À AR
EXTRAIT N° 33. 215 et aux diverses dérivées de ces variables, c’est-à-dire aux expressions
dé d?£ dan d?n dé d?£ dx’ dx?’ Érdr. dit ” dx dx?
les divers produits PA, PRE ot: PO PR PORC A: PANTIN SPORE LI PA
résultants de la multiplication des facteurs À, B, C, … par les puissances de x dont les degrés sont égaux au nombre des différentiations effectuées. Les équations (2) étant évidemment linéaires par rapport aux facteurs À, B, C, ..., si l’on met de côté la première de ces équations, les suivantes pourront être, en général, remplacées par une seule de la forme
(3) ag
a, b, c, ... désignant des fonctions entières de x; et, en éliminant À, B, C, ... de la première des équations (2) à l’aide de la formule (3), on obtiendra une équation nouvelle
dont le degré relatif à x sera généralement égal au nombre entier » qui représentera la somme des ordres des dérivées les plus élevées de 6, n, &, ... comprises dans les équations différentielles données. Si l'on nomme
ES ST Le
les x racines de l’équation (4) résolue par rapport à x, et
A, B,;, C ..., À», B», CC; ss A» B,, Ge
les valeurs correspondantes de A, B, C, …., les équations différentielles données admettront les systèmes d'intégrales simples
(5) — A,enux, " — B,exx, C—=Cienur, 9 * (6) E— Aset:t, 1 — B; Cl2%, La Co exax, ts Dre ses ; hs Cor PRÉ sv Es :
et les intégrales générales de ces équations différentielles pourront être présentées sous la forme
E—=A;enur+ Aoetat+,,.+ Apetnx, n=Bietr+Biexx +... + By etn x, Ê se Ciexix+ Caexit+,,,.+ Crete,
Seulement, pour retrouver toutes les intégrales qu’on aurait obtenues, si l’on avait commencé par réduire au premier ordre les équations différentielles données en représentant par de nouvelles lettres une où plusieurs dérivées de chaque variable principale, on devra joindre aux formules (5), (6), …., (7) ou (8) leurs dérivées de divers ordres. Ainsi, par exemple, si les équations différentielles données sont du second ordre par rapport à chacune des variables principales &, n, ©, ..., c'està-dire, si elles renferment avec ces variables, non plus seulement leurs dérivées du premier ordre, dt de.
de” dx’ dx
mais encore leurs dérivées du second ordre
BE dn d't
9 =) = dx? dx? dx?
alors, en posant { RS mn ji — — !
(9) de dr 2x V3 ri
on devra, aux intégrales particulières représentées par les équations (5), joindre les formules
(10) pr Auxrett, = Dir one, d—=Cirenr, is 2
et, aux intégrales générales représentées par les équations (8), joindre les formules
{ 9 — À, Li EXT + ÂoZ26%3T +, RC Antnetnx,
— Br exit + Boxer +... + Brrnetnt,
| d—Cirienr+ Cotoe%Z +, ,.+ Cnxnetrr, \
(un)
TAsÉN Res
EXTRAIT N° 35. 217 Ainsi, encore, si les équations différentielles données renferment les dérivées du troisième, du quatrième, … ordre de la variable principale
PL OMR 02 OU 6, 07.
il faudra joindre à la première, ou à la seconde, ou à la troisième des formules (5) ou (8), celles qu’on en déduit par deux, trois, ... différentiations successives.
