C.R.,t. VII, p. 39 (14 janvier 1839). — Suite

Considérons maintenant deux milieux séparés l’un de l’autre par une surface plane. Si l’on fait tomber sur cette surface un système d'ondes planes, correspondantes à un mouvement simple de l’éther, ou, en d’autres termes, un rayon simple, alors, pour que les conditions relatives à la surface puissent être remplies, on sera obligé d'admettre la coexistence de trois systèmes d’ondes en supposant propagées dans le premier milieu, outre les ondes incidentes, d’autres ondes que l’on nomme réfléchues, et dans le second milieu des ondes que l’on nomme réfractées. Ainsi un rayon simple venant à tomber sur la surface reflechussante où réfringente, c'est-à-dire sur la surface de séparation des deux milieux, la réflexion et la réfraction produiront deux nouveaux rayons, l’un réfléchi, l’autre réfracté, dont chacun sera simple ainsi que le rayon incident. Ces deux nouveaux rayons pourront d’ailleurs être censés partir du point où le rayon incident rencontre la surface réfléchissante. Les angles d'incidence, de réflexion et de réfraction ne seront autre chose que les angles aigus formés par les plans des ondes

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incidentes, réfléchies et réfractées avec la surface réfléchissante, ou bien encore les angles aigus formés par les perpendiculaires à ces plans avec la normale à la surface. D'après ce qui a été dit dans la première Partie du Mémoire, la durée des vibrations moléculaires, par conséquent la couleur, sera la même dans les trois rayons, et les plans qui termineront les trois espèces d'ondes seront parallèles à une droite unique tracée sur la surface réfléchissante. Le plan mené perpendiculairement à cette droite, par le point où les trois rayons rencontrent la surface, sera celui qu’on nomme à volonté le plan d'incidence, ou de réflexion, ou de réfraction. Enfin, les sinus des trois angles d'incidence, de réflexion et de réfraction, ou ce qu'on appelle, pour abréger, le staus d'incidence, le sinus de réflexion et le sinus de réfraction, seront proportionnels aux épaisseurs des ondes incidentes, réfléchies et réfractées. Par suite, si l’on nomme indice de réflexion et indice de réfraction les rapports qu’on obtient en divisant l’épaisseur des ondes incidentes par les épaisseurs des ondes réfléchies et réfractées, le rapport du sinus d'incidence au sinus de réflexion sera toujours équivalent à l'indice de réflexion, et paretllement le rapport du sinus d'incidence au sinus de réfraction sera toujours équivalent à l'indice de réfraction.

Pour simplifier l'énoncé des propositions diverses, nous désignerons désormais sous le nom de »ulieu isophane un milieu dans lequel la propagation de la lumière s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, quel que soit d’ailleurs Le degré de transparence de ce milieu qui pourrait absorber plus ou moins complètement la lumière et se transformer, sans cesser d’être isophane, en ce qu'on appelle un corps opaque. Lorsqu'un milieu sera isophane et parfaitement transparent, la surface des ondes y deviendra sphérique, conformément à la remarque faite dans la première Partie de ce Mémoire, et l'épaisseur des ondes planes propagées dans ce milieu dépendra uniquement de la durée des vibrations moléculaires, ou, ce qui revient au même, de la nature de la couleur. Cela posé, étant donnés deux milieux que sépare une surface réfléchissante, et un rayon simple qui, dans le premier milieu, tombe sur cette surface, si ce premier milieu est isophane et

parfaitement transparent, l'épaisseur des ondes réfléchies sera la même que celle des ondes incidentes. Donc alors, l'indice de réflexion se réduisant à l’unité, et le sinus de réflexion au sinus d'incidence, l'angle de réflexion sera égal à l'angle d'incidence. Si le second milieu est luimême, comme le premier, isophane et parfaitement transparent, l'épaisseur des ondes réfractées sera constante, comme celle des ondes incidentes, c’est-à-dire indépendante de l’angle d'incidence, du moins pour toutes les incidences propres à fournir un rayon réfracté qui se propage dans le second milieu sans s’affaiblir. Donc alors l'indice de réfraction sera constant, ainsi que le rapport entre le sinus de réfraction et le sinus d'incidence; en sorte que la loi de réfraction, donnée par Descartes, se trouvera vérifiée. Mais l’angle de réflexion cessera d’être égal à l'angle d'incidence si le premier milieu est du nombre de ceux dans lesquels la lumière ne se propage pas en tous sens suivant les mêmes lois; et, si l’un des milieux donnés est de ce nombre, ou si lun d'eux absorbe plus ou moins completement la lumière, la loi de Descartes cessera de subsister.

