C. R.,t. VII, p. 1044 (17 décembre 1838). — Suite

Considérons maintenant deux systèmes de molécules contigus, séparés l’un de l’autre par une surface plane, et supposons que, pour chacun d’eux, les équations du mouvement soient indépendantes de la position de l’origine des coordonnées. Chacun de ces systèmes sera capable de propager des mouvements simples. De plus, un mouvement simple propagé dans le premier système, avec une vitesse de propagation en vertu de laquelle les ondes planes se rapprocheront de la surface de séparation, entraînera toujours la coexistence : 1° d’un autre mouvement simple propagé dans le premier système avec une vitesse de propagation en vertu de laquelle les ondes planes s’éloigneront de la surface de séparation; 2° d’un mouvement simple propagé dans le second système avec une vitesse de propagation en vertu de laquelle les ondes planes s’éloigneront encore de la surface dont il s’agit. En effet, il serait impossible de satisfaire aux conditions particulières qui se rapportent à la surface de séparation, si, à la considération du mouvement simple donné dans le premier système, on ne joignait celle des deux autres mouvements dont nous venons de parler. Cela posé, les ondes planes qui caractériseront le mouvement donné, ces ondes qui, par hypothèse, s’approcheront de la surface de séparation, et viendront en quelque sorte tomber sur cette surface, seront appelées ondes incidentes. Au contraire, les ondes planes qui distingueront les deux autres mouvements propagés, l’un dans le premier système de molécules, l’autre dans le second système, seront les ondes réfléchies et les ondes réfractées. Ces deux derniers mouvements pourront être désignés euxmêmes sous les noms de mouvements réfléchi et réfracté, et la surface de

séparation sous le nom de surface réfléchissante où réfringente. D'ailleurs les conditions relatives à cette surface se réduiront généralement à des relations qui devront subsister, pour tous ses points, entre les variables qui exprimeront les déplacements moléculaires dans les ondes incidentes réfléchies et réfractées, ou entre les dérivées de ces mêmes variables. Done ces conditions se trouveront exprimées par des équations dans lesquelles les seules quantités variables seront les arguments et les modules des trois mouvements simples ci-dessus mentionnés. Il y a plus : puisqu'il est ici question de mouvements infiniment petits, les équations de condition pourront être supposées linéaires, aussi bien que les équations du mouvement de chaque système, et remplacées par d’autres équations linéaires de même forme entre les variables imaginaires dont les déplacements des molécules seront les parties réelles. Alors, dans chaque équation de condition, les trois espèces de termes, relatifs aux trois mouvements simples, se trouveront combinés par voie d’addition, et seront réductibles aux produits de trois constantes imaginaires par trois exponentielles qui offriront pour base la base même des logarithmes népériens, et pour exposants imaginaires trois fonctions linéaires du temps et des coordonnées sans terme constant.

Concevons maintenant que l’on fasse coïncider l’un des plans coordonnés avec la surface réfléchissante. Pour tous les points de cette surface, les trois exposants imaginaires, dont on vient de parler, se réduiront à trois fonctions linéaires des deux coordonnées mesurées sur cette surface, et du temps, par conséquent à trois fonctions linéaires de trois variables indépendantes. D'ailleurs, chaque équation de condition devra subsister, quelles que soient les valeurs attribuées à ces trois variables indépendantes; et, en supposant nulles deux d’entre elles, on rendra les trois exposants imaginaires proportionnels à la troisième. Enfin, la somme de trois ou de plusieurs exponentielles dont les exposants sont proportionnels à une seule et même variable, ou bien encore, la somme des produits de ces exponentielles par des facteurs constants, ne peut devenir indépendante de la variable dont il

