PA RL ’ E

(11) cOtT — COL,

dont la première a été donnée par M. Young et par M. Poisson. Dans ce cas, où le rayon incident est perpendiculaire à la surface de séparation des deux milieux, la lumière réfractée est polarisée dans le même plan que la lumière incidente; mais elle a une intensité moindre, puisque surpasse l'unité. Dans le second cas, on trouve

cos?

Pr + Va {(sinti+ TE Je, e cott (13) COtI = ———:

sinz

Dans ce cas, où le rayon incident rencontre la surface de séparation des deux milieux sous l'angle de réflexion totale, la lumiere réfractée n'est plus polarisée dans le même plan que la lumière incidente; et son intensité, divisée par celle de la lumière incidente, donne pour quo-

tient un nombre renfermé entre les deux limites " el; dont la seconde

io et la Pre puisque 91. Ce nombre atteint sa limite infén

F est polarisée dans le plan d'incidence, ou perpendiculairement à ce

rieure 4, ou sa limite supérieure , suivant que la lumière Ro

plan. La moyenne entre ces deux limites, ou le produit

2 ee É I (14) au+e)=a(ie x)

exprime le rapport des intensités de la lumière réfractée et de la lumière incidente lorsque cette dernière est de la lumière naturelle. Pour les valeurs de + très voisines de l'angle de réflexion totale, c’est-à-dire lorsque le rayon ineident ou réfracté devient sensiblement parallèle à la surface de séparation des deux milieux, la lumière ré-

fléchie est entièrement semblable à la lumière incidente, et offre sen- OEuvres de C. — S.1,t. IV. 3

siblement la même intensité. C’est là ce qu’on exprime en disant que le rayon incident, au lieu d’éprouver, comme dans toute autre hypothèse, une réflexion partielle, est réfléchi en totalité. Il semblerait que, dans le même cas, l’intensité de la lumière réfractée devrait toujours être sensiblement nulle, et que cette intensité devrait s’affaiblir par degrés, tandis que + s’approcherait indéfiniment de l'angle de réflexion totale. C’est effectivement ce qui arrive lorsque le second milieu est plus réfringent que le premier. Mais si le second milieu est moins réfringent que le premier, par exemple, si la lumière passe du verre ou du diamant dans l'air ou dans le vide, alors, dans le voisinage de la réflexion totale, on obtiendra non seulement une lumière réfléchie dont l'intensité sera sensiblement égale à celle de la lumière incidente, mais encore une lumière réfractée dont l'intensité deviendra au moins quatre fois plus considérable. Le rapport des intensités de la lumière réfractée et de la lumière incidente pourra même, si les vibrations des molécules éthérées sont parallèles au plan d'incidence,

atteindre la limite ;> et par conséquent les nombres 9, 50, ou même

35, si la lumière sort du verre ordinaire, du diamant, ou d’une substance aussi réfringente que le chromate de plomb, pour passer dans l’air ou dans le vide.

La prodigieuse multiplication de la lumière dont il est ici question suppose que l’on compare, par exemple, le rayon émergent d’un cristal à celui qui traverse le même cristal. Si, le cristal étant terminé par deux faces planes, la lumière les traversait l’une après l’autre, on devrait distinguer trois rayons, savoir : le rayon incident, le rayon réfracté, et le rayon émergent. Alors, en supposant les deux faces parallèles, et nommant [”, ’ ce que deviennent I, : pour le rayon émergent, on tirerait des formules (1) et (2)

Sin27 sin27

15) Lil = PR TRUE DE —— Ï sint \ sin?(T (ia r')

ds * 4 ANS HS (16) l” cos = — I cost, sin?{r+rT)cos?(r—7T)

et par suite

‘sin?27 sin?227' [ . …. cos? 1 (17) Pr TE" = Sin? + PR TT at I, sint(r +) cos?(r —7T') à 3 L :

(18) coté ———- CoLr.