Supposons maintenant que, du côté des æ positives, et dans le voisinage du plan fixe donné, les équations différentielles auxquelles doivent satisfaire les variables principales £, n, €, ... changent de forme, en sorte que les coefficients de £, », Ÿ, ... et de leurs dérivées y varient très rapidement avec x entre les limites très rapprochées
=, Mie
Supposons d’ailleurs que les produits de ces coefficients par + restent très petits, et nommons
2 s ; ; GEs fes (PR ENER Ses 2 Le,
ce que deviennent, entre les limites dont il s’agit, non pas les valeurs générales des variables
Es pr. .…., 3 JL ®, ns: 14
mais des valeurs particulières de ces variables, je veux dire des valeurs fournies par un système d’intégrales particulières, par exemple, celles qui se déduisent des équations (5), et que fournissent Les formules (5), (10), .... Enfin, admettons que les » racines de l'équation (4) soient
inégales, et nommons #1; #9; COCA 7
celles de ces racines qui offrent des parties réelles égales ou supérieures à la partie réelle de x,. D'après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, les différences
Ez — Ë, AE "5 Ce — 6, EN De — 9, D SE Ram de be — 4, …
-devront vérifier toutes les équations produites par l'élimination des Œuvres de C. — S.1,t. 1V. 28
exponentielles
EXmriX, entre les formules
/ És PRE Ë — À off À Emi Fe —- Anetax,
fe TN — B»+: “Hat Voir: aol PE Von B, Care
(12) | Ce — Ê = Ces email + + Cn A Las Le 6 RE mue Road 8 mo DCR GE CES | De P — Am km Cnil +, + Anunetnt, en Xe — A — B»+1 CNT out ls RÉ e p Burn Enr,
de —Ÿ — Cr mes em +. + Crrnetrt,
des té dc nes eh ns Me a AE. Din. D CSN ES de ss eue 0-4 ses à
Si aucune des racines de l'équation (4) n’offre une partie réelle inférieure.à la partie réelle de x,, les formules (12), (13), ..., dont les seconds membres se réduiront à zéro, donneront
(14) ue, 1 RER Es. De — 9, és Jo de — Ÿ,
Si une seule des racines de l'équation (4), savoir +,, offre une partie réelle inférieure à la partie réelle de x,, on tirera des formules (12),
(Eh
(15) EE nn Gb RE TL OR de d Ve — d An de B, Cr eue Xn An ps ki Bn kn On
Eos 0» Co» SANS 20; 405 Vo
Ézs Nes Ce, cos Des Yes Ve,
sur le plan fixe donné, c’est-à-dire lorsqu'on pose x — o. En vertu des. formules (14), (15), ..., les valeurs de
Es 1, &; AURAS | ©, 1 Ÿ, és
fournies par les équations (5), par conséquent les valeurs de £, », 7, ..…, o, 7, Ÿ, ... calculées comme si, dans le voisinage du plan fixe, les
équations différentielles ne changeaient pas de forme, devront, pour x = 0, satisfaire, si l’on a m—n, aux conditions
(16) Essen A — No; és, …..) D — 9o; 0 d = Vo, “er 3 si l’on a m—n-- 1, aux conditions
Eos : n—he. ro =: p— po - Y—Ye … Ÿ — be
An Bb: Cn Xn An xn Ba Zn Un
Si les vaieurs des variables principales £, », €, ..., mesurées du côté des x positives, et à une distance finie du plan fixe, n'étaient plus celles .que déterminent les formules (5), mais les sommes de celles que déterminent plusieurs des formules (5), (6), (7), ..., et renfermaient en conséquence dans leur expression plusieurs des exponentielles
ent, ex, ,,., Etre, par exemple, e4*, c**, ..., alors, en nommant toujours be, ne Ve + Qe Xe Ve, ce que deviendraient les valeurs de LS THÉ CRT D Pr Xs Ÿ
entre les limites æ —0, x —e, eu égard au changement de forme des équations différentielles, et raisonnant d’ailleurs comme ci-dessus, on obtiendrait encore entre les différences
Gé 0 Gt, Re PER Ps HE À de — Ÿ,
les équations de condition produites par l'élimination des exponentielles
Kms C Xn C Emi, FRE. En",
entre les formules (12), (13), ..., pourvu que l’on désignât par
Xm+is Last 2 |
celles des racines de l'équation (4) dont la partie réelle serait inférieure
à la partie réelle de chacune des racines #;, x, .... Alors aussi, parmi les termes de la suite
fm+is ces Ans
on devrait ordinairement comprendre la plupart des racines x;, 4, en excluant seulement celle dont la partie réelle serait la plus petite, ou du moins celles dont les parties réelles, égales entre elles, offriraient la moindre valeur.
