PREMIÈRE NOTE

Suivant les principes que j'ai développés dans le Mémoire sur la dispersion, les mouvements de l’éther, pour un rayon simple d’une couleur donnée, se trouvent généralement représentés par les formules (24) du $ II de ce Mémoire. Lorsque, dans ces mêmes formules, les dérivées du premier ordre des déplacements moléculaires €, , » disparaissent, c’est-à-dire lorsque les coefficients de ces dérivées se réduisent à zéro, on obtient les formules (25), et par suite les formules (34), (35) du même paragraphe. La dernière de ces formules, ou

l'équation (35), est une équation du troisième degré en s? qui sert à 27T

l : ; , ; Ë AE (r étant la durée d’une vibration, et / —

déterminer le rapport s — ==; ou bien encore la vitesse de propagation

27 l’é . k TK l'épaisseur

d’une onde plane) en fonction de K et des cosinus a, b, c des angles formés par la perpendiculaire au plan de l’onde avec les axes coordonnés. Or, de cette équation du troisième degré en s?, je déduis très simplement une seconde équation de même degré qui doit être vérifiée en même temps que la première, toutes les fois que deux racines de la première deviennent égales entre elles, ce qui permet de déterminer avec.une grande facilité les deux axes optiques, c’est-à-dire les directions que doit prendre le rayon ordinaire pour se confondre avec

le rayon extraordinaire dans un milieu doublement réfringent. Les

racines de la nouvelle équation du troisième degré sont, comme celles de la première, représentées par des fonctions des quantités K, a, b, c. Or il suffit d'admettre que ces fonctions deviennent indépendantes de a, b, cet de réduire, en outre, à leurs premiers termes les développements des inconnues en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de K, pour obtenir des formules entièrement semblables à celles que j'ai données dans la 51° livraison des Anciens Exercices (!) et par conséquent pour retrouver les théorèmes de Fresnel sur la double réfraction, sur la surface des ondes, ete. Toutefois il y a une remarque essentielle à faire, et que je vais indiquer.

Lorsque le plan de l'onde coïncide avec l’un des plans principaux dans un système de molécules qui offre trois axes d’élasticité rectangulaires, la vitesse de propagation d’un rayon polarisé parallèlement à l'un des axes peut être (voir la 51° livraison, p. 69 et 70) la racine carrée de l’une quelconque des six quantités représentées par

D’après les formules de Fresnel, ces six quantités se réduiraient à trois, les vitesses de propagation de deux rayons polarisés perpendiculairement au même axe étant toujours égales. Or cela peut arriver de deux manières, sans que P, Q, R s’évanouissent, et cela arrivera effectivement : 1° si les conditions

Ho 0 LTD,

étant remplies, les vibrations des molécules s'effectuent dans les plans généralement nommés plans de polarisation, puisque alors on aura P+I=P+H=P,...; 2°8s16G, H, I n'étant pas nulles, et les vitesses des molécules étant perpendiculaires aux plans de polarisations

(1) V° année. — Ce renvoi se rapporte à l’ancienne édition. Il en sera de même pour tous ceux qui suivront et qui se rapporteront à un texte non encore publié dans la présente édition. Lorsque celle-ci sera terminée, on publiera une Table de concordance qui indiquera les renvois aux divers volumes de la collection. Quant aux renvois qui concerneront des textes déjà reproduits dans la nouvelle édition, ils se rapporteront à cette dernière et seront signalés par une annotation indiquant la série, le tome et la page. (Note des éditeurs.)

