C.R., t. VIII, p. 146 (4 février 1839). — Suite

Comme nous l'avons déjà remarqué, les équations de condition relatives à la surface réfléchissante ou réfringente doivent se réduire, pour des mouvements infiniment petits du fluide éthéré, à des équations linéaires, en sorte que chaque membre de ces équations soit une fonction linéaire des déplacements moléculaires calculés pour le premier ou pour le second milieu, et de leurs dérivées prises par rapport à une ou plusieurs des variables indépendantes. D'ailleurs, dans ces mêmes équations, le déplacement d’une molécule, calculé comme st cette molécule était intérieure au premier milieu, et mesuré parallèlement à l’un des axes coordonnés, sera la somme des déplacements mesurés parallèlement au même axe dans les rayons incident et réfléchi; mais le déplacement d’une molécule, caleulé comme si cette molécule était intérieure au second milieu, sera simplement celui que le calcul donne pour le rayon réfracté. Cela posé, il est clair : 1° que, dans la théorie de

EXTRAIT N° 28. 153 la lumière, les équations symboliques de condition, relatives à la surface réfléchissante ou réfringente, seront linéaires par rapport aux déplacements symboliques des molécules et à leurs dérivées; 2° que ces déplacements symboliques se réduiront d’une part à la somme des déplacements symboliques des molécules, déterminés successivement pour le rayon incident et le rayon réfléchi, d'autre part au déplacement symbolique des molécules dans le rayon réfracté.

Observons maintenant que, si le rayon incident est un rayon simple, les déplacements symboliques des molécules, mesurés parallèlement aux trois axes coordonnés, dans le rayon incident ou réfléchi ou réfracté, seront les produits de trois constantes imaginaires par une seule exponentielle imaginaire dont l’exposant sera une fonction linéaire des væ riables indépendantes sans terme constant. Donc alors, pour obtenir la dérivée de l’un de ces déplacements symboliques, différentié une ou plusieurs fois par rapport à une ou plusieurs des variables indépendantes, il suffira de le multiplier une ou plusieurs fois par le coefficient ou les coefficients de ces variables dans l’exposant dont il s’agit. Par suite, si le rayon incident est un rayon simple, chaque membre des équations symboliques de condition, relatives à la surface réfléchissante ou réfringente, pourra être réduit à une fonction linéaire des déplacements symboliques des molécules dans les rayons incident, réfléchi et réfracté, chaque terme de la fonction linéaire étant proportionnel à l’un des déplacements symboliques qui pourra s’y trouver multiplié une ou plusieurs fois par un ou plusieurs des coefficients des variables indépendantes dans l’exposant de l’exponentielle imaginaire que renferme ce même déplacement. D'ailleurs, comme on la vu, cette exponentielle conserve la même valeur en un point quelconque de la surface réfléchissante, quand on passe du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté; elle représente donc un facteur commun à tous les termes compris dans les équations de condition symboliques, et celles-ci pourront être réduites, par la suppression de ce facteur commun, à des équations linéaires entre les constantes imaginaires par lesquelles la même exponentielle se trouvait multipliée

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dans les déplacements symboliques des molécules. Ces nouvelles équations linéaires sont précisément celles qui devront servir à déterminer les valeurs des constantes imaginaires dont nous venons de parler pour le rayon réfléchi et pour le rayon réfracté, quand elles seront connues pour le rayon incident. Ces constantes imaginaires étant ainsi déterminées pour le rayon réfléchi ou réfracté, si on les multiplie par la valeur générale de l’exponentielle imaginaire qui répond à ce rayon, on obtiendra immédiatement pour le même rayon les déplacements symboliques et, par suite, les déplacements effectifs des molécules mesurés parallèlement aux trois axes coordonnés.

