C.R.,t. VII, p. 505 (8 avril

Afin de rendre plus évidente l'utilité des méthodes exposées dans les précédents Mémoires, nous allons appliquer ces méthodes aux équations qui expriment les mouvements infiniment petits des systèmes de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle ; et, pour que l’on puisse plus facilement saisir la suite des raisonnements, nous commencerons par reproduire en peu de mots les équations dontil s’agit et celles de leurs intégrales particulières qui se présentent sous les formes les plus simples.

S I — Équations d'équilibre el de mouvement d’un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Considérons un système de molécules distribuées dans une portion de l’espace et sollicitées au mouvement par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Soient m la masse d’une de ces molécules, », m', m",... celles des autres, et supposons que, dans un état d’équilibre du système,

x, y, 3 représentent les coordonnées de la molécule m rapportées à trois axes rectangulaires,

æ+X, y+Y,z:+7 les coordonnées d’une autre molécule 7»,

r la distance des molécules m et #2,

2, 5, y les angles formés par le rayon vecteur r avec les demi-axes des coordonnées positives.

On aura

Fr \ Y Z (1) COSa — > cos 6 — pes à COSy = = (2) r2—X2+VY2+ 72,

Supposons d’ailleurs que l'attraction ou la répulsion mutuelle des deux masses mt, 72, étant proportionnelle à ces masses et à une fonction de la distance r, soit représentée, au signe près, par

mmf(r),

f(r) désignant une quantité positive lorsque les masses m, »2 s’attirent, et négative lorsqu'elles se repoussent. Les équations d'équilibre de la molécule w seront

(3) S[mcosaf(r)] — 0, S[m cos8f{r)] —o, S[mcosyf(r)]= 0,

la lettre S indiquant une somme de termes semblables entre eux, et relatifs aux diverses molécules m», m', ....

Concevons maintenant que les molécules m, 72, mn’, .… viennent à se mouvoir. Soient alors, au bout du temps £,

bi: DEA

les déplacements de la molécule w, mesurés parallèlement aux axes

coordonnés, et r(i+e)

la distance des deux molécules mn, M.

On aura r(1+e)?=(X + AËRP+(Y + An)? + (Z + AÏ)?

ou, Ce qui revient au même, (4) rfi+e)? = {rcosx+ AË)?+(rcos8 + An)?+ (rcosy + AË}?, les accroissements des quantités

Ms Le

étant respectivement AE, An À£.

EXTRAIT N°37. ; 239 Par suite, si l’on suppose les déplacements &, n,

exprimés en fonction des coordonnées initiales et du temps £, les équations du mouvement de la molécule m seront

| d?£E £ f (IH E

= 8 | m (cosa + % En ÉLUS ANNE

FE | se . ?; An\ ffrfi + (5) Tes} m(e0s8 + SE, dé | £\ ffrli+e)]) CR COS y + — = de? m | EE | 1HE ) $ I. — Équations des mouvements infiniment petits d'un système

de molécules.

Considérons, dans un système de molécules donné, un mouvement vibratoire, en vertu duquel chaque molécule s’écarte très peu de sa position initiale. Si l'on cherche les lois du mouvement, celles du moins qui subsistent, quelque petite que soit l'étendue des vibrations moléculaires, alors, en regardant les déplacements

OA Re et leurs différences ds An, MC

comme des quantités infiniment petites du premier ordre, on pourra négliger les carrés et les puissances supérieures de ces différences et de # dans les développements des expressions que renferment les formules (4), (5) du premier paragraphe; et l’on pourra encore supposer indifféremment que, des quatre variables indépendantes

7 nn À

les trois premières représentent, ou les coordonnées initiales de la molécule, ou ses coordonnées courantes, qui, en vertu de l'hypothèse ad-

mise, différeront très peu des premières. Cela posé, si lon fait, pour

abréger,

(1) ftr}=rf{r) = {(r),

on verra les formules (4) et (5) du premier paragraphe se réduire à celles que renferme la page 5 du Mémoire sur la dispersion de la lumiere, c’est-à-dire à

: TE (a) e— 7 (A6 cos a + Ân cos6 + AŸ cosy), Are ri | 2 sn al ae | + S[me f{r)cosz], nn d'A 2 f(r) (3) / me =S|" A an | + Spme f(r) cos6 |, L » éd .