Lorsqu'un milieu transparent n’est point isophane, non seulement l'épaisseur des ondes propagées dans ce milieu dépend de la direction des plans qui les terminent, ou, ce qui revient au même, de la direction du second plan invariable ; mais, en outre, à une direction donnée de ce dernier plan correspondent toujours deux systèmes d’ondes planes qui offrent des épaisseurs différentes, et par suite des vitesses de propagation différentes. Si l’on donne, non plus la direction du second plan invariable, mais sa trace sur un plan fixe, avec le rapport entre le sinus de son inclinaison sur le plan fixe et l'épaisseur d’une onde plane, à cette trace et à ce rapport correspondront quatre systèmes d'ondes planes et quatre positions du second plan invariable qui sera, pour deux de ces systèmes, incliné diversement sur le plan fixe, mais dans un même sens, et pour les deux autres en sens contraire. Nous dirons que les quatre systèmes d'ondes dont il s’agit sont conjugués entre eux, ainsi que les quatre rayons lumineux correspondant à ces quatre systèmes. Si, le plan fixe étant une surface réfléchissante, on considère

l'un des quatre rayons comme rayon incident, alors, des trois autres rayons conjugués, deux correspondront à des ondes inclinées sur la surface dans un autre sens que les ondes incidentes et rempliront la condition à laquelle doit satisfaire le rayon réfléchi, savoir, que l’on obtienne le même rapport en divisant Le sinus d’incidence par l’épaisseur des ondes incidentes, ou le sinus de réflexion par l'épaisseur des ondes réfléchies. Concevons pareillement que, le plan fixe étant considéré comme une surface réfringente qui sépare le milieu donné d’un autre, on fasse dans cet autre milieu tomber un rayon sur cette surface. Si l’on cherche à déterminer le rayon réfracté par la condition que le rapport entre le sinus de réfraction et l'épaisseur des ondes réfractées devienne équivalent au rapport entre le sinus d'incidence et l'épaisseur des ondes incidentes, on trouvera qué cette condition peut être remplie, dans le milieu donné, par deux rayons conjugués l’un à l’autre et inclinés dans le même sens sur la surface réfringente. De ces considérations il résulte que, si une surface réfléchissante et réfringente sépare l’un de l’autre deux milieux transparents qui ne soient point isophanes, on obtiendra en général pour chaque rayon incident deux rayons réfléchis et deux rayons réfractés. C’est ce que confirme l'expérience et l’on donne, pour cette raison, aux milieux qui ne sont point isophanes, le nom de mulieux doublement réfringents. Lorsque deux milieux doublement réfringents sont séparés l’un de l’autre par une surface plane, on peut imaginer quatre systèmes d’ôndes planes propagées dans le premier milieu et quatre systèmes d’ondes planes propagées dans le second milieu, de telle sorte que le sinus de l’inclinaison d’une onde plane sur la surface de séparation soit toujours à l'épaisseur de cette onde dans un rapport donné. À ces huit systèmes d’ondes planes correspondent huit rayons conjugués quatre à quatre. Or, d'après ce qu’on vient de dire, il est clair que, si l’on prend un de ces huit rayons pour rayon incident, deux autres de ces rayons représenteront les deux rayons réfléchis, et deux autres les deux rayons réfractés ; les deux premiers étant propagés dans le même milieu que le rayon incident, et les deux derniers étant les seuls qui, dans l’autre milieu, répondent à des

ondes dont les plans soient inclinés sur la surface de séparation dans le même sens que les ondes incidentes. Si l’un des milieux donnés devient isophane, les quatre rayons conjugués, relatifs à ce milieu, se réduiront à deux rayons qui formeront, avec la normale à la surface de séparation, des angles égaux; et l’on déduira immédiatement de a proposition que nous venons d’énoncer les règles établies par Malus et par M. Biot pour la détermination des rayons réfléchis par la seconde surface des cristaux à un et à deux axes optiques. La même proposition montre comment ces règles doivent être modifiées dans le cas où les milieux donnés sont doués l’un et l’autre de Ia double réfraction. È |

Nous avons ici recherché le nombre et les directions des rayons réfléchis et réfractés par la’surface de séparation de deux milieux, 1s0phanes ou non isophanes, mais que l’on suppose parfaitement transparents. À la rigueur, il n’existe point de milieux dont la transparence soit parfaite, et dont une couche suffisamment épaisse n’absorbe la lumière avec une énergie plus ou moins grande. Il importe d'apprécier l'influence que cette absorption peut avoir sur les phénomènes de la réflexion ou de la réfraction, et en particulier sur la direction des rayons réfléchis ou réfractés. C’est ce dont nous allons maintenant nous occuper, en supposant d’abord que les milieux donnés sont isophanes, mais que l’un au moins cesse d’être parfaitement transparent.