De ce qu'on vient de dire il semble résulter, au premier abord, qu’on aurait besoin de six équations symboliques de condition pour déterminer les six constantes imaginaires correspondantes d’une part aux deux rayons réfléchi et réfracté, d’autre part aux trois déplacements moléculaires mesurés dans chacun de ces rayons parallèlement aux trois axes coordonnés. Mais on doit observer que, pour chaque rayon simple propagé dans un milieu isophane et transparent, il existe toujours entre ces trois déplacements une équation linéaire. Cette équation est celle qui exprime que les vibrations des molécules s’effectuent dans des plans perpendiculaires à la direction du rayon, et par conséquent celle que l’on forme en égalant à zéro la somme des trois déplacements respectivement multipliés par les coefficients des coordonnées dans l’argument du rayon simple. On pourra d’ailleurs, dans cette équation, remplacer les trois déplacements effectifs d’une molé- cule, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, par ses déplacements symboliques, ou même par les trois constantes imaginaires qui entrent comme facteurs dans les déplacements symboliques avec l’exponentielle imaginaire qui caractérise le rayon simple. Ajoutons que l'équation symbolique ainsi obtenue pourra être étendue au cas même où le milieu isophane cesserait d’être transparent, si dans cette équation on substitue généralement aux coefficients réels des coordonnées, pris dans l'argument du rayon simple, les coefficients imaginaires des coordonnées pris dans l’exposant de l’exponentielle imaginaire qui carac-

térise ce rayon. Cela posé, comme des trois constantes imaginaires relatives au rayon réfléchi ou au rayon réfracté, l’une pourra toujours être exprimée en fonction linéaire des deux autres, on n'aura plus à déterminer pour ces deux rayons que quatre constantes imaginaires, et pour y parvenir, il suffira des quatre équations symboliques de condition relatives à la surface réfléchissante. ,

Si les milieux donnés cessaient d’être isophanes, on obtiendrait, au lieu d’un rayon réfléchi et d’un rayon réfracté, deux rayons réfléchis et deux rayons réfractés, correspondants à douze constantes imaginaires. Mais alors aussi les trois constantes imaginaires relatives à chaque rayon seraient proportionnelles l’une à l’autre, et leurs rapports se déduiraient immédiatement de la direction même du rayon, supposée connue, ou plutôt de la direction des plans des ondes, comme il arrive pour les milieux transparents, mais non isophanes, et par conséquent doués de la double réfraction, puisqu’en effet, dans ces milieux, le mode de polarisation d’un rayon dépend uniquement de la direction des plans des ondes. Donc encore, dans le cas dont 1l s’agit, sur les douze constantes imaginaires correspondantes aux quatre rayons réfléchis et réfractés, il en restera seulement quatre à déterminer à l’aide des équations de condition symboliques relatives à la surface réfléchissante. Donc, dans tous les cas, le nombre de ces dernières équations, de celles du moins qui seront nécessaires à la détermination des constantes imaginaires, sera de quatre seulement.

Revenons au cas spécial où les milieux donnés sont isophanes, le rayon incident étant d’ailleurs un rayon simple. Si l’on considère ce rayon simple comme résultant de la superposition de deux autres rayons polarisés en ligne droite, l’un perpendiculairement au plan d’incidence, l’autre suivant ce même plan, les deux rayons composants se trouveront, ainsi qu’on l’a dit plus haut, réfléchi et réfracté indépendamment l’un de l’autre. Concevons d’ailleurs que l’on prenne pour un des axes coordonnés la normale à la surface réfléchissante, et pour un des plans coordonnés le plan d'incidence; des quatre équations de condition deux se rapporteront à la réflexion et à la réfraction du rayon

polarisé perpendiculairement au plan d'incidence, les deux autres à la réflexion et à la réfraction du rayon polarisé suivant ce même plan. Ces deux dernières renfermeront trois constantes imaginaires relatives à trois rayons incident, réfléchi, réfracté, tous trois polarisés suivant le plan d'incidence, et détermineront les rapports de ces trois constantes. Au contraire, les deux premières équations symboliques de condition contiendront six constantes imaginaires correspondantes aux rayons incident, réfléchi, réfracté qui seront polarisés perpendiculairement au plan d'incidence, ou, en d’autres termes, renfermés dans ce plan. Mais alors les deux constantes imaginaires, correspondantes à chaque rayon, seront liées entre elles par une équation linéaire qu’on obtiendra en égalant à zéro la somme de ces: deux constantes respectivement multipliées par les coefficients des coordonnées, mesurées suivant le plan d’incidence, dans l’exposant de l’exponentielle imaginaire à laquelle les déplacements symboliques des molécules sont proportionnels. Donc, entre les six constantes imaginaires dontil s’agit, on aura en tout cinq équations qui suffiront encore pour déterminer les rapports de ces constantes. Dans l’un et l’autre calcul, le rapport suivant lequel varie la constante imaginaire correspondante à l’un des axes coordonnés, quand on passe du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté, est aussi le rapport suivant lequel varie, dans ce passage, le déplacement symbolique relatif à cet axe, en un point quelconque de la surface réfléchissante |

