C.R.,t. VII, p. 114 (28 janvier 1839). — Suite

D'après ce qui a été dit précédemment, la caractéristique d’un rayon simple dans un milieu diaphane ne dépendra point de la direction de ce rayon, mais seulement de la nature de la couleur, et, si le rayon se propage sans s’affaiblir d’une manière sensible, sa caractéristique ne sera autre chose que le rapport du nombre 27 à l'épaisseur d’une onde plane. Supposons que, pour une épaisseur donnée, on ait mesuré cette caractéristique dans le vide. Si l’on substitue au vide un milieu 1sophane quelconque, elle variera dans un certain rapport qui sera réel ou imaginaire, suivant que le milieu isophane sera ou ne sera pas transparent. Cela posé, le coefficient réel ou imaginaire par lequel on devra multiplier la caractéristique mesurée dans le vide, pour obtenir la caractéristique mesurée dans le milieu isophane donné, sera ce que nous appellerons le coefficient caractéristique relatif à ce milieu. Si le milieu isophane est transparent, le coefficient caractéristique ne diffé- OEuvres de C.—S.I, t. IV. 9

rera pas de l'indice de réfraction du rayon que l’on ferait passer du vide dans ce milieu sous une incidence quelconque. Mais, si le milieu isophane donné absorbe de la lumière, le coefficient caractéristique deviendra imaginaire et sa partie réelle représentera l'indice de réfraction d’un rayon passant du vide dans ce milieu sous l'incidence perpendiculaire, tandis que sa partie imaginaire sera le produit de LT par le demi-diamètre d’une circonférence représentée, au signe près, par le logarithme népérien du rapport suivant lequel diminue l'amplitude des vibrations moléculaires quand on s'enfonce dans Île milieu isophane en parcourant, dans la direction de ce rayon, une distance équivalente à la longueur d’une ondulation mesurée dans le vide.

Au reste, en généralisant la définition du coefficient caractérishique, on peut désigner sous ce nom le coefficient par lequel il faudra multiplier la caractéristique d’un rayon, mesurée dans un milieu isophane donné, pour obtenir la caractéristique d’un rayon de la même couleur dans un autre milieu. Il est d’ailleurs naturel d'appliquer à l'argument et au module du coefficient caractéristique ainsi défini les noms d’argument caractéristique et de module caractéristique.

Revenons à la considération des rayons réfléchis et réfractés par la surface de séparation de deux milieux. Nous avons déjà recherché le nombre, la direction de ces rayons et l'influence que peut exercer sur cette direction le pouvoir absorbant des milieux dont il s’agit. Recherchons maintenant comment la réflexion et la réfraction modifient, d’une part l'amplitude des vibrations lumineuses, d'autre part le mode de polarisation d’un rayon simple, particulièrement dans le cas où les milieux donnés sont isophanes, et où le premier de ces milieux est transparent.

Le rayon incident étant, par hypothèse, un rayon simple qui se propage dans un milieu isophane et transparent, pourra être censé résulter de la superposition de deux autres rayons qui seraient polarisés en ligne droite, le premier perpendiculairement au plan d'incidence, le second suivant ce même plan. Si l’on prend la normale à la surface

EXTRAIT N° 27. 177 réfléchissante pour l’un des axes coordonnés, et le plan d'incidence pour l’un des plans coordonnés, le premier des rayons composants se trouvera complètement caractérisé par les déplacements des molécules mesurés dans le plan d'incidence et parallèlement aux axes coordonnés que renfermera ce plan, tandis que le second des rayons composants se trouvera caractérisé par les déplacements des molécules mesurés perpendiculairement au plan d'incidence, ou, ce qui revient au même, parallèlement au troisième axe. Or, si le second milieu est isophane, comme le premier, les deux espèces de déplacements dont il s’agit, c’est-à-dire les déplacements mesurés, les uns dans le plan d’ineidence, les autres perpendiculairement à ce plan, se trouveront séparés dans les équations générales des mouvements infiniment petits auxquels se réduiront les vibrations lumineuses de chacun des milieux donnés, et il est naturel de penser, comme le calcul d’ailleurs nous l'indique, qu’alors aussi les déplacements des deux espèces se trouveront encore séparés dans les équations de condition relatives à la surface réfléchissante ou réfringente. Donc alors les deux rayons simples qui pourront être censés produire par leur superposition le rayon incident, et qui seront polarisés, le premier perpendiculairement au plan d'incidence, le second suivant ce même plan, se trouveront réfléchis et réfractés indépendamment l’un de l’autre. Il est d’ailleurs important d'observer que le rayon polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, et par suite renfermé dans ce plan, peut être indifféremment caractérisé, avant ou après la réflexion, ou même après la réfraction, si le second milieu est transparent, soit par les déplacements des molécules mesurés parallèlement aux deux axes coordonnés que renferme le plan d'incidence, soit par les déplacements absolus des molécules mesurés dans ce même plan sur des droites perpendiculaires à la direction du rayon lumineux.

