PREMIÈRE PARTIE, — Considérations générales

Pour faire bien comprendre l’explication des phénomènes que produisent la réflexion et la réfraction de la lumière, il ne sera pas inutile de présenter d’abord quelques considérations générales sur les mouvements vibratoires et périodiques d’un système de points matériels.

Œuvres de C.—S.I, t. IV. 19

Considérons un système de molécules ou points matériels très peu écartés de leurs positions d'équilibre stable, et sollicités par des forces qui tendent sans cesse à les y ramener, telles que les poids de ces molécules, ou bien encore les actions attractives ou répulsives des unes sur les autres. Chaque molécule oscillera autour de la position qu'elle oceupait dans l’état d'équilibre du système, et les lois du mouvement seront d'autant plus faciles à reconnaître que les déplacements des molécules seront plus petits. Concevons, en effet, que les différents points du système soient rapportés à trois axes coordonnés rectangulaires entre eux. Les équations du mouvement d’une molécule seront trois équations différentielles, ou, plus généralement, trois équations aux différences mélées, qui devront servir à déterminer, au bout d’un temps quelconque, les trois déplacements de la molécule mesurés parallèlement aux axes, en fonction des quatre variables indépendantes, c'est-à-dire en fonction des coordonnées et du temps. Or, en considérant les trois déplacements dont il s’agit, ainsi que leurs différences finies et leurs différentielles ou dérivées, comme des quantités infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, on devra, dans les trois équations du mouvement, conserver seulement les premières puissances de ces déplacements et de ces différences finies ou dérivées. On verra ainsi les trois équations du mouvement se réduire à trois équations plus simples qui seront du genre de celles qu’on nomme Anéaires, et qui seront vérifiées d'autant plus exactement que les déplacements des molécules seront plus petits. C’est ce que nous exprimerons en disant que les trois nouvelles équations représentent les mouvements infiniment petits du système de points matériels donné.

Puisque les équations des mouvements infiniment petits d’un système de points matériels sont linéaires, lorsqu'on connait plusieurs intégrales particulières de ces mêmes équations, il suffira de combiner par voie d’addition les intégrales connues pour en obtenir d’autres. Donc, étant donnés plusieurs mouvements infiniment petits que pourrait prendre un système de points matériels soumis à l’action de cer-

EXTRAIT N° 923. 115 taines forces, si dans chacun de ces mouvements on mesure le déplacement des molécules parallèlement aux axes coordonnés, un nouveau mouvement, dans lequel chaque déplacement aurait pour valeur la somme de ses valeurs relatives aux mouvements donnés, sera encore un des mouvements infiniment petits que le système de points matériels est susceptible d'acquérir. On dit alors que le nouveau mouvement résulte de la superposition de tous les autres. On a des exemples de cette superposition dans la théorie des ondes liquides et dans la théorie du son. Ainsi, en particulier, lorsque la surface d’une eau tranquille a été déprimée en plusieurs lieux par l'immersion simultanée de corps très petits, le liquide s'élève en chaque point au-dessus de son niveau naturel à une hauteur représentée par la somme des hauteurs des ondes que produiraient les immersions des divers corps considérés isolément; et, lorsque plusieurs sons se font entendre à la fois, le déplacement de chaque molécule d’air, mesuré parallèlement à un axe fixe, est la somme des déplacements que pourraient produire les divers sons, pris chacun à part.

Ce n’est pas tout. Puisque les trois équations des mouvements infiniment petits d'un système de points matériels sont linéaires, les valeurs qu’elles fournissent, pour les. déplacements d’une molécule mesurés parallèlement aux trois axes coordonnés, sont les parties réelles de trois variables imaginaires qui vérifient trois autres équations de même forme. Si d’ailleurs les trois premières équations sont indépendantes de la position de l’origine des coordonnées, en sorte qu’elles ne se trouvent pas aitérées quand on transporte cette origine d’un point à un autre, la manière la plus simple de vérifier les trois nouvelles équations sera de supposer les trois variables imaginaires respectivement égales aux produits de trois constantes imaginaires par une même exponentielle dont l’exposant imaginaire et variable se réduise à une fonction linéaire des coordonnées et du temps. Nous appellerons mouvement simple où élémentaire le mouvement infiniment petit qu’on obtient dans une semblable hypothèse. Cela posé, comme une fonction quelconque de plusieurs variables peut être représentée par la somme

d’un nombre fini ou infini de termes respectivement proportionnels à des exponentielles dont les exposants soient des fonctions linéaires, réelles ou imaginaires, de ces mêmes variables, il est clair qu'un mouvement infiniment petit d’un système de points matériels donné sera toujours un mouvement simple, ou du moins un mouvement résultant de la superposition d’un nombre fini ou infini de mouvements simples.