Ce qui caractérise surtout un mouvement simple, propagé dans un milieu homogène, c’est l’exponentielle imaginaire à laquelle sont proportionnelles les trois variables imaginaires dont les déplacements moléculaires, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, offrent Îles parties réelles. Cette exponentielle a pour exposant une fonction linéaire des coordonnées et du temps, et, conformément à une remarque faite dans la première Partie de ce Mémoire, les carrés des coefficients des coordonnées, dans l’exposant dont il s’agit, fournissent une somme qui dépend uniquement du coefficient du temps, par conséquent de la durée des vibrations moléculaires, dans le cas où la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois. C’est du moins

ce qu'il est facile de démontrer lorsque les parties réelles des quatre coefficients s’évanouissent. Alors, les coefficients des trois coordonnées offrent des carrés dont la somme, prise en signe contraire, a pour racine carrée le nombre 27 à l'épaisseur d’une onde plane. Pour plus de commodité nous donnerons généralement un nom à cette racine carrée, et ce que nous appellerons la caractéristique d’un mouvement simple sera une quantité positive, ou une expression imaginaire dont la partie réelle sera positive, et dont le carré, pris en signe contraire, sera équivalent à la somme des carrés des coefficients des trois coordonnées dans l’exposant de l’exponentielle imaginaire qui caractérise le mouvement simple. Nous appellerons encore caractéristique d'un rayon simple celle d’un mouvement simple propagé dans l’éther que renferme un milieu homogène. Dans un milieu isophane, et que l’on suppose parfaitement transparent, la caractéristique d’un rayon simple, liée par une certaine équation à la durée des vibrations moléculaires, restera indépendante de la direction du plan de l'onde, et nous admettrons qu'il en est toujours ainsi dans un milieu isophane, quand même ce milieu absorberait la lumière plus ou moins rapidement. Cela posé, concevons qu'une surface réfléchissante et réfringente sépare l’un de l’autre deux milieux isophanes dont le premier soit parfaitement transparent, et qu'un rayon simple tombe sur cette surface dans le premier milieu. Prenons ailleurs pour origine des coordonnées le point de la surface par lequel passent les trois rayons incident, réfléchi, réfracté, et pour axes coordonnés trois droites rectangulaires dont la première coïncide avec la normale à la surface, et la seconde avec la trace du plan d'incidence sur cette surface même. Enfin, supposons que le module du mouvement simple qui produit le rayon incident se réduise à l'unité. L'argument de ce mouvement simple renfermera seulement les deux coordonnées qui se mesurent dans le plan d'incidence ou parallèlement à ce plan, et les coefficients de ces deux coordonnées dans le même argument seront respectivement égaux aux produits de la caractéristique du rayon incident par le cosinus et le sinus de l’angle d'incidence. Si du rayon incident on passe au rayon réfracté, le se-