: cos?(T—T')

M. Brewster, qui a donné la formule (18), l’a vérifiée par l’expérience, et l’on peut ajouter que des observations, qui seraient d'accord avec l’une des formules (15), (16), (17), entraineraient la vérification de la formule (6). |

La valeur de [”? donnée par la formule (r7) devient un maximum,

lorsque l’on a :—0, + + Tr — + Alors Le rayon incident est polarisé perpendiculairement au plan d’incidence, le rayon réfléchi disparait, et Les formules (17), (18) donnent.

(19) fast,

(20) ler 0:

par suite, le rayon émergent est lui-même polarisé perpendiculairement au plan d’émergence, et offre la même intensité de lumière que le rayon incident. Ainsi, lorsque les deux faces d’un cristal sont parallèles, l'intensité de la lumière émergente a pour limite supérieure l’intensité de la lumière incidente, et n’atteint cette limite que dans le cas où il n’y a plus de lumière réfléchie.

Il en sera autrement si les faces du cristal cessent d’être parallèles. Alors, il est vrai, l'intensité de Ia lumière réfractée sera inférieure à l'intensité de la lumière reçue par la première face du cristal, même sous l'incidence perpendiculaire; et si, dans ce dernier cas, on prend l'intensité de la lumière incidente pour unité, l'intensité de la lumièré

réfractée sera représentée par le rapport -"—;, qui se réduira en P per, PI (8 +1)?” q

particulier pour le verre à 0,64, pour le diamant à 0,28, pour le chromate de plomb à 0,25. Mais si le rayon émergent est sensiblement parallèle à la seconde face, et polarisé, ainsi que les rayons incident et réfracté, perpendiculairement au plan d’émergence, l'intensité de la

lumière émergente sera l’un des produits que l’on obtiendra en multipliant les trois nombres qui précèdent par ceux que nous avons trouvés plus haut. Cette intensité sera donc de 5,8 pour le verre ordinaire, de 8,6 pour le diamant, et de o environ pour le chromate de plomb, si l’on fait abstraction de la propriété qu'a cette dernière substance d’être doublement réfringente. Les trois derniers nombres devraient être réduits à 4,2, à 4,6 et à 4,9 si le rayon incident était de la lumière naturelle. |

Des principes ci-dessus développés 1l résulte que, si deux faces non parallèles d’un cristal sont traversées par un rayon de lumière, d’abord incident, puis réfracté, puis émergent, le rayon émergent s’éteindra toujours lorsque le rayon incident formera un angle infiniment petit ‘avec la face d'entrée, de manière à éprouver sur cette surface une réflexion totale; mais, qu'au contraire, si le rayon réfracté rencontre la face de sortie à très peu près sous l'angle de réflexion totale, et de manière que le rayon émergent forme un angle infiniment petit avec le plan de cette face, le dernier rayon, loin de s’éteindre, pourra, dans certains cas, acquérir une très grande intensité. Ayant communiqué, le 20 mars dernier, cette conséquence de mes formules à M. Kessler, professeur de Physique, je lui proposait de la vérifier par l'observation. Il colla du -papier noir sur les triangles rectangles qui servaient de bases à un prisme de verre, et sur les deux plus petites des trois faces latérales, après avoir percé d’un trou d’épingle le papier qui devait recouvrir une des surfaces latérales; et nous reconnûmes que l’image d'une bougie était transmise à travers le prisme avec une grande intensité dans le cas même où le rayon émergent devenait sensiblement parallèle à la face de sortie. J'ai observé depuis que le rayon émergent s'éteint graduellement quand le rayon incident forme un angle de plus en plus petit avec la face d'entrée, Je ne connais pas d'auteur qui ait parlé de cette expérience, que tout le monde peut répéter avec la plus grande facilité.

Dans les phénomènes d’interférence, de la lumière ajoutée à de la

lumière produit l'obscurité. Iei, au contraire, un rayon réfléchi en to-

EXTRAIT N°5. 21 talité est de plus transmis avec accroissement de lumière; ce qui est un nouvel argument contre le système de l'émission.