Dans toute expression imaginaire, la partie réelle et le coefficient de V— 1 sont, comme on le sait, les produits respectifs d’une quantité réelle et positive qu’on nomme le module par le sinus et le cosinus d’un certain arc ou angle que nous appellerons l'argument. D'autre part, l’exponentielle à laquelle restent proportionnelles les trois variables imaginaires, dont les déplacements d’une molécule dans un mouvement simple sont les parties réelles, peut être regardée comme ayant pour base la base même des logarithmes népériens, et pour exposant une fonction linéaire du temps et des trois coordonnées sans terme constant, par conséquent, un polynôme composé de quatre termes respectivement proportionnels à ces quatre variables indépendantes. Ce polynôme, dont les coefficients resteront en général imaginaires, sera pour cette raison décomposable en deux parties, l’une réelle, l’autre équivalente au produit de ÿ— 1 par un facteur réel. Or ce facteur, qui sera lui-même une fonction linéaire des variables indépendantes, sans terme constant, est précisément l'arc ou l'angle qui servent d’argument à l’exponentielle imaginaire dont nous avons parlé. Cet argument et le module de cette exponentielle, c’est-à-dire la quantité positive en laquelle elle se transforme quand on réduit l’exposant imaginaire à sa partie réelle, sont ce que nous appellerons l'argument et le module du mouvement simple. Si lon multiplie le module par le cosinus de l'argument, l'expression ainsi obtenue sera la partie réelle de l’exponentielle imaginaire; et, pour déduire de cette expression le déplacement d’une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe, par exemple à l’un des axes coordonnés, il suffira d’y substituer au module du mouvement simple le produit de ce module par un coefficient constant

relatif à cet axe, puis à l'argument du mouvement simple la somme faite de cet argument et d'un angle constant que nous nommerons paramètre angulaire. D'ailleurs le coefficient du module et le paramètre angulaire ajouté à l'argument ne seront pas nécessairement les mêmes dans les trois déplacements d’une molécule mesurés parallèlement aux trois axes coordonnés, et pourront en général changer de valeur quand on passera d’un axe à l’autre.

Les principaux caractères d’un mouvement simple se déduisent aisément de la considération de l’exponentielle imaginaire ci-dessus mentionnée, par conséquent de la considération de son argument et de son module, c’est-à-dire de l'argument et du module du mouvement simple ; et d’abord si l’on élimine l'argument et le module dont il s'agit entre les trois équations finies qui déterminent les déplacements d’une molécule, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, on obtiendra entre ces déplacements une équation du premier degré dont les coefficients seront indépendants de la position de la molécule. Donc la courbe décrite par chaque molécule sera une courbe plane, dont le plan restera constamment parallèle à un plan invariable que l’on pourra faire passer par l’origine des coordonnées. D'autre part, l'argument du mouvement simple étant une fonction linéaire des quatre variables indépendantes, acquerra constamment la même valeur en tous les points d’un plan quelconque parallèle à un second plan invariable dont on formera l'équation en égalant cet argument à zéro, pour une valeur nulle du temps, c’est-à-dire à l’origine du mouvement. Enfin, l'exposant réel de l’exponentielle qui représente le module du mouvement simple, étant lui-même une fonction linéaire des variables indépendantes, acquerra la même valeur en tous les points d’un plan quelconque parallèle à un troisième plan invariable dont on formera l’équation en égalant cet exposant à zéro pour une valeur nulle du temps. Donc, dans un mouvement simple, l'argument et le module, par conséquent les déplacements moléculaires qui en dépendent et les vitesses de vibration seront les mêmes, à chaque instant, pour toutes les molécules situées sur la droite d’intersection de deux plans parallèles, l’un au second plan

invariable, l’autre au troisième, ou, ce qui revient au même, pour toutes les molécules situées sur une droite parallèle à la ligne d’intersection du second plan invartable et du troisième.