Il est bon d'observer que, dans chacun des rayons polarisés suivant le plan d'incidence, les déplacements des molécules, mesurés perpendiculairement au même plan, représentent, au signe près, les déplacements absolus de ces molécules, et peuvent être censés se confondre avec leurs déviations. Donc, par suite, dans ces rayons, les déviations symboliques ne différeront pas des déplacements symboliques. Quant aux rayons polarisés perpendiculairement au plan d’incidence, et par conséquent renfermés dans ce plan, chacun d’eux se composera de molécules dont les déplacements absolus ne seront généralement dirigés suivant aucun des axes coordonnés compris dans le plan d’inci-

EXTRAIT N°98. 157 dence. Mais, si le milieu dans lequel un semblable rayon se propage est transparent, le déplacement absolu d’une molécule et par suite se déviation se réduiront, au signe près, au quotient qu’on obtient quand on divise le déplacement mesuré suivant une normale à la surface réfléchissante par le sinus de l'angle aigu compris entre la normale et le-rayon. H y a plus; la déviation sera précisément égale au quotient dont il s’agit, si le déplacement mesuré sur une normale à la surface réfléchissante et la déviation elle-même se comptent positivement pour toute molécule qui, en s’éloignant de sa position initiale, se rapproche du second milieu, ou pénètre plus avant dans son intérieur. Cette convention étant admise, la déviation symbolique, pour un rayon incident, ou réfléchi, ou réfracté, polarisé perpendiculairement au plan d’incidence, mais propagé dans un milieu transparent, sera le quotient qu'on obtient quand on divise par le sinus d’incidence, ou par le sinus de réflexion, ou par le sinus de réfraction Le déplacement symbolique dont la partie réelle est le déplacement mesuré suivant une normale à la surface réfléchissante. Done, lorsqu’en un point quelconque de cette surface on passera, d’un rayon incident et renfermé dans le plan d'incidence, au rayon réfléchi ou réfracté, en supposant que ce dernier est propagé dans un milieu transparent, alors, non seulement le déplacement symbolique dont il s’agit variera en chaque point de la surface réfléchissante, dans un rapport déterminé par les équations de condition ci-dessus mentionnées, mais de plus la déviation symbolique variera dans un second rapport qui sera le produit du premier par l’indice de réflexion ou de réfraction.

En résumé, les équations symboliques de condition, relatives à la surface réfléchissante, fourniront le moyen de déterminer le rapport suivant lequel la réflexion ou la réfraction fera varier la déviation symbolique des molécules dans un rayon polarisé perpendiculairement au plan d’incidence ou suivant ce même plan, c’est-à-dire, en d’autres termes, le coefficient imaginaire par lequel on devra, en chaque point de la surface réfléchissante, multiplier la déviation symbolique d’une molécule considérée comme comprise dans le rayon incident, pour