s’agit, à moins que les coefficients de cette variable dans les diverses exponentielles ne soient tous égaux entre eux. Done, chacune des trois variables indépendantes, relatives aux mouvements des molécules que renferme la surface réfléchissante, devra, dans les trois fonctions linéaires ci-dessus mentionnées, se trouver multipliée par le même coefficient, et, pour tous les points de cette surface, les trois fonctions linéaires deviendront égales entre elles, ou, en d’autres termes, les trois exposants imaginaires des exponentielles relatives aux trois mouvements simples deviendront égaux. Or, les coefficients de ÿ— 1 dans ces exposants, et leurs parties réelles, seront précisément les arguments des trois mouvements simples et les exposants de leurs modules. Donc, en vertu des équations de condition relatives à la surface réfléchissante, les trois mouvements simples devront, pour tous les points de cette surface, et quelles que soient les valeurs attribuées aux trois variables qui resteront indépendantes, offrir des arguments égaux et des modules égaux. Il nous reste à examiner quelles seront les conséquences de cette double égalité.

D'abord, le temps étant l’une des trois variables indépendantes, son coefficient devra rester le même dans les arguments des trois mouvements simples. Donc, le rapport du nombre 27 à ce coefficient, ou la durée des vibrations moléculaires, mesurée parallèlement à un axe fixe, restera lamême dans les ondes incidentes, réfléchies et réfractées. De plus, puisqu'on obtient, pour chaque mouvement simple, l'équation du second plan invariable, en égalant à zéro la somme des termes proportionnels aux coordonnées dans l'argument, et que cette somme devra, en chaque point de la surface réfléchissante, conserver encore la même valeur pour les trois mouvements dont il s’agit, il est clair que, pour tous les trois, les points communs à la surface réfléchissante et au second plan invariable seront les mêmes. En d’autres termes, la trace du second plan invariable sur la surface réfléchissante demeurera fixe, lorsqu'on passera du mouvement donné au mouvement réfléchi ou réfracté, et coïncidera toujours avec une droite unique parallèle aux plans de toutes les ondes, c’est-à-dire aux plans qui

termineront toutes les ondes incidentes, réfléchies et réfractées. Si par un point de cette droite on élève des perpendiculaires aux plans des trois espèces d'ondes, ces perpendiculaires formeront avec la normale à la surface réfléchissante des angles égaux à ceux que forment les plans des ondes avec la surface elle-même, et se trouveront d’ailleurs comprises dans un seul plan normal à la surface. Les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction seront les angles aigus formés par les perpendiculaires dont il s’agit avec la normale à la surface réfléchissante, ou, en d’autres termes, par les plans des trois espèces d'ondes avec la surface elle-même. Le plan unique qui renfermera les trois perpendiculaires et les angles formés par elles avec la normale à la surface réfléchissante pourra être nommé à volonté le plan d'incidence, ou de réflexion ou de réfraction.

Si, dans les remarques précédentes, on substitue aux arguments des trois mouvements simples les exposants de leurs modules, on reconnaîtra immédiatement : 1° que le coefficient du temps, dans l’exposant du module, reste le même quand on passe du mouvement donné au mouvement réfléchi ou réfracté; 2° que, dans ce passage, les points communs à la surface réfléchissante et au troisième plan invariable restent les mêmes, Au surplus, il arrive souvent, dans les questions de Physique mathématique, que le troisième plan invariable se confond avec la surface réfléchissante. |

Le coefficient du temps dans l’exposant de l’exponentielle imaginaire qui caractérise un mouvement simple se trouve généralement lié par une certaine équation aux coefficients des trois coordonnées dans ce même exposant. Lorsque le système donné est du nombre de ceux dans lesquels la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, l’équation dont il s’agit ne renferme que le coefficient du temps et la somme des carrés des coefficients des trois coordonnées. C’est du moins ce qu'il est facile de démontrer dans le cas où le système donné admet des mouvements simples pour lesquels les parties réelles des quatre coefficients s’évanouissent. Alors, en effet, la somme des carrés des coefficients des trois coordonnées, prise en signe con-

taire, a précisément pour racine carrée le rapport du nombre 27 à l'épaisseur d’une onde plane, et pour que le mouvement se propage de la même manière en tous sens, 1l est nécessaire que cette épaisseur dépende uniquement de la durée des vibrations, ou, ce qui revient au même, du coefficient du temps.