EXTRAIT N° #4. 13 on a, entre les quantités P, Q, ..., G, ..., les équations de condition R+H—Q+I, P+I=R+G, Q+G—P+H,

dont les deux premières entrainent la troisième. D'ailleurs il suit des principes exposés dans ma dernière Lettre que les quantités G, H, 1, c’est-à-dire les pressions relatives à l’état naturel, ne s’évanouissent pas dans le vide. On doit done préférer la seconde hypothèse à la première que j'avais développée dans la 51° livraison des Anciens Exercices ; et l’on doit prendre, dans cette livraison, pour équation de la surface des ondes, la formule (240) qui, en vertu des conditions énoncées en dernier lieu, peut elle-même acquérir la forme de l'équation (218) ou (219). Ainsi Fresnel a eu raison de dire, non seulement que les vibrations des molécules éthérées sont généralement comprises dans les plans des ondes, mais encore que les plans de polarisation sont perpendiculaires aux directions des vitesses ou des déplacements moléculaires.

J'arrive au reste à cette dernière conclusion, d’une autre maniere, en établissant les lois de la réflexion et de la réfraction à l'aide d’une nouvelle méthode qui sera développée dans mon Mémoire. En nommant + l’angle d'incidence, +’ l’angle de réfraction, [, [,, l’les intensités de la lumière dans les rayons incident, réfléchi et réfracté, enfin 1,1, L' les angles formés avec le plan d'incidence par les plans de polarisation des rayons incident, réfléchi et réfracté, je trouve

I cost — 1, cosi, l' cosi’ a = 7 7 —= - : % sin(r+z) sin(r—7}) 2 sinr cost I sine ce I, sinz, dr Re MERE sin{r+r)cos(r—+) sin(r—7r)cos{(r+7T) 2 sinr' cosr . SECONDE NOTE.

Le temps ne m'ayant pas permis de développer les deux formules placées à la fin de ma dernière Lettre, je m’empresse de vous adresser à ce sujet quelques éclaireissements, que je vous prie de vouloir bien encore transmettre de ma part à l’Académie.

Considérons la réflexion et la réfraction qui s’opèrent dans la lumière

polarisée rectilignement à la surface de séparation de deux milieux dont aucun n’est doublement réfringent. Soient I, I, l’Les déplacements absolus et maxima, ou bien encore les plus grandes vitesses des molécules de l’éther dans les rayons incident, réfléchi et réfracté. Soient pareillement #, &,, 1’ les angles que forment avec le plan d'incidence les directions suivant lesquelles s'effectuent les déplacements dont il s’agit, ou, en d’autres termes, Les directions des vitesses des molécules. Enfin, désignons par +, 7,, +’ les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction. La nouvelle méthode par laquelle j’établis les lois de la réflexion et de la réfraction me fournit : 1° les équations connues

; | sin" # sinr,— SiNT, COST, — — COST, = — CONS; 2 les deux formules À Ï sini — ], sine, OT sinr } et ! , ! — .

L sin(r+z) sin(r—r) sin27 I cost I, cosi, OT cost’ 2) . ie ER sin(r+vT)cos(r—T) sin(r—7)cos{(r +7) sin27

ÿ désignant une quantité qui pourrait dépendre elle-même des angles 7, -', mais que je trouve égale à l'indice de réfraction, en sorte qu'on a

sinT

(3 0 = — Je sinT

Il est bon d'observer que les plus grandes vitesses des molécules d’éther représentées dans les formules (1) et (2) par HE, [, F', ou plutôt leurs carrés P?, [?, 1? peuvent servir de mesure à l'intensité de la lumière dans les rayons incident, réfléchi et réfracté. Ajoutons que si l’on désignait par €, £,, les angles formés par le plan d'incidence, non plus avec les directions suivant lesquelles les molécules se déplacent, mais avec les plans que l’on nomme plans de polarisation, et qui sont perpendiculaires à ces mêmes directions, il faudrait, dans les équations (1) et (2), échanger l’un contre l’autre le sinus et le cosinus de chacun des angles &, &, , ce qui réduirait ces équations à la forme sous laquelle elles sont présentées dans ma dernière Lettre.