obtenir la déviation symbolique de la même molécule considérée comme comprise dans le rayon réfléchi ou réfracté, en supposant d’ailleurs que ce dernier rayon se propage dans un milieu transparent. Le coefficient imaginaire dont il s’agit ici est ce que nous appellerons désormais le coefficient de réflexion ou le coefficient de réfraction, et, d’après ce qui a été dit ci-dessus, il dépendra uniquement des coefficients des variables indépendantes dans les exposants des exponentielles imaginaires auxquelles les déplacements symboliques des molécules sont proportionnels. Il n’y a point d'exception à faire à cet égard pour les rayons renfermés dans le plan d'incidence, attendu que l'indice de réflexion ou de réfraction est précisément le rapport suivant lequel varie le coefficient de l’une des coordonnées quand on passe du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté, en supposant que celui-ci se propage comme le premier dans un milieu transparent. Ajoutons qu'en vertu de l'hypothèse admise sur la disposition des axes et des plans coordonnés, les coefficients des coordonnées dans les exponentielles imaginaires pourront être facilement exprimés en fonctions de l'angle d'incidence et des caractéristiques des rayons incident et réfracté. En effet, l’un des axes étant perpendiculaire au plan d'incidence, la coordonnée mesurée suivant cet axe disparaîtra des exponentielles imaginaires où son exposant sera réduit à zéro, et par suite les coefficients des deux autres coordonnées, dans l’exponentielle imaginaire correspondante au rayon incident, ou réfléchi, ou réfracté, fourniront des carrés dont la somme, prise en signe contraire, offrira pour racine carrée la caractéristique de ce même rayon. Il sera donc facile de calculer un de ces deux coefficients quand on connaïtra l’autre et la caractéristique. D'ailleurs le coefficient de la coordonnée mesurée sur la droite d’intersection du plan d'incidence et de la surface réfléchissante restera le même pour les trois rayons, et sera équivalent au produit qu’on obtient quand on multiplie le sinus d'incidence par la caractéristique du rayon incident et par ÿ— 1. Enfin, le premier milieu étant par hypothèse isophane et transparent, les rayons incident et réfléchi offriront la même caractéristique. Quant au coefficient du temps, il conservera la

même valeur dans les exposants des trois expenentielles imaginaires, relatives aux trois rayons incident, réfléchi, réfracté, et il sera équivalent, au signe près, au produit de ÿ— 1 par le rapport du nombre 2+ à la durée d’une vibration moléculaire.

Observons encore qu'en vertu de l'égalité supposée des caractéristiques des rayons incident et réfléchi, les coefficients de la coordonnée perpendiculaire à la surface réfléchissante, dans les exponentielles imaginaires relatives à ces deux rayons, seront, au signe près, égaux entre eux, le premier étant le produit de la caractéristique du rayon incident par le cosinus de l’angle d'incidence et par ÿ— 1. Donc, en définitive, les coefficients des coordonnées, dans les exposants des exponentielles imaginaires correspondantes aux rayons incident, réfléchi et réfracté pourront être réduits à trois, savoir : au coefficient unique de la coordonnée mesurée sur la droite d’intersection du plan d'incidence et de la surface réfléchissante, au coefficient de la coordonnée perpendiculaire à cette surface dans le rayon incident, et au coefficient de la même coordonnée dans le rayon réfracté. Ce dernier coefficient, qui dépendra des caractéristiques des rayons incident et réfracté, offrira généralement une partie réelle si la caractéristique du rayon réfracté devient imaginaire, ou si, cette caractéristique étant réelle, mais inférieure à celle du rayon incident, le sinus d'incidence surpasse le rapport de l’une à l’autre. Alors le second milieu sera opaque, ou du moins il jouera le rôle d’un corps opaque, et le mouvement réfracté, en pénétrant dans l’intérieur du second milieu, s’affaiblira par degrés, de manière à devenir insensible à une distance plus ou moins considérable de la surface réfringente.

Les caractéristiques des rayons incident et réfléchi dépendent de la nature des milieux isophanes dans lesquels on suppose que ces deux rayons se propagent. Cette nature étant donnée, avec la durée des vibrations moléculaires, ou, ce qui revient au même, avec la couleur des rayons, les coefficients de réflexion et de réfraction, pour un rayon polarisé ou perpendiculairement au plan d'incidence, ou suivant ce même plan, varieront avec l’angle d'incidence. Mais ils resteront indépendants

de l'amplitude des vibrations moléculaires dans le rayon incident et de la position de ses nœuds. Voyons, d’après ce principe, comment cette amplitude et cette position varient quand on passe du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté.