Les faits que je viens d'exposer me paraissent une nouvelle confirmation de la théorie développée dans mon Mémoire Sur la Dispersion, et donnent l'explication d’un phénomène bien connu, savoir : du grand éclat que présentent sous certains aspects les corps doués d’une puissance réfractive considérable, et de ce qu’on nomme les /eux du diamant. ESA ir

- On ne doit pas oublier que, dans les applications numériques, nous avons pris ici pour mesuré de l'intensité de la lumière le carré de la plus grande vitesse des molécules éthérées. Si l’on prenait pour mesure de l'intensité de ‘la lumière cette vitesse elle-même, les nombres obtenus devraient être remplacés par leurs racines carrées. Mais les intensités maxima et minima ne cesseraient pas de correspondre aux directions que donnent les formules trouvées ci-dessus, et, par suite, les phénomènes que nous avons signalés continueraient de subsister conformément à l'observation.

OPTIQUE MATHÉMATIQUE. — Lettre a M. Ampére, sur l'explication de divers

phénomènes de la lumière dans le système des ondes. rs CR, t. IL, p. 364: (rr avril 1836.)

. Les formules générales auxquelles je suis parvenu dans mes nouvelles recherches sur la théorie de la lumière ne fournissent pas seulement les lois de la propagation de la lumière dans le vide et dans les divers milieux transparents, comme je vous le disais dans mes Lettres du 12 et du 19 février, ou les. lois de la réflexion ou de la réfraction à la surface des corps transparents, telles qu’elles se trouvent énoncées dans les deux Lettres que j'ai adressées à M. Libri, le 19 et le 28 mars.

Elles s'appliquent aussi à la propagation de la lumière dans la partie d’un corps opaque, voisine de la surface, et à la réflexion de la lumière par un corps de cette espèce. On sait d’ailleurs que, si la lumière passe d’un milieu plus réfringent dans un autre qui le soit moins, ce dernier deviendra opaque à l'égard des rayons qui rencontreront sa surface sous un angle tel que le complément +, c’est-à-dire l’angle d’incidence, devienne supérieur à une extrême limite qu’on nomme l’angle de réflexion totale. Dans ma dernière Lettre à M. Libri, j'ai remarqué la prodigieuse (‘) multiplication de la lumière qui a lieu au moment où l'angle + est sur le point d'atteindre cette limite, et j’ai donné les formules qui, lorsque le rayon incident est polarisé en ligne droite, déterminent l'intensité de la lumière réfractée aussi bien que lintensité de la lumière réfléchie avec les mouvements des plans de polarisation. Mais ces formules, dont trois coïncident avec celles de MM. Fresnel et Brewster, ainsi que les lois qui en dérivent et qui subsistent avec de légères modifications dans leur énoncé, lorsque la polarisation devient elliptique ou circulaire, se rapportent uniquement au cas où le milieu réfringent ne fait pas, à l'égard du rayon incident, la fonction d’un corps opaque, c’est-à-dire (quand le second milieu est moins réfringent que le premier) au cas où l'angle d'incidence est inférieur à l'angle de réflexion totale. Les résultats que j'ai obtenus dans le cas contraire me paraissent assez intéressants pour que vous me pardonniez de vous écrire encore à ce sujet, en vous priant de communiquer ma Lettre à l'Académie.

Supposons qu'un rayon polarisé tombe sur la surface de séparation de deux milieux, dont le premier soit le plus réfringent, et que l’angle d'incidence devienne supérieur à l'angle de réflexion totale. Si l’on

nomme 7 l’angle d'incidence, ÿ le rapport qui existait entre le sinus

(1) Cette multiplication de lumiere a également lieu, mais à un plus faible degré, quand on considère un rayon qui, après être entré dans un prisme de verre perpendiculairement à une première face, est réfléchi en totalité par une seconde face, et sort du prisme perpendiculairement à une troisième; ce qu’on pouvait déjà conclure des formules de MM. Young, Poisson et Fresnel.

d'incidence et le sinus de réfraction avant que le rayon réfracté disax re acquiert dans le premier et dans le second milieu, on aura

ps 2 27 , Û .