À f(r he.

ns — | m ax |-- S[mef(r)cosy].

Les trois dernières formules seront donc les équations des mouvements infiniment petits d’un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle. Pour que ces mêmes équations soient transformées en équations aux différences partielles entre les variables principales

et les variables indépendantes T, 4 Z;, £,

il suffira d’y substituer pour € sa valeur donnée par la formule (2), et de développer ensuite, à l’aide du théorème de Taylor, les différences

finies AE: 00; “AS

suivant les puissances ascendantes des quantités X=rcos&, = rLOB6: Z— rcosy.

Les coefficients des dérivées des variables principales

dans les équations aux différences partielles qu’on aura ainsi obtenues, seront des sommes de l’une des formes

e(4) S[mr"+a"+a"-1 cos? à cos’ 6 cos” y f(r)],

(5) S[mrrtn+r"-s cost a cos” 8 cos*”7 f(r)],

n, n', x" désignant des nombres entiers; et l’on pourra regarder la constitution du système comme étant partout la même, si les sommes dont il s’agit se réduisent à des quantités constantes. C’est ce qui aura lieu, par exemple, quand les molécules données seront celles du fluide éthéré, pris isolément et placé dans le vide. Si les sommes (4) et (5) reprennent périodiquement les mêmes valeurs, quand on y fait croître ou décroître chacune des coordonnées en progression arithmétique, et si, d’ailleurs, les rapports des trois progressions géométriques, correspondantes aux trois coordonnées, sont très petits, alors, en vertu d’un théorème que nous avons établi, on pourra substituer à ces mêmes sommes leurs valeurs moyennes, sans qu’il en résulte d’erreur sensible dans le calcul des vibrations du système et des déplacements moléculaires. Les nouvelles équations que l’on obtiendra de cette manière paraissent spécialement applicables au mouvement du fluide lumineux renfermé dans un corps homogène, isophane ou non isophane, opaque ou transparent.

$S ILE. — Mouvements simples

Lorsque la constitution du système de molécules est partout la même, ou, en d’autres termes, lorsque les sommes (4), (5) du paragraphe précédent demeurent constantes, un moyen fort simple de satisfaire aux équations des mouvements infiniment petits est de supposer les variables principales

CÉURR, FO « toutes proportionnelles à une même exponentielle népérienne, dont l’exposant soit une fonction linéaire des variables indépendantes

X, Y 3; , ŒEuvres de C.—S.1I,t. \V. 31

et de prendre en conséquence

(1) £ — À euc+vy+wzst, 1—=B EULHVY+WE SE, É—— Ceux+vy+wz-st,

u, , #, 5, À, B, C désignant des constantes réelles ou imaginaires convenablement choisies. En effet, si l’on substitue les valeurs précédentes de £, », € dans les équations (3) du second paragraphe, tous les termes seront divisibles par l’exponentielle

UL+VY+wz-st e Y ,

et, après la division effectuée, ces équations seront réduites à trois

autres de la forme { (£ — s?)A +RB + 9C — 0,

(2) RA + (IR —s2)}B+ PC —0, 9 À + ®B + (9 — s2}C— 0, les valeurs de £, ML DS A

étant déterminées par les formules

(aires

Ê f(r) r) cos? (ertu cos oem HTC — AS M —

(4) Pis S| m fr) ne (er(ucos a+v cos 6+w cos y) =} ds nn. Or, lorsque les sommes (4), (5) du second paragraphe demeurent constantes, on peut en dire autant des valeurs de