De même qu’on appelle logarithmes népériens les logarithmes pris dans le système dont la base est Le nombre e—2,7182818, ..., de même il est naturel d'appeler exponentielles népériennes celles qui ont pour base ce même nombre. Or, parmi ces exponentielles, on doit surtout distinguer celles dans lesquelles la partie réelle de l’exposant s’évanouit. En effet, dans une semblable exponentielle, considérée comme expression imaginaire, le module se réduit à l’unité, tandis que la partie réelle et le coefficient de ÿ— 1 se réduisent à deux lignes trigonométiques, savoir : au cosinus et au sinus de l’argüment. Pour cette raison, nous désignerons les exponentielles népériennes dans lesquelles la partie réelle de l’exposant s’évanouira, sous le nom d’exponentielles trigonométriques. Cela posé, étant donnés le module et l'argument d'un mouvement simple où d’un rayon simple, l’exponentielle imaginaire qui caractérisera ce mouvement ou ce rayon, et qui offrira pour exposant une fonction linéaire mais imaginaire des variables indépendantes sans terme constant, se réduira toujours au produit du module par l’exponentielle trigonométrique dont l'argument sera celui du mouvement simple ou du rayon simple. La dernière exponentielle exprimera donc la valeur de la première si le module se réduit à l'unité, ce qui arrivera, par exemple, lorsqu'un rayon simple se propagera dans un milieu transparent. Alors aussi la constante imaginaire par laquelle on devra mulüplier l’exponentielle dont il s’agit, pour obtenir le déplacement d’une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe, ne sera autre chose que le produit de la demi-amplitude des vibrations parallèles à cet axe par l’'exponentielle trigonométrique qui offrira pour argument le paramètre angulaire. Enfin, si, en considérant un rayon simple, réfléchi ou réfracté par la surface de séparation de deux milieux isophanes, et en supposant ce rayon polarisé, ou perpendiculairement au plan d’incidence, ou suivant ce plan, on nomme modules et arguments de réflexion

et de réfraction les modules et les arguments du coefficient de réflexion et du coefficient de réfraction, chacun de ces derniers coefficients ne sera autre chose que le produit du module de réflexion ou de réfraction par l’exponentielle trigonométrique correspondante à l'argument de réflexion ou de réfraction. Or, pour multiplier une expression 1maginaire par une autre, il suffit de multiplier le module de la première par le module de la seconde et d'ajouter à l'argument de la première l'argument de la seconde. Donc, puisque, dans le passage du rayon incident au rayon réfléchi ou réfracté, la déviation symbolique d’une molécule, et par suite la constante imaginaire qui entrera comme facteur dans cette déviation, varieront dans un rapport égal au coefficient de réflexion ou de réfraction, il est clair que, dans ce passage, la demiamplitude des vibrations moléculaires vartera dans un rapport représenté par le module de réflexion ou de réfraction, tandis que le paramètre angulaire se trouvera augmenté de l'argument de réflexion ou de réfraction. D'ailleurs, dans un rayon simple polarisé en ligne droite et propagé dans un milieu transparent, l'angle, dont le paramètre angulaire représente le complément, a pour mesure le produit de la caractéristique par la distance qui au premier instant sépare du second plan invariable un des nœuds de ce rayon; et si, à un instant donné, le paramètre angulaire se trouve tout à coup augmenté ou diminué d’une quantité donnée, chaque nœud se trouvera immédiatement déplacé et transporté, en arrière ou en avant de la position qu'il occupait, à une distance représentée par le rapport entre l'augmentation ou la diminution du paramètre angulaire et la caractéristique. Done, lorsqu'on fait tomber sur la surface de séparation de deux milieux isophanes un rayon polarisé, ou perpendiculairement au plan d'incidence, ou suivant ce plan, et que le rayon réfléchi ou réfracté se propage sans s’affaiblir, la réflexion ou la réfraction du rayon incident produit en général les deux effets que nous allons énoncer : 1° tandis que le rayon incident se transforme en rayon réfléchi ou en rayon réfracté, les demi-amplitudes, et par suite les amplitudes des vibrations moléculaires, varient dans un rapport égal au module de réflexion ou de réfraction; 2° chaque nœud, à l'instant ŒEuvres de C.—S.I, t.1IV. 2

méme où, en vertu de son mouvement de propagation, il atteint la surface réfléchussante, se trouve déplacé et transporté, sur le rayon réfléchi ou refracté, en arrière ou en avant de la position qu'il occupait, à une distance représentée, au signe prés, par le rapport entre l'argument de réflexion et la caractéristique du rayon réfléchi, ou entre l'argument de réfraction et la caractéristique du rayon réfracté; savoir : en arrière, st l'argument dont il s'agit est positif, et en avant, si cet argument devient négatif. D'ailleurs, ces deux effets, pour une couleur donnée, et pour des milieux isophanes donnés, dépendront uniquement de l'angle d'incidence, et resteront, ainsi que les coefficients, les arguments et les modules de réflexion ou de réfraction, indépendants de l’amplitude des vibrations moléculaires dans le rayon incident et de la position des nœuds dans ce même rayon.

