C.R.,t. VIT, p. 374 (18 mars

La question que je vais traiter ici est, comme l'on sait, de la plus haute importance, puisque la solution des problèmes de Physique mathématique dépend surtout des équations relatives aux limites des corps considérés comme des systèmes de molécules. Toutefois, malgré les nombreux travaux des géomètres sur la Physique et la Mécanique, il n'existe point de méthode générale propre à conduire au but dont il s’agit. Il y a plus, dans les divers cas particuliers qui ont été traités jusqu’à ce jour, on se bornaït ordinairement à faire des hypothèses plus ou moins vraisemblables sur la forme des équations aux limites, sans chercher à déduire ces mêmes équations de méthodes rigoureuses. C’est ainsi que, dans la théorie des liquides, des corps élastiques, ete., on supposait, sans le démontrer, les pressions intérieure et extérieure égales entre elles à de petites distances des surfaces qui terminaient ces corps ou ces liquides; et il ne me conviendrait nullement d’en faire un reproche aux savants géomètres qui ont traité ces matières, puisque j'en ai agi de même dans plusieurs des articles que renferment mes Exercices de Mathématiques. Toutefois on doit avouer que de semblables hypothèses n’offrent rien de satisfaisant à l’esprit; et c’est ce qui m'avait engagé, dans un Mémoire, lithographié en 1836, sur la théorie de la lumière, à proposer quelques théorèmes qui pussent servir à trouver, dans certains cas, les équations aux limites. Mais, quoique ces théorèmes m’aient effectivement fourni les conditions relatives à la surface de séparation de deux milieux isophanes, il n’était pas tou- Jours facile de les appliquer, et ils laissaient à désirer une méthode

OEuvres de C.— S. 1, t. IV. 29

générale et régulière qui püût embrasser les divers problèmes de la Physique moléculaire. Ayant réfléchi longtemps sur cet objet, j'ai été assez heureux pour obtenir enfin cette méthode générale, dont je vais poser les bases. Le principe fondamental, sur lequel je m’appuie, a l'avantage d’être à la fois très fécond et très facile à comprendre; il repose sur les considérations suivantes.

Considérons un système d'équations différentielles entre plusieurs variables principales et une seule variable indépendante qui sera, si l’on veut, une coordonnée mesurée perpendiculairement à un plan fixe; et supposons que ces équations, conservant toujours la même forme d’un côté donné du plan fixe et à une distance finie, changent très rapidement de forme dans le voisinage de ce même plan. Supposons d’ailleurs qu’on les intègre d’abord, sans tenir compte du changement de forme. Si l’on nomme » le nombre des variables principales que ces équations renferment, quand elles sont toutes réduites au premier ordre, leurs intégrales générales pourront être représentées par un système de x» équations finies, dont les premiers membres renfermeront seulement la variable indépendante et les variables principales, tandis que les constantes arbitraires qui pourront être censées représenter des valeurs particulières des variables principales, savoir, les valeurs correspondantes au plan fixe, seront reléguées dans les seconds membres. Nous appellerons les intégrales de cette forme intégrales principales, et leurs premiers membres fonctions principales. Cela posé, si, dans la dérivée totale de chaque fonction principale, on substitue à la dérivée de chaque variable principale sa valeur tirée des équations différentielles données, sans avoir égard au changement de forme de ces équations dans le voisinage du plan fixe, on obtiendra une fonction de toutes les variables, qui restera identiquement égale à zéro, quelles que soient les valeurs de ces variables. Donc, si l’on a égard au changement de forme des équations différentielles, le résultat de la substitution sera lui-même sensiblement égal à zéro, à une distance finie du plan fixe, pourvu toutefois que, dans la différentielle totale de la fonction principale, les différentielles des diverses variables principales ne se