Revenons aux deux systèmes de molécules que nous considérions tout à l'heure. Si, en prenañt pour un des plans coordonnés la surface réfléchissante, on prend pour un des axes coordonnés la droite d’intersection de cette surface et du second plan invariable, la coordonnée mesurée sur cette droite disparaîtra de chaque argument, et les deux autres coordonnées, mesurées sur deux perpendiculaires à cette droite, dont l’une sera la normale à la surface réfléchissante, l’autre étant la trace du plan d'incidence sur cette surface, auront pour coefficients deux quantités proportionnelles aux cosinus et sinus de l'angle d’incidence, ou de réflexion, ou de réfraction, le rapport du cosinus au coefficient de l’une ou du sinus au coefficient de l’autre étant égal, au signe près, à la racine carrée de la somme des carrés des deux coefficients. Donc le premier et le second coefficient seront les produits du cosinus et du sinus par cette racine carrée, qui représente, dans l’argument, le coefficient de la distance d’une molécule au second plan invariable, et a pour mesure le rapport du nombre 27 à l'épaisseur d’une onde plane. Le premier et le second coefficient seront done les produits du nombre 27 par les rapports du cosinus et du sinus à l'épaisseur d’une onde plane. D'ailleurs, le second coefficient qui appartient, dans l'argument, à une coordonnée mesurée dans le plan de la surface réfléchissante, devra conserver la même valeur, quand on passera du mouvement simple donné au mouvement réfléchi, ou au mouvement réfracté. Donc le rapport entre le sinus d'incidence, c’est-à-dire le sinus de l’angle d'incidence, et l'épaisseur d’une onde incidente, sera le même que le rapport entre le sinus de réflexion et l’épaisseur d’une onde réfichie, le même aussi que le rapport entre le sinus de réfraction et l'épaisseur d’une onde réfractée. |

Supposons maintenant que le premier système de molécules soit du

RE Fr.

EXTRAIT N° 24. 127 nombre de ceux où la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, et pour lesquelsles coefficients des coordonnées, dans l’exposant de l’exponentielle imaginaire qui caractérise un mouvement simple, fournissent des carrés dont la somme dépend uniquement du coefficient du temps. Si la partie réelle de ce coefficient s’évanouit, la somme dont il s’agit dépendra uniquement de la durée des vibrations moléculaires. Si, cette durée restant la même, on passe d’un mouvement simple à un autre dans lequel deux coordonnées conservent les mêmes coefficients, alors, pour que les carrés des coefficients des trois coordonnées offrent une somme invariable, il faudra que le coefficient de la troisième coordonnée reste le même, au signe pres. Or, c’est précisément ce qui arrive lorsque le mouvement simple donné se trouve réfléchi par la surface plane qui sépare le premier système du second, et que l’on suppose la troisième coordonnée mesurée sur la normale à la surface réfléchissante. Donc, si Le premier système est du nombre de ceux dans lesquels la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, non seulement l'épaisseur des ondes réfléchies sera la même que celle des ondes incidentes, mais de plus, l'angle de réflexion sera égal à l'angle d'incidence. Quant aux ondes réfractées, qui se propagent à partir de la surface réfléchissante dans le second système de molécules, elles n’offriront pas, en général, la même épaisseur que les ondes incidentes. Mais, d’après ce qu'on a dit, le rapport entre l'épaisseur des ondes incidentes et l'épaisseur des ondes réfractées sera toujours égal au rapport entre le sinus d'incidence et le sinus de réfraction. D'ailleurs, ce rapport deviendra constant, c’est-à-dire indépendant de l’angle d'incidence, si le second système de molécules est, comme le premier, du nombre de ceux dans lesquels la propagation du mouvement s'effectue de la même manière en tous sens, et si, d'ailleurs, chacun des mouvements simples qui répondent aux ondes incidentes, réfléchies, réfractées, offre l’unité pour module. Ces lois générales de la réflexion et de la réfraction des ondes planes, dans les mouvements simples, sont, comme on le voit, indépendantes des formes particulières que peuvent prendre les équations de condition