parût, enfin {= = et l — . les épaisseurs qu'une onde lumineuse

(x) re E = et, si l’on pose d’ailleurs

(2) b — 0 sinr, (3) a ÿb?—1,

l'intensité de la lumière dans le second milieu, à la distance x de la surface de séparation, sera proportionnelle à l’exponentielle négative —akK'x

e . Sir se réduit à l'angle de réflexion totale, on aura

SiNT — > bart, &a— 0, | ah À

et la lumière réfractée aura une grande intensité. Mais si + croit à partir de la limite qu'on vient de rappeler, la lumière réfractée s’éteimdra à une distance comparable à l'épaisseur /' des ondes que peut transmettre le second milieu, et d'autant moindre que a sera plus

: T À LE . ap RTS grand. Si l’on suppose + =: > &atteindra sa limite supérieure ÿ4? — 1. Ajoutons que la quantité b, déterminée par la formule (2), remplace ici

le sinus de réfraction avec lequel elle coïncide, lorsqu'on a sin+ —

Considérons maintenant la lumière réfléchie.

Le rayon incident que nous supposons polarisé en ligne droite, suivant une direction quelconque, peut être remplacé par le système de deux rayons polarisés à angles droits, l’un dans le plan d'incidence, l’autre perpendiculairement à ce plan. Nous nommerons ces derniers rayons composants. Or, après la réflexion, chacun de ces deux rayons conservera l'intensité qui lui est propre, et si de plus l'angle + se réduit à l’angle de réflexion totale, la marche des ondulations dans chacun d’eux sera la même avant et après la réflexion. Mais, si + de-

vient supérieur à l'angle de réflexion totale, alors, dans con des. rayons composants, la réflexion déplacera toutes les ondulations et transportera chacune d'elles en avant à une certaine distance qui atteindra sa limite ae et deviendra équivalente à une demi-

épaisseur d'onde ou à .:; quand on aura sinr —

= , c’est-à-dire quand

le rayon incident formera un angle infiniment petit avec la surface de des des deux milieux. Si sinr demeure compris entre les

limites 5 et r, la distance dont il s'agit ne sera plus généralement la même dans les deux rayons composants. Alors, en désignant cette distance par es pe le rayon polarisé perpendiculairement au plan d’in-

cidence et par - pour le rayon polarisé parallèlement à ce plan, on

trouvera

(4) ang = — 0 ar, (8) tang s ns

(6) | tang = == 0° ang =:

puis, en désignant par 5 l'angle de polarisation totale d'un rayon qui subirait une réflexion partielle, et posant en conséquence

J 7) lang — 5?

on tirera de l'équation (6) :Q\ PRES Nr Fey (8) sin Le — cos2® sin Ù

et des formules (4), (5) jointes aux équations (2) et (3)

. = y he: D. y SIN" Los cos SIN — tang — (a) 4 2 JR 2 2 5 # es à (9) COST = sr MUST D: NET = à ne . Le bé à sin æ Sin Es d'Éerema 2. 2 ‘ 2

Il résulte de la formule (8) que la différence de marche des deux rayons composants, ou la quantité

(10) Al

atteint son maximum, quand la somme # + v, qui varie entre les li-

mites 0, 27, atteint sa valeur moyenne 7, c’est-à-dire quand on a (11) HN T,

Alors, les formules (4) donnent

ER, A Send (12) ange — 0, tang= — 5) Fe cpsr par conséquent 13 ee se (13) RÉ Eat NS

et comme, en vertu de la formule (11), on doit avoir encore (14) —v <<,

la formule (8), réduite à

(15) sin — COS25, entraine la suivante (16) —Y=Tr—{Â,

de laquelle on tire, en la combinant avec l'équation (7),

T—{(u—)) (17) Door ee dE, Enfin, de la première des équations (9), combinée avec les formules (1 r) et (15), on tirera

(18) COS?T — COS2w.

I suit de la condition (14) qu'après une seule réflexion la différence OEuvres de C. — $.1, t. IV. {

de marche des deux rayons, ou l’expression (ro), ne peut jamais atteindre la demi-épaisseur d'une onde ou la longueur d’une demiondulation; pour qu’elle pût atteindre un quart d’ondulation, 11 fau-

drait que la valeur maximum de pu — y fût égale ou supérieure à =

et par suite, en vertu de l'équation (17), la valeur de 0 devrait alors ètre égale ou supérieure à celle que détermine la formule

(19) O— cots —2,4142.