trouvent pas multipliées par des coefficients qui croissent très rapidement avec la distance au plan fixe. Ce dernier cas excepté, la différence finie de la fonction principale, c’est-à-dire la différence entre sa valeur correspondante à un point quelconque et sa valeur correspondante au plan fixe, sera une intégrale définie du genre de celles que j'ai nommées sntégrales définies singulières, par conséquent une intégrale définie prise entre deux limites très voisines, savoir, entre une valeur nulle et une valeur très petite de la coordonnée que l’on considère. Si le produit de cette valeur très petite par le module maximum de la fonction sous le signe f est très peu considérable, l'intégrale singulière pourra être négligée sans erreur sensible; et, par suite, les intégrales principales qu’on avait obtenues, en faisant abstraction du. changement de forme des équations différentielles, ou du moins celles des intégrales principales pour lesquelles la condition énoncée sera remplie, continueront de subsister quand on aura égard au changement de forme des équations dont il s’agit.

Au reste, 11 n’est nullement nécessaire que la variable indépendante dont nous avons parlé soit une coordonnée rectiligne ; elle pourrait être une coordonnée polaire, ou plus généralement une coordonnée de nature quelconque, par exemple, un paramètre variable d’une surface courbe dont l’une des formes serait celle de la surface extérieure qui termine un corps donné ou un système de molécules.

Nous exposerons, dans plusieurs articles successifs, les innombrables conséquences qui se déduisent du principe ci-dessus énoncé. Nous ferons voir comment ce principe, établi pour un système d'équations différentielles, peut être étendu à un système d’équations aux différences partielles ou aux différences mêlées. Nous considérerons en particulier le cas où les équations données sont linéaires. Dès lors il deviendra facile d'appliquer le principe dont il s’agit à la théorie des mouvements vibratoires, infiniment petits, d’un corps ou d’un système de molécules, par conséquent à la théorie de la lumière, des surfaces vibrantes, des corps élastiques, etc. Enfin nous verrons comment il arrive que Certains mouvements simples sont ou ne sont pas propres

à passer d’un corps dans un autre corps, suivant que les équations aux limites peuvent être vérifiées simultanément ou ne peuvent l'être ; et nous obtiendrons ainsi de nouvelles conditions relatives à la possibilité de la transmission d’un mouvement vibratoire passant d’un milieu donné dans un autre milieu.

S 1. — Démonstration du principe fondamental.

Considérons un système d'équations différentielles réduites au pre-

mier ordre et à la forme

d£ d, dé (1) SR, Ce EE ee ER dx æ désignant une variable indépendante qui sera, si l'on veut, une coordonnée comptée à partir d’un plan fixe, £, n, ©, .… étant les variables

principales, et X, Y,Z, .… des fonctions données de toutes les variables

æ, Ë, 1; æ - Soient Ëo» 10; Co» vs les valeurs de

correspondantes au plan fixe, pour lequel on a x = o; enfin soit (2) S —= So

une intégrale principale du système des équations (1), S désignant une certaine fonction des seules quantités æ, €, n, €, ..., et S, ce que de-

Fe. * vient S quand on y remplace respectivement +, €, n, bises DRE on %6, Los - De l'équation (2), différentiée et combinée avec les formules (1), on tirera la suivante

08, 08 x 4 98 y 4 gi el

dont le premier membre, considéré comme une fonction de x, Ë,"n,4,..…., devra être identiquement égal à zéro, ainsi qu’il est facile de le prouver

(voir le Mémoire sur l'intégration des équations différentielles, lithographié en 1835).

Supposons maintenant que, dans le voisinage du plan fixe, les équations (1) changent de forme et deviennent

dé

= Z + &, SLT dx

X, 3, *, .. désignant des fonctions de æ,Ë, n, 7, ... qui s’évanouissent dt à une distance finie du plan fixe. Les valeurs de £, », 7, .., déterminées par le système des formules (4), continueront de vérifier l'équation (3), puisque celle-ci est identique, et fourniront pour 4S la valeur suivante

08 08 Ho as=[® + HR) RUT ET) + DZ +) +. «far.

laquelle, en vertu de l’équation (3), se réduira simplement à

28 08 ds = (+ +594 dE +..)de:

de sorte que, en posant pour abréger