Nous avons ici supposé que l'équation (4) offrait x racines distinctes. On passera aisément de cette hypothèse au cas où plusieurs racines deviendraient égales entre elles, en commençant par admettre que les mêmes racines différent très peu les unes des autres.
$ IV. — Application du principe fondamental à un système d'équations linéaires aux différences partielles.
Considérons un système d'équations linéaires aux différences partielles entre plusieurs variables indépendantes
La Ts #4 et plusieurs variables principales Es A; 6, ….s
chacun des termes que renferment ces équations étant le produit d'un coefficient constant par l’une des variables principales ou par l’une de leurs dérivées. Un moyen fort simple de satisfaire à la fois à toutes les équations données sera de supposer les variables principales Ë, n, €, … toutes proportionnelles à une même exponentielle népérienne dont l’exposant soit une fonction linéaire des variables indépendantes, et de prendre en conséquence
A) Een, y Beurtevere, LL Courrier.
u, #, #,..., À, B, C, ... étant des constantes propres à vérifier le système des formules
(2) Rd Vo = 0, SSD,
EXTRAIT N° 35. 221 qu’on obtiendra en substituant, dans les équations données, aux variables principales €, n, €, ..., les facteurs À, B, C, ..., et aux dérivées de chaque variable principale £, ou n, ou £, ..., différentiée une ou plusieurs fois de suite, par rapport à æ, y, z, ..., les produits du facteur correspondant A, ou B, ou C, ... par des puissances entières de u, #, w,... dont les degrés soient respectivement, pour la puissance de &, le nombre des différentiations effectuées par rapport à +, pour la puissance de », le nombre des différentiations effectuées par rapport à y, et ainsi de suite. Les équations (2) devant être évidemment linéaires par rapport aux facteurs A, B, C, ..., si l’on met de côté la première de ces équations, les suivantes pourront être en général remplacées par une seule de la forme
a, b,c, ... désignant des fonctions entières de w, #, æ, ..., et, en éli-
minant À, B, C, ... de la première des équations (2), à l’aide de la
formule (3), on obtiendra entre les seuls coefficients &, 6, æ, ... une équation (4) ee
dont le degré, relatif à w, sera généralement égal à la somme x des nombres qui représenteront chacun, dans les équations différentielles données, l’ordre de la dérivée la plus élevée de l’une des variables principales
différentiée une ou plusieurs fois de suite par rapport à x. Observons à présent que l’on tire des équations (1)
AE vË & 2 wË oe IT ha RER vw Ë eee CE
0 ”:: 03 Tor D US OO $
ga on ga = (#1 En sv nec = pwy: Er —= w°?n
dÿ AT NE T5 Op? , dy 0z Xe Ps. dz? — T5 +...
DE v FT fe. LS ave "5 à di SEE ae —w?£
dy a 4 ? dr? **.. 0ÿ 03 CRE. à 4
et, qu'en ayant égard à ces dernières formules, on pourra immédiate-
ment réduire le système des équations linéaires données à un système d'équations différentielles qui ne renferment plus que les dérivées de £,n, Ç, .. relatives à la seule variable indépendante æ. Cela posé,
nommons Ui, Uo, se: AVE
les x racines de l'équation (4), résolue par rapport à &, et
A, B;, Ci, 4» À», B>, Ce», RU An, B,, Ca,
les valeurs correspondantes de À, B, C, .... Les équations linéaires données et les équations différentielles dont nous venons de parler admettront les systèmes d’intégrales simples
(5) Ë PUS A; EU LEVYEW Te, PE B EU LHVY HW, 4 — C: EU L+VT HW, rs
\ o 2 nd P. LEA .
(6) £ — A etsr+vy+Wwze y — Bo etir tv +wze, C— Coelarteytwzs
