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D'ailleurs l’intégrale na + &

R dx, * na équivalente au produit de « par une certaine valeur de R, sera une quantité du même ordre que l'intégrale A et pourra, en général, être négligée vis-à-vis du produit? A lorsque le nombre » deviendra considérable. On doit cependant excepter le cas où, la fonction R venant à passer par zéro entre les limites x — 0, æ — a, on aurait rigoureuse-

ment

+ Rdr—o ou A—=o.

Dans tout autre cas, la formule (7) donnera sensiblement, pour de

grandes valeurs de n,

'E FU RU dt A a

et, par suite,

# no

puisque + sera très petit par rapport à æ. On peut même observer que, dans tous les cas, la: formule (8) sera rigoureusement exacte dès que l'on préndra pour + un multiple de a. Or, si l’on substitue dans la for-

mule (2) la valeur de f R dx, tirée de l'équation (8), on trouvera V0

(9) Eve ; et, conformément au théorème énoncé, la valeur précédente de £ est

précisément celle que fournirait la formule

l; L (ro) ee.

à laquelle on parvient en remplaçant, dans l'équation {1}, le coefti- . A client R par sa valeur moyenne —.

On arriverait aux mêmes conclusions si, au lieu d'intégrer l’équation (1) sous forme finie, on appliquait à cette équation la méthode d'intégration par séries. En effet, en intégrant, à partir de +0, les deux membres de l'équation (1) multipliés par dx, on trouvera

(ra) um f RE dx ;

puis, en substituant plusieurs fois de suite la valeur de Z tirée de l'équation (11) dans cette équation même, on en tirera

= &o + do f Rx + | R | Ridrdx 0 0

par conséquent

(12) en(i+ f Re + R | n de de +).

D'ailleurs, en vertu de la formule (8), on aura sensiblement, pour de

grandes valeurs de + ou pour de petites valeurs de a, | J Rar=— il x, 0 a (13) | 1 nf Rax de À [7 Rx dx,

et comme, en intégrant par parties, on trouvera

['nede=af Radr— | | R dx dx, ‘0

"9 18 vb à

puis, en avant égard à la formule (8),

la seconde des formules (13) pourra, sans erreur sensible, être rem-

placée par la suivante :

(14) | R | Rdrdr=(n) ©.

En continuant ainsi, on reconnaitra que, dans l'hypothèse admise,

l'équation (12) peut être réduite à

15) E= Eoli+—-x+(—) ——+...1, $ «a a 1.2 s

par conséquent à la formule (9).

Concevons à présent qu'au lieu de l’équation (r) lon considère la

EXTRAIT N°36. 233 le coefficient de R étant toujours une fonction de x qui reprenne périodiquement les mêmes valeurs quand on fait croître ou décroître x d’un multiple de la quantité positive &. La première des démonstrations que nous avons données de notre théorème, en prenant pour exemple l'équation (1), cessera d’être applicable, puisque l’équation (16) n’est pas du nombre de celles que l’on intègre facilement sous forme finie. Mais la seconde de ces démonstrations continuera de subsister. En

effet, posons do ER

et nommons £,, #, les valeurs des variables £, o correspondantes à une valeur nulle de +. L’équation (16) pourra être remplacée par Le système des équations simultanées

d£ . de (17) D ie on = RE

et, en intégrant, à partir de x — 0, les deux membres de chacune de ces dernières, multipliés par dx, on en tirera æ LA

(18) E—to+ [ o dx, eg f RE dx,

F4 0 par conséquent

ba ba (19) Et gout | É RE dx dx; 700 0

puis, en substituant plusieurs fois la valeur de £, donnée par l'équation (19), dans cette équation même, on trouvera

nf f [ re) /

+ (e+f F'uxdrdes.….) Pret

Enfin, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage dans le premier exemple, on prouvera que la formule (20) peut OEuvres de C. — S.I, t. IV. 30

être sensiblement réduite à (21) nier Eee) +o(e+e 4.) ou, ce qui revient au même, à

(22) Épleu*+ eur) + — poleur— eur), la valeur de w étant déterminée par l'équation

Or la valeur de Ë, donnée par la formule (22), est précisément celle que l’on déduirait de l'équation différentielle