Il est important d'observer que, dans l'argument d’un mouvement simple, ou dans l’exposant de l’exponentielle qui représente son module, la somme des trois termes respectivement proportionnels aux trois coordonnées sera toujours le produit de [a distance d’une molécule au second plan invariable ou au troisième par un coefficient égal, au signe près, à la racine carrée de la somme des carrés des coefficients des coordonnées dans ces mêmes termes. Donc cet argument et cet exposant pourront être en définitive considérés comme deux binômes composés chacun de deux parties proportionnelles, l’une au temps, l’autre à la distance qui sépare une molécule du second plan invariable ou du troisième. D'ailleurs, l’angle dont le cosinus entre comme facteur dans l'expression de l’un quelconque des trois déplacements molé- culaires n'étant autre chose que l'argument même augmenté d’un paramètre constant, les valeurs de l'argument pour lesquelles ce cosinus, et par suite le déplacement, s’évanouiront, seront des valeurs équidistantes qui formeront une progression géométrique dont la raison sera la demi-circonférence ou le nombre +. Enfin, pour obtenir ces valeurs équidistantes, 1l suffira évidemment de faire varier successivement de quantités égales entre elles, soit le temps, soit la distance qui sépare une molécule du plan invariable. Donc les déplacements moléculaires, mesurés parallèlement à l’un des axes coordonnés, s’évanouiront pour une même molécule, après des intervalles de temps égaux, chaque intervalle étant le rapport du nombre 7 à la constante qui représente le coefficient du temps dans l'argument, et s’évanouiront, à un même instant, pour toutes les molécules situées dans des plans parallèles équidistants, l'intervalle compris entre deux plans consécuüfs étant le rapport du nombre 7 à la constante qui, dans l'argument, représente le coefficient de la distance d’une molécule au second plan invariable. Observons d’ailleurs que ces intervalles de temps, ou ces intervalles compris entre les plans parallèles, seront de deux espèces,

chaque intervalle pouvant répondre à une valeur positive ou négative du cosinus que l’on considère, par conséquent à un déplacement moléculaire effectué dans le sens des coordonnées positives ou négatives. La somme faite de deux intervalles contigus, de premiere et de seconde espèce, composera un intervalle double après lequel le cosinus reprendra successivement toutes les valeurs qu’il avait d’abord acquises. Cet intervalle double aura pour mesure le rapport d’une circonférence entière ou du nombre 27 à la constante qui, dans l’argument, représente le coefficient du temps ou de la distance d’une molécule au second plan invariable; et il exprimera, dans le premier cas, la durée invariable des vibrations ou oscillations moléculaires mesurées parallèlement à un axe fixe, dans le second cas, la double épaisseur des tranches qu’on formera dans le système de molécules donné en coupant ce système à un instant donné par des plans parallèles qui renferment les molécules dont le déplacement, mesuré parallèlement à un axe fixe, s'évanouit. La réunion de deux tranches contiguës, par conséquent de deux tranches qui renfermeront des molécules déplacées en sens inverses, formera ce que nous appellerons une onde plane, et la double épaisseur d’une tranche sera précisément ce que nous nommerons l'épaisseur d'une onde, ou la longueur d'une ondulation. Cette épaisseur restera la même, ainsi que la durée des vibrations, quel que soit l’axe fixe parallèlement auquel se mesurent les vibrations des molécules. D'ailleurs, le temps venant à croître, chaque onde se déplacera dans l’espace avec les plans parallèles qui la terminent, et sa vitesse de propagation ou de déplacement sera évidemment le rapport entre les deux constantes qui représentent, dans l'argument, les coefficients du temps et de la distance d’une molécule au second plan invariable; ou, ce qui revient au même, cette vitesse de propagation sera le rapport entre l'épaisseur d’une onde plane et la durée d’une vibration mesurée parallèlement à un axe fixe.

