C.R.,t. VII, p. 471 (1°° avril

Il'est assez facile d'intégrer les équations linéaires qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, et d’en déduire, par la méthode qui fait l’objet du précédent Mémoire, les équations relatives à un plan fixe qui limite le système donné, dans le cas où les coefficients que renferment les premières équations, ramenées à la forme d'équations aux différences partielles, demeurent constants à une distance finie du plan fixe. Mais cette dernière condition, qui peut être supposée remplie quand il s’agit des molécules d’un corps homogène, ou bien encore des molécules du fluide éthéré pris isolément et placé dans le vide, doit cesser assurément d’être vérifiée quand les molécules données sont celles d’une portion de fluide éthéré contenue dans un corps transparent ou opaque. En effet, admettons, comme tout semble l'indiquer, que les molécules d’un corps, ou plutôt les atomes dont elles se composent, exercent une attraction sur les molécules éthérées. Ces dernières se rassembleront en plus grand nombre dans le voisinage d'un atome du corps, et par suite la densité de l’éther pourra varier sensiblement d’un point de l’espace à un autre dans un très petit intervalle. On peut donc s'étonner au premier abord de l’accord remarquable qui existe, comme nous le montrerons dans un autre article; entre les résultats des expériences relatives à la réflexion ou à la réfraction de la lumière et les phénomènes que le calcul indique pour le cas où la densité de l’éther demeurerait invariable dans toute l'étendue d’un même corps. Il restait évidemment ici une difficulté qu'il m'a paru important de vaincre. J'y suis parvenu à l’aide d’un théorème d’Ana-

EXTRAIT N° 36. 229 lvse que je vais exposer en peu de mots. Ce théorème, appliqué à l'intégration d’une équation différentielle, peut s’énoncer comme il suit :

TaéorèmEe. — Soit donnée une équation différentielle linéaire d'un ordre quelconque entre une variable principale & et une variable indépendante x qui représentera, si l'on veut, une coordonnée mesurée perpendiculairement à un plan fixe. Si, dans tous les termes de cette équation, supposés proportionnels à la variable principale, ou à ses dérivées, les coefficients sont des fonctions de la coordonnée x qui reprennent périodiquement les mêmes valeurs quand on fait croître ou décroître cette coordonnée en progression arithmétique, il suffira en général que la valeur numérique attribuce à x devienne trés considérable relativement à la raison de la progression dont ils'agit, pour que la valeur de la variable principale se confonde sensiblement avec celle qu'on obuendrat si, dans l'équation donnée, on

remplaçait chaque coefficient par sa valeur moyenne.

Démonstration. — Pour constater l'exactitude de ce théorème, commençons par considérer le cas où l’équation donnée peut s'intégrer en termes finis; et supposons, par exemple, que la variable principale # se trouve liée à la variable indépendante x par la formule

dé

(1) Fri

le coefficient R étant une fonction de + qui reprenne périodiquement la même valeur quand on fait croître ou décroitre + d’un multiple de la quantité positive a. Si l’on nomme Ë, la valeur de £ correspondante à æ = 0, l'intégrale de l'équation (1) sera de la forme

T R dx

6 = te"

— D Eat

Soit d’ailleurs

(3) a=f rar

A 2, ® Le rapport — sera ce qu'on appelle la valeur moyenne du coefficient R,

et représentera en effet la moyenne arithmétique entre les valeurs de R qui correspondent à des valeurs de æ équidistantes, infiniment rapprochées les unes des autres, et comprises entre les limites +—0, x =a. Cela posé, si l’on attribue à la variable + une valeur numérique qui soittrès considérable par rapport à @, si, par exemple, en supposant æ positif, on prend

Œr: X=nNA + &,

ñ étant un nombre entier fort grand et « une quantité comprise entre

les limites o, «, on trouvera

. x n«a aa + a 0 - | Rdx= | R dx + R dx; 0 LA

0 v'ag

et, comme on aura, en raison de la périodicité des valeurs du coefficient R,

6) Rde=n| R dx — nA,

la formule (5) donnera ana+a

7) f Rdxz=—nA + Rd.