D Hs Ï

à laquelle on parvient en remplaçant, dans l’équation (16), le coefficient R par sa valeur moyenne =

Le théorème énoncé pourra ainsi être démontré généralement, à l’aide de l'intégration par séries, quels que soient l’ordre de l'équation linéaire donnée et le nombre de ses termes. Il y a plus : le même théorème se démontrera encore de la même manière, si on l’étend à un système d'équations différentielles ou aux différences partielles, en l’énonçant comme il suit :

Tuéorème. — Considérons un système d'équations linéaires, différentelles ou aux différences partielles, entre plusieurs variables principales qui seront, si l’on veut, des déplacements moléculaires, et plusieurs variables indépendantes qui pourront être trois coordonnées x, y, 3 et le temps t. St, dans les différents termes supposés proportionnels aux variables princtpales et à leurs dérivées, les coefficients sont des fonctions de x, y, = qu reprennent périodiquement les mêmes valeurs quand on fait crottre ou dé-

croître chacune des coordonnées en progression arithmétique, par exemple,

EXTRAIT N° 36. 1 235 quand on fait varier x d’un multiple de a, y d'un muluple de b, z d'un muluple de c : ul suffira en général que les rapports a, b, c des progressions arithmetiques soient très petits relativement aux valeurs numériques attribuées à x, y, z, pour que les valeurs correspondantes des variables principales se confondent sensiblement avec celles qu'on obtiendrait en remplaçant dans les équations linéaires données chaque coefficient par sa valeur

mnoyenne.

Nota. — Il est bon d'observer que, dans le théorème énoncé, la valeur moyenne de chaque coefficient doit être calculée de la même manière que les ordonnées moyennes des courbes et des surfaces, les coordonnées du centre des moyennes distances, et la densité moyenne d'un corps. En conséquence, si l’on nomme R l'un quelconque des coefficients, sa valeur moyenne ne sera autre chose que le rapport de

a b + 58 | | R dx dy dz 0 0 AG

Remarquons encore que, remplacer, dans les équations linéaires

l'intégrale triple

au produit abc.

données, chaque coefficient par sa valeur numérique, revient à intégrer, par rapport à +, y, z et entre les limites

IC ROSE FER RO A 30 (Fr ec)

chaque membre de ces équations multiplié par les différentielles dx, dy, ds, en opérant comme si les variables principales et leurs dérivées représentaient des quantités constantes. En effet, en agissant de la sorte, on tirera, par exemple, de l'équation (1)

dé HR R dx ou nie

de sorte que l’équation (r) ou (16) se trouvera remplacée par une autre qui coincidera évidemment avec la formule (10) ou (24).

En vertu de la proposition énoncée, pour rendre applicables à la théorie de la lumière les équations aux différences mêlées que j'ai données dans le Mémoire sur la dispersion, et qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système de molécules sollicitées par des forces d’attraction ou de répulsion mutuelle, il suffira de développer par la formule de Taylor les différences finies que ces équations renferment, puis de remplacer, dans les équations linéaires et aux différences partielles qu'on obtiendra de cette manière, chaque coefficient par sa valeur moyenne. Comme un tel remplacement n’altérera point la forme des équations linéaires dont il s’agit, on doit comprendre maintenant comment il arrive que les lois déduites de ces équations sont précisément celles qui-régissent les divers phénomènes lumineux. Ainsi, en particulier, les lois de la polarisation de la lumière, établies par un calcul dans lequel on supposait que l’éther offrait partout la même densité, ne devront pas être restreintes au cas où les molécules éthérées sont placées dans le vide, et subsisteront lorsque ces molécules seront renfermées dans un milieu homogène, par exemple, dans un corps diaphane cristallisé, quoique dans ce dernier cas la densité de l’éther puisse subir des variations périodiques sensibles. Dans l’un et l'autre cas, la polarisation pourra être elliptique, ou circulaire, ou rectüiligne, et les mouvements vibratoires des molécules seront précisé-

ment ceux qui caractérisent ces trois modes de polarisation.

EXTRAIT - N°37. 237 STE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Memotre sur les mouvements infiniment petits

des systèmes de molecules sollicitées par des forces d'attraction ou de

répulsion mutuelle.