IL importe d'observer que l'argument de toute expression imaginaire peut être réduit à une quantité négative dont la valeur numérique ne surpasse pas la circonférence, par conséquent à un angle renfermé entre les limites — 27 et zéro. Or, si l’on suppose, comme on peut toujours le faire, l'argument de réflexion ou de réfraction compris entre ces limites, le rapport de cet argument à la caractéristique du rayon réfléchi ou réfracté ne sera autre chose que ‘la distance comprise entre un nœud qui, dans le rayon incident, atteint à un instant donné la surface réfléchissante, et le nœud de même espèce qui, au même instant, se trouve situé en avant du premier, le plus près possible de la surface, sur la direction du rayon réfléchi ou réfracté.

Si le rayon incident était polarisé elliptiquement, ou circulairement, ou rectilignement, mais suivant un plan quelconque, on pourrait le regarder comme résultant de la superposition de deux rayons polarisés l’un perpendiculairement au plan d'incidence, l’autre suivant ce même plan; et alors la réflexion ou la réfraction aurait pour effet : 1° de faire varier le rapport entre les amplitudes des vibrations moléculaires, dans les deux rayons composants, proportionnellement au rapport entre les modules de réflexion ou de réfraction correspondants à ces deux rayons;

2° d’éloigner ou de rapprocher les nœuds de premiere espèce de l’un, des

EXTRAIT N° 98. 163 nœuds de première espèce de l'autre, le déplacement relatif des nœuds de méme espèce dans les deux rayons étant, au signe près, le rapport entre la différence de leurs arguments et la caractéristique des rayons réfléchis ou réfractés. Si, avant ou après la réflexion ou la réfraction, les nœuds de première espèce de l’un des rayons composants coincident avec les nœuds de première ou de seconde espèce de l’autre, le rayon résultant sera polarisé en ligne droite, et l’inclinaison du plan de polarisation sur le plan d'incidence, c’est-à-dire, l’angle aigu compris entre les deux plans, aura pour tangente trigonométrique le rapport entre les amplitudes des vibrations moléculaires dans les deux rayons polarisés, l’un perpendicu-. lairement au plan d'incidence, l’autre suivant ce plan. D'ailleurs le plan de polarisation du rayon résullant sera suué d'un côté ou de l'autre du plan d'incidence, suivant que la superposition des rayons composants fera coincider, avec les nœuds de premuère espèce de l’un, les nœuds de premiere ou de seconde espèce de l’autre. Si l'un des rayons composants offre des nœuds séparés de ceux de l’autre, le rayon résultant sera polarisé circulairement ou elliptiquement; &/ sera polarisé circulairement, si les vibrations moléculaires présentent les mêmes amplitudes dans les deux rayons composants, et si d’ailleurs les nœuds de l’un se trouvent séparés de ceux de l’autre par des distances égales au quart de la longueur d'une ondulanon. Mais, si la séparation des nœuds existe, sans que les deux conditions ici énoncées se trouvent remplies, le rayon résultant sera doué de la polarisation elliprique. Au reste, dans ce dernier cas, & pourra toujours être considéré comme résultant de la superposition de deux rayons” simples, polarisés en ligne droite suivant deux plans rectangulaires entre eux, et tellement choisis que les nœuds des deux nouveaux rayons se trouvent encore séparés par des distances égales au quart de la longueur d'une ondulation. Seulement ces nouveaux rayons, dont aucun pour l'ordinaire ne sera polarisé suivant le plan d'incidence, offriront des vibrations moléculaires dont les amplitudes seront inégales.