En admettant cette dernière valeur de 9, on tirerait des formules (16) et (18)

1 1 3 A LA DE : (20) fes COST —= COS” (3)=2 MT 40 ue

Alors, en supposant les intensités des rayons composants égales entre elles, ou, ce qui revient au même, en supposant le rayon primitif polarisé à 45° du plan d'incidence, on obtiendrait, après une seule réflexion sous l'angle de 32°46’, la polarisation circulaire. Or la valeur de 4 donnée par la formule (19) est à peu près celle qui convient aux diamants les moins réfringents. Donc, pour obtenir après une seule réflexion totale la polarisation circulaire, il faut employer un corps dont l'indice de réfraction soit égal ou supérieur à celui du diamant. Si l’on emploie des corps doués d’une puissance réfractive moins considérable, deux réflexions totales sous un certain angle pourront produire la polarisation circulaire, pourvu que l'indice de réfraction soit égal ou supérieur à la valeur de 0 que fournit l'équation (17) quand on

y pose — v — ‘à Or, on tire alors des formules (17) et (18)

(21) 0 = cot 27 —1, 4966...

La valeur précédente de 9 est un peu plus faible que celle qui convient au verre ordinaire. Par conséquent, deux réflexions sur la surface du

verre, ou d’un milieu plus réfringent, pourront produire la polarisation circulaire, si dans ces deux réflexions les surfaces réfléchissantes sont parallèles, et si de plus l'angle + a une valeur déterminée qui, pour le verre, doit être peu différente de 52°.

En général, si l’on fait subir à un rayon polarisé une suite de réflexions totales sur diverses surfaces toutes perpendiculaires au plan d'incidence, qui sera aussi le plan des réflexions successives, et si, après avoir déterminé pour la première surface les valeurs des angles v., v, à l’aide des formules (4), (5), on nomme y’, v’, u”, v’, ... ce que deviennent les angles u, y, dans la seconde, la troisième, ... réflexion, la différence de marche entre les deux rayons composants sera, en définitive, représentée par le rapport

p+p'+ pt. (y +v +.) u+u+p...— {y + +7...) K TE T

+ . l , \ « , Si ce rapport est nul ou multiple de =; c’est-à-dire, en d’autres termes,

si la somme (24) p+p+ur...—{y+v ++...)

se réduit à zéro ou à un multiple de +, le système des deux rayons composants produira définitivement un rayon réfléchi semblable au rayon incident. Si la somme (24) est le produit de = par un nombre impair, et si de plus le rayon incident est polarisé à 45° du plan d'incidence, le rayon réfléchi sera polarisé cireulairement. Dans tout autre cas, ce rayon offrira la polarisation elliptique, c’est-à-dire que la courbe décrite dans ce rayon, par chaque molécule d’éther, sera une ellipse. Si toutes les surfaces réfléchissantes sont parallèles et de même nature, si de plus toutes les réflexions s'effectuent sous le même angle, alors,

en nommant » le nombre des réflexions, on réduira la quantité (24) au produit

Ce dernier produit dépend de l’angle +, et atteint son maximum pour

la valeur de + déterminée par la formule {18). Ce maximum pour le verre est environ

Donc, si l’on emploie le verre ordinaire, il faudra faire subir au rayon incident au moins deux réflexions totales pour produire la polarisation circulaire, et au moins deux nouvelles réflexions pour la détruire. De plus, pour que la polarisation circulaire soit produite par les deux premières réflexions, il faudra non seulement que l'angle d'incidence soit de 52° environ, mais encore que le rayon incident soit polarisé à 45° du plan d'incidence; et alors, après quatre réflexions, le rayon réfléchi sera polarisé Jui-même à 45° du plan d'incidence, mais de l’autre côté de ce plan. Huit réflexions totales, sous l'incidence de 52°, ramèneraient le plan de polarisation du même côté. Si le rayon incident était polarisé, non plus à 45° du plan d'incidence, mais dans un plan quelconque, quatre réflexions totales sous un angle de 52° offriraient encore un rayon réfléchi semblable au rayon incident, et les plans de polarisation des rayons extrêmes, incident et réfléchi, formeraient encore des angles égaux avec le plan d'incidence, mais seraient situés de deux côtés différents par rapport à ce dernier. Au reste, on pourrait produire le même effet avec cinq, six, ... réflexions totales, en changeant la valeur de l'angle d'incidence; et l’on pourrait pareillement obtenir la polarisation circulaire à l’aide de trois, quatre, .… réflexions totales. Si, pour fixer les idées, on veut la produire à l’aide de trois réflexions totales, sous la même incidence, on déterminera les angles v., v à l’aide de la formule (8), jointe à la suivante :