Considérons maintenant l’exponentielle qui représente le module d’un mouvement simple. Il peut arriver que, dans cette exponentielle, ou plutôt dans son exposant, le coefficient du temps, ou bien encore

le coefficient de la distance d’une molécule au troisième plan invariable, s’'évanouisse. Dans Le premier cas, le module ne dépendant plus du temps, les trois déplacements d’une molécule, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, reprendront périodiquement les mêmes valeurs après des intervalles de temps égaux entre eux et à la durée d’une vibration moléculaire. Pour cette raison, le mouvement simple pourra être alors désigné sous le nom de mouvement périodique durable ou persistant. Alors aussi la courbe décrite par chaque molécule sera une courbe fermée et rentrante sur elle-même. Dans le second cas, le module deviendra indépendant de la position d’une molécule dans le système de points matériels donné; par conséquent, la courbe décrite par chaque molécule dépendra uniquement de sa distance au second plan invariable, et n’éprouvera aucune altération quand on fera croître ou diminuer cette distance de l’épaisseur d’une onde plane ou d’un multiple de cette épaisseur. Si, dans l’exposant du module, le coefficient du temps ne se réduit pas à zéro, alors, le temps venant à croître, les déplacements d’une molécule, mesurés parallèlement à des axes fixes, ne pourront demeurer très petits qu'autant que ce même coefficlient sera négatif, et, dans cette hypothèse, le mouvement simple, loin d’être un mouvement durable et persistant, sera au contraire un mouvement qui tendra sans cesse à s'éteindre, et dans lequel chaque moléeule s’'approchera indéfiniment de la position qu’elle occupait dans l'état d'équilibre du système, en décrivant une spirale autour d'elle. Enfin, si, dans l’exposant du module, le coefficient de la distance d’une molécule au troisième plan invariable ne se réduit pas à zéro, alors, tandis qu’on s’éloignera de ce troisième plan dans un certain sens, on verra décroitre indéfiniment, et au delà de toute limite, les déplacements des molécules, d’où il résulte qu’à une distance considérable du troisième plan, le système sera sensiblement au repos.

Lorsque, dans l’exposant du module, le coefficient du temps et le coefficient de la distance d’une molécule au troisième plan invariable s’évanouissent à la fois, le module se réduit à l’unité. Alors la courbe décrite par chaque molécule est généralement une ellipse, et, dans

EXTRAIT No 23. 121

cette ellipse, le rayon vecteur mené du centre à la molécule trace des aires proportionnelles au temps. De plus, les ellipses correspondantes aux diverses molécules sont toutes parallèles.les unes aux autres, et décrites par ces molécules en des temps égaux dont chacun est la durée d’une vibration moléculaire. Enfin le rayon vecteur, mené du centre d'une ellipse à la molécule qui la décrit, reste parallèle à luimême et dirigé dans le même sens, quand on fait varier la distance “de la molécule au second plan invariable, ou de l'épaisseur d’une onde plane, ou d’un multiple de cette épaisseur.

Chaque molécule décrivant une ellipse dans le cas où le module se réduit à l'unité, nous désignerons alors le mouvement simple sous le nom de mouvement elliptique. Au reste, 1l peut arriver que l’ellipse décrite se réduise à un cercle ou à une ligne droite. Alors le mouvement deviendra crculaire ou rectiigne. Ajoutons que chaque molécule décrira toujours une droite, et qu’en conséquence le mouvement deviendra rectiligne, quelle que soit d’ailleurs la valeur constante ou variable du module, si, dans Les expressions des déplacements mesurés parallèlement aux axes, les trois paramètres angulaires deviennent égaux entre eux.

Il peut arriver que, dans une question de Physique mathématique, les trois variables principales qui expriment les trois déplacements d’une molécule mesurés parallèlement aux axes se trouvent séparées, c’est-à-dire que chacune de ces variables se trouve déterminée par une seule des équations aux différences mêlées qui représentent un mouvement infiniment petit. Alors les coefficients du module et les paramètres angulaires que renferment les expressions des trois déplacements relatifs à un mouvement simple deviennent indépendants les uns des autres, et chaque mouvement simple peut être considéré comme résultant de la superposition de trois mouvements rectilignes simples dans chacun desquels les vibrations des molécules s’effectueraient parallèlement à l’un des axes coordonnés. I est d’ailleurs évident que, pour réduire ces mouvements rectilignes à deux et faire disparaître le troisième, il suffira de prendre pour l’un des axes coordonnés une droite

Œuvres de C.—S.1,t.1V. $ 16

perpendiculaire au premier plan invariable, par conséquent aux plans des diverses courbes décrites par les molécules.