CES CROP ER

{ 1) Ë — Aa elln DEP EME, NE B, en LHPY+WZ

et les intégrales générales des équations différentielles pourront être présentées sous la forme

£ Ré A, EU LHPY HW Ze À» Ella LHVY+Wze. ee pars An EUn CHVY HW,

n = Biemrtertwz. À Peu crerewss tp, 2 Bet TP we,

Es Ci etir+vy wep Co els LHPYEWze DE, + Cyetn HS TW2Z.

D'ailleurs, pour retrouver toutes les intégrales qu'on aurait obtenues si l’on avait commencé par réduire au premier ordre les équations différentielles, en représentant par de nouvelles lettres une ou plusieurs dérivées de chaque variable principale différentiée une ou plusieurs fois par rapport à æ, il suffira de joindre aux formules (5), (6), ..., (7) ou (8) leurs dérivées de divers ordres. Ainsi, par exemple, si les équations différentielles sont du second ordre relativement à chacune

des variables principales E, n, 6,

ai

PR DE PT NN D PS ET Te NT PR OPEN GRR PE PAR

EXTRAIT N°35. 223 différentiée par rapport à æ, et renferment en conséquence avec ces variables, non seulement les dérivées du premier ordre

mais encore les dérivées du second ordre

alors, en posant dE on dt (9) de F Pau? à à Re

on devra, aux intégrales particulières représentées par les équations (5), joindre les formules

HT SALE REP CE Diner. de Ciuieheterrwez.

et, aux intégrales générales représentées par les équations (8), joindre les formules

=> A; y EU ET TVY WE À» Ua EUa LC HVY EWZe An Up EUn LHPY HW « = B, Uy ei CES HWze LE B; Ua EU CHVYHWI B, Un EUn FPT HW

d — C; U, el LEYYEWze. LE Co Uo EU CHVY HW Cr Un En L+VYFWE.

Ainsi encore, si les équations différentielles trouvées renferment les dérivées du troisième, du quatrième, .. ordre de la variable prineipale £, ou n, ou ?, ... différentiée plusieurs fois par rapport à +, il faudra joindre à la première, à la seconde, à la troisième, .. des formules (5) ou (8) celles qu’on en déduit par deux, trois, ..… différentiations successives et relatives à la variable indépendante x.

Supposons maintenant que la variable indépendante x représente une coordonnée perpendiculaire à un plan fixe et que, du côté des x positives, mais dans le voisinage du plan fixe, les équations linéaires, et aux différences partielles, auxquelles doivent satisfaire les variables principales £, , %, ..., changent de forme, de telle sorte que les coefficients de ces variables et de leurs dérivées, devenus fonctions de la

coordonnée +, varient très rapidement avec elle, entre les limites très rapprochées

Supposons, d’ailleurs, que les produits de ces mêmes coefficients par : restent très petits, et nommons

Es, fes Ces ses Pers es De,

ce que deviennent, entre les limites dont il s’agit, non pas les valeurs générales des variables

» is L; RS ES d'OS À d, .…..,

mais des valeurs particulières de ces variables, je veux dire des valeurs fournies par un système d’intégrales particulières, par exemple, celles que fournissent les équations (5), et qui se déduisent des formules (5), (10), .... Puisque, par hypothèse, les coefficients des variables principales £, n, 5, ..…., et de leurs dérivées, dans les équations linéaires données, dépendent d’une seule des variables x, y, z, ..., savoir, de

la coordonnée +, on vérifiera ces équations en supposant que É, 1; Le RTE |

considérés comme fonction de y, 3, ..., sont tous proportionnels à une même exponentielle de la forme