou même, puisqu'on suppose P, Q, R sensiblement égaux, à

a? b? F ec? en Q2-— A O2__B ai

Il suffit que les conditions (12) soient remplies pour que les valeurs de A, B, C, fournies par les formules (ro), deviennent indépendantes de a, b, ce, c’est-à-dire de la direction du plan de l'onde. Alors, si l'on représente par Q’, Q”, Q”, les vitesses de propagation des ondes parallèles à des axes coordonnés dont l’un soit l'axe des x, ou des y, ou

des 3, on aura

15) a? a “4 vrz B, )72 —= C;

et, par suite, l'équation (14) sera réduite à [

ie + Q:— 03 :Qr— 0": : Q7— 0":

uns D EN

Si le plan d’une onde devient parallele à l’axe des 3, on aura

Re +0

et si l’on pose alors a — COST;

les deux valeurs de Q? propres à vérifier l'équation (16) seront OT, Q2=— Q/"2 cos?7 + Q'? sin?7.

Ces deux valeurs deviendront égales si, Q” Q" étänt comprise entre Q'et @”, une droite perpendiculaire au plan de devient parallèle à l’un des deux axes menés par l’origine dans le plan des xy, de manière à former avec l’axe des x un des angles + déterminés par la formule

Q72 __ 072 (17) tañgr — + = RFA PE Q'2 — AO Q"2

Si la perpendiculaire au plan d’une onde, cessant d’être parallèle à l’un PErp Ï

de ces axes, forme avec eux des angles représentés par & et 7, Les deux valeurs de Q? tirées de la formule (16) deviendront

| Q2= Q"2 cos? LT! + Or? sin? 2 LT, (18) è :

| O? — Q"? cos? LT + Q'2 sin? LT.

Les formules (18) sont précisément celles qui déterminent la vitesse de propagation de la lumière, suivant une direction quelconque, dans un milieu doublement réfringent, lorsque ce milieu présente deux axes optiques, c'est-à-dire deux directions à chacune desquelles le plan d'une onde ne peut devenir perpendiculaire sans que les deux rayons transmis se réduisent à un seul. Donc l’équation (16), de laquelle sont tirées les formules (18), est applicable au mouvement du fluide lumineux dans un cristal à deux axes optiques. Cette équation suppose que l’on prend pour plan des æ, y le plan des deux axes optiques, et pour axes des x et y deux droites tracées dans ce plan, de manière à diviser en parties égales les angles que les deux axes optiques forment entre eux.

Considérons maintenant une onde plane qui passe par l'origine quand on suppose 4—0o. Cette onde, au bout d’un temps quelconque £, aur:

changé de place, et son plan sera représenté par léquation (19) ax + by + cz = Qt.

Si, dans cette dernière équation, l’on fait varier les cosinus @, b, €, assujettis à vérifier la condition

sans faire varier 4, le plan de l'onde prendra des positions diverses, en demeurant toujours tangent à une certaine surface qu’on nomme Îa surface des ondes. L'équation de cette même surface se déduit aisément des formules (18), (19), (20), et peut s’écrire comme il suit :

x? à 7? ” 3° ne x+y?+z—Q'2n x+p+z—QN xt+ypi+z2— O2

(21) En faisant disparaitre les dénominateurs, et en effaçant le terme (a? + y? + 3?) qui se trouve alors dans les deux membres, on réduit la formule (21) à l'équation du quatrième degré, donnée par Fresnel.

OPTIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur la réflexion et la réfracuon de la lumière produites par la surface de séparation de deux milieux doués de

la réfraction simple.