De ce qu'on vient de dire il résulte que, pour découvrir les lois générales suivant lesquelles un rayon simple peut être réfléchi ou réfracté par la surface de séparation de deux milieux isophanes, dont le premier est transparent, il suffira de rechercher les lois particulières de la

réflexion et de la réfraction d’un rayon simple polarisé, ou perpendiculairement au plan d'incidence, ou suivant ce même plan. Alors aussi, dans le rayon réfléchi, et même dans le rayon réfracté, lorsque le second milieu sera transparent, nous pourrons nous borner à considérer les déplacements absolus des molécules qui seront mesurés, pour chaque rayon, dans le plan d'incidence ou perpendiculairement à ce plan, mais toujours sur des droites perpendiculaires à la direction du rayon. Enfin, pour rendre le langage plus précis, lorsque les rayons incident, réfléchi et réfracté seront polarisés perpendiculairement au plan d’incidence, ou, ce qui revient au même, renfermés dans ce plan, nous appellerons, pour chaque rayon, nœuds de première espèce, ceux qui précéderont des molécules déplacées dans un sens tel qu’en vertu de leur déplacement elles se trouvent plus rapprochées du second milieu, ou transportées plus avant dans son intérieur. Lorsqu’au contraire les rayons incident, réfléchi et réfracté seront polarisés suivant le plan d'incidence, c’est-à-dire, en d’autres termes, lorsque les vibrations des molécules seront perpendiculaires à ce plan, nous appellerons, pour chaque rayon, nœuds de première espèce ceux qui précéderont des molécules déplacées par rapport au plan d'incidence d’un côté déterminé, par exemple, du côté où se comptent positivement les coordonnées perpendiculaires au plan dont il s’agit. Quand nous disons ici qu'un nœud précède certaines molécules, cela veut dire qu'il est situé sur la direction primitive du rayon lumineux, de manière à s'éloigner de ces molécules en vertu de son mouvement de translation dû à la vitesse de propagation de la lumière.

Observons encore que, dans l'hypothèse admise, le déplacement absolu d’une molécule située sur le rayon incident, ou réfléchi, ou réfracté par un milieu transparent, aura pour expression le produit d’un facteur variable par une constante réelle, le facteur variable étant le cosinus de l'angle qu’on obtient en ajoutant un certain paramètre angulaire à ce qu’on peut nommer l'argument du rayon que l'on considère, c'est-à-dire, à l'argument du mouvement simple qui répond à ce rayon. Or la constante et le paramètre angulaire, dont il est ici

question, changent de valeurs dans le passage du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté ; et, pour établir les lois suivant lesquelles ce changement de valeurs s'effectue, ce qu’il y a de plus commode, c’est de recourir de nouveau à la considération des variables imaginaires dont les déplacements des molécules représentent les parties réelles.

En Analyse, on appelle expression symbolique, où symbole, toute combinaison de signes algébriques qui ne signifie rien par elle-même, ou à laquelle on attribue une valeur différente de celle qu'elle doit naturellement avoir. On nomme de même équations symboliques toutes celles qui, prises à la lettre et interprétées d’après les conventions généralement établies, sont inexactes ou n’ont pas de sens, mais desquelles on peut déduire des résultats exacts, en modifiant ou altérant, selon des règles fixes, ou ces équations elles-mêmes, ou les quantités qu’elles renferment. L'emploi des équations symboliques est souvent un moyen de simplifier les calculs et d'écrire sous une forme abrégée des résultats assez compliqués en apparence. D'ailleurs c’est évidemment parmi les expressions ou équations symboliques que doivent être rangées les expressions ou équations imaginaires et, comme nous en avons fait ailleurs la remarque (voyez l'Analyse algébrique, Chap. VIT), toute équation imaginaire n’est que la représentation symbolique de deux équations entre quantités réelles. Cela posé, lorsque, dans Îles équations linéaires qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système de points matériels, on remplacera les déplacements des molécules, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, par des variables imaginaires dont ces déplacements seront les parties réelles, les nouvelles équations que l’on obtiendra devront être naturellement appelées les équations symboliques des mouvements infiniment petits du système, et les variables imaginaires dont il s’agit pourront elles-mêmes être appelées les expressions symboliques des déplacements moléculaires ou, pour plus de brièveté, les déplacements symboliques des molécules. Pareillement, les équations symboliques de condition, relatives à la surface de séparation de deux systèmes de molécules, seront ce que deviennent les équations de condition relatives à cette surface, quand

on y remplace les déplacements effectifs des molécules par leurs déplacements symboliques. Enfin on devra interpréter dans le même sens le mot symbolique appliqué comme épithète, soit aux déplacements des molécules d’éther dans un rayon simple de lumière, soit aux équations différentielles ou finies d’un semblable rayon.

