C.R., t. VII, p. 432 (25 mars 1839). — Suite
$ I — Application du principe fondamental à un système d'équations différentielles linéaires.
La variable indépendante æ étant toujours censée représenter une coordonnée perpendiculaire à un plan fixe, supposons que les variables principales
cmd, soient déterminées en fonction de x par un système d'équations différentielles linéaires, et admettons d’abord que ces équations différentielles, étant toutes réduites au premier ordre, se présentent, quel que soit æ, sous la forme
dE Mio de
(1) FPE n RCE di ae = 45 …..)
X, Y,Z, .. désignant des fonctions linéaires de £, r, *, .… dont chacune se trouve exprimée par une somme de termes respectivement proportionnels à £,, %, .... Si, dans les sommes ou polynômes X, Y, Z, .…, les coefficients de £, », Ÿ, ... sont constants, un moyen fort simple d'obtenir un système d’intégrales particulières des équations (1) sera de supposer
(2) CAE’, n —Bexr, = Cerr, es
ta RAS; xB = w, xC=S, FAR
dans lesquelles 4, 1, ©, .… désignent ce que deviennent les fonctions linéaires X, Y, Z, ... quand on y remplace les variables principales £,n, €, ... par ces mêmes constantes À, B, C, .... Si l’on nomme n le nombre des équations (1), » sera encore le nombre des formules (3), et il suffira d'éliminer entre ces dernières les constantes A, B, C, ... pour obtenir une équation en x, qui sera généralement du degré ». Soit
(4) mr
cette dernière équation. À chacune de ses racines correspondra généralement un seul système de valeurs des rapports
déterminés par les formules (3). Mais l’une des constantes rs
la première, par exemple, restera indéterminée. Un système d’intégrales des équations (1) fourni, comme on vient de l’expliquer, par les équations (2) jointes aux formules (3) et (4), sera ce que nous nommerons un système d’entégrales simples. Un semblable système se trouvera particulièrement caractérisé par la valeur attribuée au coefficient x de æ dans l’exponentielle népérienne e**, à laquelle les valeurs des variables principales seront toutes proportionnelles; et, pour cette raison, lorsqu'un système d’intégrales simples sera déduit d’une des valeurs de + déterminées par l'équation (4), cette valeur de x sera nommée la caractéristique du système.
Il est bon d'observer que, si l’on met de côté la première des formules (3), le système des suivantes pourra être remplacé par une
équation multiple de la forme (5) pr.
a, b,c, ... désignant des fonctions entières de x, dont la première sera
EXTRAIT N° 34. 201 du degré # — 1, et les autres du degré 7 — 2. D'ailleurs, on vérifiera la formule (5) en prenant
6) LT UR. = DK, Co RUE
quelle que soit la valeur attribuée à la constante K. Cela posé, les équations (2) donneront généralement
E — Kaex+, n = Kber+, EF — Kcexr, A
SI
a, b,c,..., x, K désignant des constantes qui seront toutes déterminées à l'exception de la constante arbitraire K. Ajoutons que, pour obtenir l'équation (4), il suffira de remplacer dans la première des équations (3) les coefficients
par
Soient maintenant #15 42, AUS la
les diverses valeurs de la caractéristique + fournies par l'équation (4), et :
di; b,, Ci es. do, b, C2; cs Ans bn, Ca,
les valeurs correspondantes de a, b, ce, .... Aux » valeurs de x répondront les systèmes d’intégrales simples
(8) E—Kiaenr, n=kK:b,exr, Racer
(9) Ë — K> @ Ex2+, # hs bsex:r, Ge Rec DR ra AE ; ii dde dis ie Role US À
(10) an Kaanetn+, A = Kn bn eXn af É—=Kycretr,
dont le nombre sera encore égal à 7, et dans lesquels les x» coeffi-
clients K,, K, .… >
resteront arbitraires. Cela posé, on vérifiera généralement les équa- OEuvres de C.—S.I,t.IV. 26
tions (1) en prenant | E=Kia;etr+ Kiasexr +...+Konnetre,
{ n=Kibienut + Kibietit +... + Kiybnetn+,
(11) C—K,cierit+ K:icetT +... + K;cretr*T |
À sm D. 0 mis ts.eivie 2 6 06 28 o:6re5is à pis die ss es MES CU .
Ces dernières formules, qui renfermeront #7 constantes arbitraires
seront propres à représenter les intégrales générales des équations (1); et, pour les transformer en intégrales principales, il suffira d’en tirer les valeurs de ces mêmes constantes exprimées en fonction de toutes les variables
Ty Es 0 On y parviendra sans peine en combinant entre elles par voie d’addition les formules (11) respectivement multipliées par des facteurs auxiliaires |
NN Mr ns et
tellement choisis que toutes les constantes arbitraires se trouvent éliminées à l'exception d’une seule. En effet, si l'on prend pour + l’une des caractéristiques |
Li; 22; ..) LATE
et si l'on choisit x, w, v, ... de manière à vérifier les équations de
condition Adi +pb; +vci +...—=o, 2 À + nb: +vcs +...—=0, RDS Ed tt Mo ense :
l Àan + pbon+vcen+...—=0,
à l'exception, toutefois, de celle qui correspond à la caractéristique donnée x, on tirera des formules {1 1)
(13) AE un ++... =K(la+ pub +vc+...)exr,
par conséquent,
(14) QE + un + vf +... )e-tt = K{(da + pb +v6+...).
EXTRAIT No 34. 203
Si, d’ailleurs, on nomme les valeurs de
correspondantes à æ — 0, l'équation (14) entrainera la suivante (15) QE + un + vf +... ee —Ëo + uno + v£o +...
qu'on peut encore écrire ainsi
(16) (+ rte. eme + net
et dans laquelle les rapports
se trouveront, en général, complètement déterminés pour chaque valeur déterminée de la caractéristique x. Enfin, en attribuant sucessi-
vement à + les diverses valeurs Ris 29» dis SAS on déduira successivement de la formule (15) ou (16) » intégrales principales des équations (1).
Au reste, pour arriver directement à la formule (15), il suffit de
combiner entre elles par voie d’addition les équations (1) respectivement multipliées par des facteurs constants
D ici
choisis de manière que la fonction linéaire de £, n, Z. ... représentée
par le polynôme AX +pY +yZ +...
devienne proportionnelle à la somme ÀË + un + vi +..., et par conséquent de manière que l’on ait
AX +uY +yZ +...
Fr cr Es (17) À pan + vb Bus.
+ désignant un rapport constant. Alors, en effet, on tirera des équa-
tions (1)
d'(XE + un + v£ +...) dx
(18) — 4 (RE + un +vé +...)—o,
puis, en multipliant chaque terme par e **, et posant pour abréger
tt S — (AE + pn + v5 +...)e"*r,
on réduira la formule (18) à PE
f \ pie FER sen à dx
(20) Or, en nommant S, ce que devient S pour x —0o, de sorte qu'on ait (21) So = ÀËo + Uno + V50 +...,
et intégrant l'équation (20), on-obtiendra la formule
(22) S'ésh;,
qui coïncide avec l'équation (15).
Les deux méthodes que nous venons d'appliquer à la recherche des intégrales principales d’un système d'équations linéaires sont connues depuis longtemps. Mais il était nécessaire de les rappeler en peu de mots pour faciliter l'intelligence de plusieurs propositions remarquables que nous allons établir.
Supposons maintenant que, du côté des + positives et dans Île voisinage du plan fixe donné, les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les variables principales