puis l'angle + à l’aide de l’une des formules (9). Si l’on emploie un verre dont l'indice de réfraction soit 0 — 1,52, on trouvera successivement

æ— 3320 30”, sin Er? = 0,000. ET

[ei

et par suite

D OPUO TO, AY RPÉD T0,

ou bien FR dE LE COMPS Ers D le El

Cela posé, la dernière des formules (9) donnera ts AE "ou. vr- Od°sr/ 0”,

Ainsi, la polarisation circulaire pourra être obtenue à l’aide de trois réflexions totales, opérées dans l’un de ces deux derniers angles, dont la demi-somme est à peu près l'angle sous lequel le même genre de polarisation résulte de deux réflexions seulement. Au reste, tous les résultats qu’on vient d’énoncer sont conformes aux calculs et aux

expériences de Fresnel. Il y a plus : si l’on élimine les quantités @, b,

entre les formules (2), (3), (4) et (5), on en tirera, en posant

20? sinir—{02+1) sin?z +1

{ NS es ea (92+ 1) sin?r —:

Or cette dernière équation est précisément celle que Fresnel a obtenue, en cherchant, dit-11, ce que l'analyse voulait indiquer par les formes, en partie imaginaires, que prennent dans le cas de la réflexion totale les coefficients de vitesses absolues déterminées dans l'hypothèse de la réflexion partielle. Cette même équation, que Fresnel a confirmée par diverses expériences, et en faveur de laquelle, suivant l'expression de cet illustre physicien, s’élevaient déjà des probabilités théoriques, est, comme on le voit, une conséquence nécessaire des formules que nous avons établies.

Lorsque deux réflexions successives s’opèrent sous le même angle, et que les deux plans d'incidence sont perpendiculaires entre eux, on a évidemment g'=v, =y, u+u—{(s+)=—0o. Donc alors le rayon réfléchi devient, après la seconde réflexion, semblable au rayon ineident.

L'analyse dont j'ai fait usage démontre encore que les valeurs de »

et de y resteraient les mêmes, si le rayon primitif, au lieu d’être polarisé rectilignement, offrait la polarisation circulaire ou elliptique.

En terminant cet exposé, je ferai une observation relative à une assertion émise dans ma dernière Lettre à M. Libri, savoir que les vibrations perpendiculaires au plan d'incidence sont transformées, par la réflexion, en d’autres vibrations de même espèce, mais dirigées en sens contraire, etc. Cela doit s'entendre du cas où, le second milieu étant plus réfringent que le premier, on a + > +, ainsi qu’on le reconnaitra sans peine en jetant les yeux sur les formules (1) et (2) de la Lettre dont il s’agit. Au reste, toutes les conséquences que l’on peut déduire de ces deux formules, relativement aux signes, s'accordent avec les conclusions tirées des formules de MM. Young, Poisson, Fresnel, ete., et avec l'explication qu'ils ont donnée du phénomène des anneaux colorés. J'ai avancé dans la même Lettre que l'intensité de la lumière, transmise à travers un prisme, atteignait son maximum lorsque le rayon émergent était polarisé perpendiculairement au plan d’émergence. Une expérience que j'ai faite avec M. Hessler, professeur de Physique, a confirmé l'exactitude de cette proposition.

OPTIQUE MATHÉMATIQUE. — Deuxième Lettre à M. Libri, sur la théorie

de la lumuére.