Ces définitions étant admises, considérons en particulier un rayon simple, polarisé rectilignement et propagé dans un milieu isophane. Nommons d’ailleurs déviation le déplacement absolu de la molécule éthérée qui correspond à un point donné du rayon, ce déplacement étant mesuré à partir de la position initiale de la molécule, et pris avec le signe + ou avec le signe — suivant que la molécule déplacée se trouve située d’un côté ou de l’autre par rapport à la direction primitive de ce rayon. Les déviations de toutes les molécules seront mesurées sur des droites parallèles entre elles et toujours perpendiculaires, si le milieu isophane est transparent, à la direction du rayon lumineux. De plus, la déviation symbolique d’une molécule d’éther dans le rayon donné, c’est-à-dire la variable imaginaire dont la déviation de cette molécule représentera la partie réelle, se trouvera exprimée par une exponentielle imaginaire qui aura pour base la base même des logarithmes népériens, et pour exposant une fonction linéaire des coordonnées et du temps. Enfin, la partie de cet exposant qui renfermera les coordonnées sera proportionnelle, si le milieu isophane est transparent, à la distance qui sépare la molécule du second plan invariable, c’està-dire du plan fixe mené par l’origine des coordonnées parallèlement aux plans des ondes, et se réduira, au signe près, au produit de cette distance par ÿ— 1 et par la caractéristique du rayon lumineux. Cela posé, dans tout milieu isophane et transparent, la déviation symbolique d’une molécule d’éther, comprise dans un rayon plan, sera tellement liée avec la position initiale de la molécule que, si l’on mesure sur la direction de ce rayon, et dans le sens de la vitesse de propagation des ondes planes, une longueur déterminée, le rapport entre les déviations symboliques des molécules primitivement situées à l’extrémité de cette longueur, et à son origine, aura pour logarithme népé-

rien, ou le produit de la longueur elle-même par Ÿ— 1 et par la caractéristique du rayon lumineux, ou ce produit pris en signe contraire. Done, pour obtenir la seconde de ces déviations symboliques, il suffira de multiplier la première par un coefficient imaginaire qui ait pour base la base même des logarithmes népériens et pour exposant le produit dont il s’agit pris avec son signe ou avec le signe opposé. D'ailleurs, on n’aura point à changer le signe de ce produit si l’on suppose, comme on peut toujours le faire, que, dans l’exposant de l’exponentielle imaginaire qui représente la déviation symbolique d’une molécule, le terme proportionnel au temps offre pour coefficient le produit de =: par une quantité négative. Nous adopterons cette supposition et, en conséquence, le coefficient symbolique par lequel on devra multiplier la déviation symbolique d’une molécule, en un point donné d’un rayon plan, pour obtenir la déviation symbolique en un autre point, sera une exponentielle qui aura pour base la base même des logarithmes népériens, l’exposant étant le produit de ÿ—- 1 par la caractéristique du rayon plan et par la distance du premier point au second, prise avec le signe + ou le signe —, suivant que l’on devra, pour passer de l’un à l’autre, marcher dans le sens suivant lequel est dirigée la vitesse de propagation des ondes planes, ou dans le sens opposé.

Au reste, toutes les fois qu’un rayon simple se propagera dans un milieu isophane et transparent, si l’on mesure les déplacements des molécules parallèlement aux axes coordonnés, ou même parallèlement à un axe fixe quelconque, les déplacements symboliques correspondants seront, d’après ce qu’on a dit au commencement de cette seconde Partie, respectivement égaux aux produits de constantes imaginaires par l’exponentielle qui aura pour base la base même des logarithmes népériens, et pour exposant le produit de ÿ— 1 par l’argument du rayon simple. Ajoutons que la constante imaginaire correspondante à un axe fixe donné sera elle-même le produit de la demi-amplitude d’une vibration mesurée parallèlement à cet axe par une autre exponentielle qu'on obtient en substituant dans la première à l’argument du rayon simple un paramètre angulaire constant. Lorsque le rayon simple est

polarisé rectilignement, et que l’axe fixe donné est parallèle aux droites suivant lesquelles s’effectuent les vibrations absolues des molécules, le déplacement symbolique d’une molécule se réduit à ce que nous avons appelé la déviation symbolique.

Il nous reste maintenant à montrer comment les déplacements symboliques et les déviations symboliques se modifient lorsqu'un rayon plan tombe sur la surface réfléchissante ou réfringente qui sépare un premier milieu isophane et transparent d’un autre milieu supposé 1sophane, et quelle simplicité la considération des déplacements et déviations symboliques apporte généralement dans les calculs qui servent à établir les lois des phénomènes de polarisation produits par la réflexion ou la réfraction de la lumière.