La méthode par laquelle je parviens aux équations (1) et (2) est applicable non seulement à la théorie de la lumière, mais encore à un

EXTRAIT N° #4. ; “ 15 grand nombre de questions de Physique mathématique. Elle ne m'oblige plus à supposer, comme je l’avais fait dans un article du Bulletin des Sciences, que la densité de l’éther est la même dans tous les milieux. Mes nouvelles recherches donnent lieu de croire que cette den- sité varie en général, quand on passe d’un milieu à un autre. Au reste. les équations (r) et (2) ne diffèrent de celles que j'ai données dans l’article cité que par la valeur de 9 qui dans ces formules se réduisait,

sin

sinr À ; i non au rapport constant ——;; mais au rapport inverse — SINT s SIN T

On tire des équations (r)et (2)

2 sr rl. tang'{r— 7 3 (4) p=| es sin?7 + 8 L costi | E, sin?(r +7) tang?(rT+7) cos ri (5) cot{, — — the — coti, Cos(r — 7) sin? 27 PRES cos?t Li ecpess Le — sine + |, 6? sin?{r +) {| COS re — Tr’) " T »

7 COUT —= — — coli.

(7) cos(T —7')

En se rappelant que les angles représentés dans les équations précédentes par #, 4, © sont les compléments de ceux que forment, avec le plan d'incidence, les plans de polarisation des rayons incident, réfléchi et réfracté, on reconnaitra immédiatement que les formules (4), (5) coincident avec celles qu'a données Fresnel pour déterminer l’intensité de la lumière réfléchie, ainsi que le mouvement de son plan de polarisation, et la formule (7) avec celle qu'a donnée M. Brewster pour déterminer le mouvement dù plan de polarisation de la lumière réfractée. Il résulte en outre des formules (1), (2) et (5) que, dans le fluide éthéré, les vibrations perpendiculaires au plan d'incidence sont transformées par la réflexion en d’autres vibrations de même espèce, mais dirigées en sens contraire, tandis que les vibrations parallèles au plan d'incidence sont transformées en d’autres vibrations dirigées, au moment où la réflexion s'opère, tantôt dans le même sens, tantôt en sens contraire, suivant que la somme des angles d'incidence et de réfraction est inférieure ou supérieure à un angle droit. Quand cette

somme devient précisément égale à un droit, c’est-à-dire lorsque le rayon incident est perpendiculaire au rayon réfracté, les vibrations sont toujours perpendiculaires au plan d'incidence dans le rayon réfléchi, ou, en d’autres termes, la lumière réfléchie est tout entière polarisée dans ce plan, comme l’a trouvé M. Brewster.

L'intensité de la lumière réfléchie, ou la quantité [” déterminée par la formule (4), dépend .des angles +, + liés entre eux par l'équation (3), et atteint son maximum lorsque le produit cosr cos+’ s'évanouit, c'est-àdire lorsque l’un des angles +, +’ devient droit. Alors les formules (4),

(5) donnent

(9) COÉE, = COL

par conséquent la lumière réfléchie a la même intensité que la lumière incidente, et se trouve polarisée dans le même plan. On dit, pour cette aison, qu'il y à réflexion totale. Cela peut d’ailleurs arriver de deux .manières, savoir : 1° quand le second milieu étant plus réfringent que le premier, le rayon incident forme un angle infiniment petit avec la surface de séparation des deux milieux; 2° quand le second milieu étant moins réfringent que le premier, la même surface forme un angle infiniment petit, non plus avec le rayon incident, mais avec le rayon réfracté.

La formule (6) détermine l'intensité 1? de la lumière réfractée. C’est la seule des quatre équations que les formules (1) et (2) peuvent fournir, dont la comparaison avec l'expérience reste encore à faire, puisque les équations (4), (5), (3) s'accordent avec les observations des physiciens. D'ailleurs on conclut aisément de cette formule. que l'intensité de la lumière réfractée atteint son maximum lorsque le produit sin+ cos+’ s’évanouit. Cela peut arriver de deux manières, savoir : 1° lorsque, le second milieu étant plus réfringent que le premier,

on a 7 — 0; 2° lorsque, le second milieu étant moins réfringent que le

premier, on a + — -: Dans le premier cas, les équations (6) et (7) se

EXTRAIT N° 4... 12 réduisent aux formules connues