qui se rapportent à la surface réfléchissante. La démonstration précédente de ces lois générales repose sur une analyse entièrement conforme à la nature des faits, et montre pourquoi elles subsistent dans un grand nombre de questions diverses où les démonstrations qu’on en donnait doivent maintenant paraître peu rigoureuses. Ainsi, par exemple, si les premières de ces lois fournissent immédiatement l’explication des phénomènes que présente la réflexion des ondes sonores ou liquides, élémentaires ou composées, par Les murs ou les parois d’une salle ou d’un bassin rectangulaire, ce n’est point une raison d'admettre, comme on le faisait en théorie, que ces murs ou ces parois sont des corps dénués de toute élasticité, en sorte que les molécules situées à leurs surfaces ne cèdent nullement à l’action des molécules contiguës de l'air ou de l’eau. On doit supposer, au contraire, que chaque mouvement simple, propagé dans l'air ou dans l’eau, donne naissance, d’une part, à un mouvement réfléchi qui reste sensible pour l'observateur; d’autre part, à un mouvement réfracté qui se propage dans les murs de la salle ou les parois du bassin rectangulaire, mais qui est assez faible pour échapper à nos sens, et décroît très rapidement en pénétrant dans la profondeur de ces murs ou de ces parois, de manière à s'éteindre presque entièrement à une profondeur finie. Nous terminerons cette première Partie de notre Mémoire par une remarque importante. Lorsqu'un mouvement vibratoire est produit en un point donné d’un système de molécules, ce mouvement se propage autour de ce point avec une vitesse de propagation qui peut être ou n'être pas la même dans les diverses directions; et de cette propagation résultent des ondes terminées, ou par des surfaces sphériques, ou plus généralement par des surfaces courbes dont la forme dépend de celle des équations du mouvement. Mais, à une grande distance du point donné, ou du centre des vibrations, une semblable surface, considérée dans une petite étendue, se confond sensiblement avec le plan tangent: Il y a plus : pour obtenir une des surfaces dont il s’agit, il suffit de concevoir qu’une onde plane ou élémentaire, qui renferme au premier instant le point d’abord choisi pour centre de vibration, se

propage dans le système que l’on considère; puis de chercher quelles sont les diverses positions que pourra prendre, au bout d’un temps donné, le plan qui terminera cette onde élémentaire, eu égard aux diverses positions qu'il pouvait avoir à l’origine du mouvement et lorsqu'il passait par le centre de vibrations. La surface demandée sera la surface enveloppée par le plan dont il s’agit, c’est-à-dire la surface qu'il touche dans ses diverses positions. C’est ainsi que l’on peut, en général, déduire, des lois relatives aux ondes planes, la forme et l’équation de la surface des ondes. Lorsque, dans un système de molécules, la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, la surface des ondes est sphérique, et le rayon mené du centre à un point de la surface se confond avec la perpendiculaire au plan de l'onde élémentaire qui passe par ce point. Il n’en serait plus de même si la propagation du mouvement cessait d’être la même en tous sens. Alors il ne faudrait pas confondre la droite menée par un point donné, perpendiculairement au plan qui termine une onde élémentaire, avec le rayon mené du centre des vibrations à ce point considéré comme faisant partie de la surface des ondes.

A la suite de cette première Partie de son Mémoire, M. Augustin Cauchy a indiqué rapidement quelques-uns des résultats qui feront l'objet de la seconde Partie, spécialement relative à la Théorie de la lumière. Parmi ces résultats on peut citer :

1° Des formules générales qui expliquent et représentent les phénomènes de la polarisation elliptique, produite par la réflexion de la lumière à la surface des métaux, et qui s'accordent avec les expériences des physiciens;

2° Une nouvelle loi de réfraction qui doit être substituée à la loi connue de Descartes, lorsque le corps réfringent absorbe plus ou moins complètement la lumière ;

3° La diminution d'intensité dans la lumière des anneaux colorés, et le déplacement de ces anneaux produit par la substitution d’un miroir métallique à un miroir de verre.

OEuvres de C. — S.1I, t. IV. 17

DEUXIÈME PARTIE. — Application des principes exposés dans la première Partie à la théorie de la lumière.