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mais seulement l’une de celles dont les parties réelles sont égales ou supérieures à la partie réelle de x,. Nommons
Pis K9s Ko es Am
ces dernières caractéristiques dont le nombre sera ». Les intégrales principales, qui continueront de subsister, formeront un système équivalent à celui des équations produites par l'élimination des constantes
arbitraires K»+1 , K»+2, PAS à K,
entre les formules (11) jointes, non plus aux formules (36), mais seulement aux suivantes ;
(37) so, y = 0, nn A =5 0; OEuvres de C.—S.1T, t.1V. 27
Done, pour obtenir les relations établies entre les variables Ée, UE Ce,
par celles des intégrales principales qui continueront de subsister, il suffira d'éliminer les constantes arbitraires
Ks: , Hoi *%+3 K»
entre les formules
Ée —= K, di eur + Ka m1 EXm+1X Has K» An eXn Le { | ne =Kibieti+ Kb etmnr +... + Ka bretrr, (38) | Ce — K, Ci ex x + Ke +1 C4 EXmtiX +, + K» Cn CR
D'ailleurs de ces dernières, jointes aux équations (8), on tirera
| Ée ee Ë + k,+1 Anis Emil, + Katnetnrx, ne = + Km+: bmx etmnT +... + Ky bye us
Ce = EC + Kms Cm Cm +... + Ka Cnetrt,
nd 6 bn 0-6 r'evvin LL RÉ RRS M ER ND FE MeNtALES EU DS NALTS
L'élimination des constantes arburaires K,.,, ..., K, entre les formules (39) fournira un système de m équations qui pourra remplacer le système des m intégrales principales auxquelles devront satisfaire les valeurs
des variables
déterminées par le système des équations différentielles
de y + dns y, à de y e T es dx —— , — D 3 53%
pour des valeurs finies et positives de x comprises entre les limites x — 0,
æ — :, On ne devra pas oublier que, dans les formules (39), F UE ê;
sont des fonctions déterminées de + dont les valeurs sont données par les équations (8). Au reste, l'élimination des constantes arbitraires
Km+i, PT K,
EXTRAIT Ne 34. | 211 entre les formules (39) revient à l'élimination des exponentielles
Em+ 1 x ,
entre ces formules, ou, ce qui revient au même, entre les suivantes
| Æ Re Ë + Amy etmux +, ,,+ Apetne,
(4 1) MA + Br etmar +, , + Bye, }
| Es — 6 + Cyr etmnr +... + Crete,
A, B;, Cri A, B>:, C>, OL AE à A», B,, Cr
étant les valeurs de A, B, C, ... qui correspondent aux valeurs
de la caractéristique z.
Observons encore que si l’on nomme
les valeurs de
correspondantes à æ — 0, ces valeurs de £., n., &, ... et les valeurs correspondantes de £, r, €, ... seront liées entre elles par »2 équations que l’on pourra déduire immédiatement des formules
Er à | Co == E + Am41K y+t +... + a, K», ed
Ph LEE Noa bis: K»+1 LA PEU bnK»,
{ À | Co = É + Cm+1 K»+: +... + CnK»,
par l'élimination des constantes arbitraires K,,,,, ..., K,. Dans ce qui précède, nous avons implicitement supposé que les racines
de l'équation (4) étaient distinctes les unes des autres. Pour trouver les modifications que doivent subir les diverses formules, dans les cas où plusieurs de ces racines deviennent égales entre elles, un moyen fort simple est d'attribuer à quelques-uns des coefficients renfermés dans
les équations différentielles données des accroissements très petits que l'on réduit ensuite à zéro; ou, ce qui revient au même, à déduire des formules correspondantes au cas des racines égales, des formules correspondantes au cas où certaines racines different très peu les unes des autres. En opérant de cette manière, on reconnaitra, par exemple, que si l’on suppose, dans la formule (r9), les facteurs auxiliaires à, p, v, . exprimés en fonction de x, et si d’ailleurs on prend pour x une racine double, triple, quadruple de la formule (4), on devra, pour cette valeur de x, joindre à l'équation (22) la dérivée du premier ordre, ou les dérivées du premier et du second ordre, ou les dérivées du premier, du second et du troisième ordre, ... de cette même équation différentiée une ou plusieurs fois de suite par rapport à x.
Pour montrer une application des formules qui précèdent, supposons d’abord que le nombre m» des valeurs de x, dont les parties réelles sont égales ou supérieures à la partie réelle de z,, devienne précisément égal à x, en sorte que la première condition se trouve remplie pour toutes les racines de l’équation (4). Alors les seconds membres des formules (39) ou (4r) se réduiront à zéro, et ces formules donneront simplement
d = - , (43) GET Gi Nez — 1 — 0; PR ER : POS Un
Supposons, en second lieu, qu'une seule des valeurs de x, savoir x,, offre une partie réelle inférieure à la partie réelle de x,. Alors les formules (41) donneront
(44) Es — E— Anetar, n: — 1 = Brent, Gs — 6 = Crete, cs
et, par suite,
IN