EXTRALT N° 96. 143

cond des coefficients dont il s’agit ne variera pas, mais le premier devra être remplacé par la partie réelle d’une constante imaginaire, dont le carré, ajouté au carré du second coefficient, donnera pour somme le carré de la caractéristique du rayon réfracté. Le coefficient de ÿ—1 dans la même constante sera, au signe près, le coefficient de la coordonnée mesurée sur la normale à la surface réfléchissante dans l’exposant du module du mouvement réfracté. Quant à l'indice de réfraction, il ne sera autre chose que la racine carrée positive de la somme des carrés des coefficients des deux coordonnées comprises dans l’argument du mouvement réfracté. Ces principes une fois établis, on reconnaîtra sans peine que l'indice de réfraction sera sensiblement constant, c’est-à-dire sensiblement indépendant de l’angle d'incidence, si le module du mouvement réfracté conserve un exposant très petit, et reste en conséquence peu différent de l'unité lorsqu'on s'éloigne de la surface réfringente à une distance comparable à l'épaisseur d’une onde plane, c’est-à-dire, en d’autres termes, si la lumière n’est pas sensiblement absorbée par une tranche du second milieu qui offre une épaisseur de même ordre que la longueur d’une ondulation lumineuse. Donc alors la loi de réfraction, donnée par Descartes, ne sera pas assez altérée pour que l’altération puisse être indiquée par une expérience directe ayant pour objet de constater la direction du rayon réfracté. Toutefois l'indice de réfraction, devenu variable, pourra se déduire par le calcul des expériences qui seraient relatives à l'absorption de la lumière. Le même indice se déduirait au contraire, comme nous le verrons plus tard, des expériences faites sur le rayon réfléchi, si la lumière, en pénétrant dans le second milieu, était sensiblement absorbée par une tranche d’une épaisseur comparable à l'épaisseur d’une onde plane. Alors aussi la loi de réfraction de Descartes se trouverait sensiblement modifiée, comme le prouve le calcul, et comme on peut aisément le prévoir à l’aide des remarques suivantes.

Il arrive souvent que le second milieu joue Le rôle tantôt d'un corps transparent et tantôt d’un corps opaque, suivant la valeur plus ou moins considérable de l'angle d'incidence. Supposons en effet qu’un

ayon incident, qui forme avec la normale à la surface réfléchissante un angle très petit, s'éloigne de cette normale en se réfractant, et se propage dans le second milieu sans s’affaiblir sensiblement à une distance finie de la surface. L'angle d'incidence sera inférieur à l’angle de réfraction, et l'indice de réfraction, inférieur lui-même à l’unité, aura pour mesure le rapport entre la caractéristique du rayon réfracté et la caractéristique du rayon incident. Or, ces deux caractéristiques, ne dépendant que des durées des vibrations moléculaires dans les deux milieux supposés isophanes, seront entre elles dans un rapport constant, quelle que soit l'incidence; et si l'angle d'incidence vient à varier, l'indice de réfraction restera invariable tant qu’il aura ce rapport pour . mesure, Ou, ce qui revient au même, tant que le second milieu jouera le rôle d’un corps transparent. Mais, l’angle d'incidence croissant de plus en plus, l’angle de réfraction, qui le surpassera toujours, atteindra sa limite, ou l'angle droit, avant que l’angle d'incidence ait atteint la sienne, et lorsque ce dernier angle se transformera en ce qu’on appelle l'angle de réflexion totale. Si l'angle d'incidence devient supérieur à l'angle de réflexion totale, le second milieu jouera le rôle d’un corps opaque, ce qui n’empêchera pas les ondes planes de se propager dans ce second milieu; seulement elles se réfracteront de manière que le mouvement soit insensible à une distance finie de la surface réfléchissante, et il est clair que la direction du rayon réfracté ne pourra plus être déterminée par la règle de Descartes, qui donnerait alors un sinus de réfraction supérieur à l'unité. Il suit d’ailleurs des principes ci-dessus établis que, dans ce cas particulier, le sinus de réfraction restera équivalent à l’unité, et l'angle de réfraction à un angle droit, pour toutes les incidences. Donc, lorsque l'angle d'incidence surpassera l’angle de réflexion totale, les plans des ondes réfractées resteront toujours perpendiculaires à la surface réfléchissante, et l’indice de réfraction, égal au sinus de l’angle d'incidence, sera variable avec cet angle.

Nous venons d'examiner quelle influence l’absorption de la Iumière peut avoir, dans les corps isophanes, sur la direction du rayon réfracté. Quant à la direction du rayon réfléchi, ou plutôt des ondes

EXTRAIT N° 27. 145 réfléchies, elle reste, dans les corps isophanes, indépendante de leur pouvoir absorbant. Car, le rayon réfléchi offrant alors la même caractéristique que le rayon incident, il est aisé d’en conclure que l'angle de réflexion équivaut toujours à l’angle d'incidence.

Quant aux milieux qui absorbent la lumière sans être isophanes, ils possèdent généralement, aussi bien que les corps transparents mais non isophanes, la propriété de doubler les rayons lumineux par la réflexion intérieure ou par la réfraction, et peuvent en conséquence ètre encore désignés sous le nom de milieux doublement réfringents. Quelquefois, des deux rayons réfléchis ou réfractés, l'un est absorbé beaucoup plus promptement que l’autre et s'éteint à une petite distance de la surface réfléchissante ou réfringente.