Ë, UP C

changent de forme et deviennent

dE AR le . dn PL TE Ÿ d° PER" ++ (23) Je CR FPT PO, Rte

x, 7, %,... désignant des fonctions linéaires de €, n, £, ... dont chacune se compose de termes respectivement égaux aux produits de £, n, &, .. par des facteurs qui ne soient plus constants, mais qui va-

EXTRAIT N° 34. 205 rient avec æ, et s’évanouissent sensiblement à une distance finie du

plan fixe, par exemple, quand x surpasse la distance très petite :. En supposant les facteurs auxiliaires

choisis comme il a été dit ci-dessus, et faisant pour abréger (24) S—(AX +uT +vyb+...)e-xr,

on déduira des équations (23), non plus la formule (20), mais la suivante |

d 25 AT RME SL F9) de —° Par suite, pour que l'intégrale principale (16) ou (22) continue de subsister quand on aura égard au changement de forme des équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les valeurs réelles de £, r, 7, ….,

il sera nécessaire, conformément au principe fondamental exposé dans . 0 La or .

le ST : 1° que l'intégrale

(26) f sa f (A +uÿ +y$ +...)e-xx dx

Juisse être réduite sans erreur sensible à l'intégrale définie singulière 8 $

(27) 4 S dx;

2° que le produit (28) ES

soit très petit par rapport à S,. D'autre part, si l’on substitue les valeurs générales de x, 7, %, ... dans la somme

AX +UuT +vk+...,

on verra celte somme se réduire, aussi bien que x, 7, %, ..., à des fonctions linéaires de £, n, 7, .... On aura donc

(29) À AIX +uÿ+yb+...—=Li+Mn+NE+...,

L, M, N, ... étant des fonctions de la seule variable x, qui renfermeront d’ailleurs les facteurs auxiliaires à, , v, ... et qui s’'évanouiront

sensiblement à une distance finie du plan fixe. Donc les intégrales (26) et (27) seront de la forme

0) farm nee era M '

31) [ (LE+Mn+Nt+...)e-x dr.

Les deux conditions ci-dessus énoncées pourront être ou n'être pas remplies, du côté des x positives, pour une ou plusieurs des x valeurs de la caractéristique x, suivant que les variables principales, mesurées de ce côté à une distance finie du plan fixe, renfermeront dans leur expression un plus ou moins grand nombre de valeurs de x, c’est-à-dire suivant que les valeurs attribuées aux variables principales, pour une valeur finie et positive de x, contiendront plus ou moins de termes du genre de ceux que présentent les seconds membres des formules (11), quand aucune des constantes arbitraires K,, K,, ..., K, ne s’évanouit. Supposons, pour fixer les idées, que les valeurs attribuées aux variables principales, à une distance finie du plan fixe et du côté des x positives, soient celles que fournit un système d’intégrales simples, par exemple, le système des équations (8). Quand on voudra savoir si, pour une valeur donnée de #, la première condition est ou n’est pas remplie, c’està-dire, si l’intégrale (30) est sensiblement réductible ou non à l’intégrale (31), on devra porter son attention sur la valeur qu'acquiert Île produit (32) (L£+Mn+Né+...)e-xr, dans le cas où æ devient supérieur à &. Or, dans ce cas, les valeurs de £,n, {, .. étant très peu différentes, en vertu de hypothèse admise, de celles que fournit le système des formules (8), le produit (32) se réduira sensiblement à

33) (AL +BM+CN+...)etu-#x;

et, puisque les fonctions de x représentées par À PE: Sos,

s’évanouissent sensiblement pour des valeurs finies de x, ilest aisé de voir que la première condition sera remplie, du côté des x positives, si Le coefficient de x dans l’exponentielle

etti-x)r

offre une partie réelle négative, ou, ce qui revient au même, si la partie réelle de la caractéristique x est supérieure à la partie réelle de la caractéristique x,. 11 y a plus: si ces deux parties réelles sont égales, la première condition sera généralement remplie, pourvu, du moins, que les intégrales

on De pre | L dr, [l M dx, | N dx,

«0 0 conservent de très petites valeurs quand x vient à croître; ce qui aura lieu, par exemple, si des valeurs finies ou très considérables de x réduisent sensiblement à zéro, non seulement les fonctions | PES. PONS PSE ER

mais encore les produits de ces fonctions par une puissance de x dont l'exposant surpasse de très peu l'unité. Ainsi, en résumé, la première condition se trouvera ordinairement remplie pour toutes les valeurs de la caractéristique x qui offriront une partie réelle supérieure à la partie réelle de z,. Quant à la seconde condition, il est facile de s'assurer

qu'elle sera remplie si les valeurs des intégrales

Î var, | Mar, Î Nax, re É v0 gt |

sont très petites relativement aux valeurs des facteurs auxiliaires A Us De TX

D'ailleurs chacune des expressions

représente la somme des produits des facteurs auxiliaires par les coefficients suecessifs de l’une des variables principales dans les fonctions linéaires désignées par X, D, +,

Donc, pour que la seconde condition soit remplie, il suffira généralement que les produits de ces derniers coefficients par e restent très petits.

De ce qu’on vient de dire il résulte que, pour toutes les valeurs de la caractéristique x qui satisferont à la première condition, la seconde condition se vérifiera généralement si elle se vérifie pour une seule de ces valeurs. Supposons qu'il en soit ainsi, et nommons #2 le nombre des valeurs de x qui offrent une partie réelle égale ou supérieure à la partie réelle de x, ; rm» représentera le nombre des intégrales principales, e’esta-dire des intégrales de la forme (14), qui continueront de subsister quand on aura égard au changement de forme des équations différentielles dans le voisinage du plan fixe. D'ailleurs, comme, pour une valeur finie et positive de +, les valeurs de £, n,6, ... que fournissent les équations (8) doivent vérifier chacune des intégrales comprises dans

la formule (14), sans réduire à zéro la somme ka+pb+vec+...,

ce qui ne peut avoir lieu à moins que l’on n'ait

(34) K=— 0 ou (35) 2 — KI)

l'est clair que, si x, est une racine simple de l'équation (4), les intégrales principales comprises dans la formule (14), étant jointes aux formules (8), entraineront les conditions

(36) K:s = 0; K:=0, PERS M0.

Réciproquement ces dernières conditions, jointes aux intégrales principales que comprend la formule (14), ou bien encore, au système des

formules (11) qui peut remplacer, si l’on veut, le système de ces intégrales principales, entraineront immédiatement les équations (8). Soient maintenant È

Es, Nes Ce,

les valeurs de FÉES SES

déterminées par les formules (8), quand on a égard au changement de forme des équations différentielles données dans le voisinage du plan fixe, et entre les limites x — 0, x — e. L'intégrale principale que représente la formule (14), quand on y pose x —x,, K—K,, continuera de subsister lorsqu'on y remplacera

E, ns GC par Ëe, HET Ces .…..) et l’on pourra en dire autant de chacune des intégrales principales que représentera la formule (14), jointe à la formule (34), quand on prendra pour +, non plus l’une quelconque des caractéristiques