LE RS 6, 9, A

que fournissent les équations (3), (4), et qui sont développables, avec l’exponentielle

er(ucos 4+v cos 6+w cos Y),

en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de w, +, w. Donc alors on peut satisfaire aux équations (2) par des valeurs con-

stantes des facteurs FOUE et #7

Il est bon d'observer que si l’on pose, pour abréger,

(5) | k?2=— u?2 + v2 + w2, (6) k cos — u cos x + v cosB + w cosy, f{ :

(7) G= $ m 2 foires — 1} |, (8) 5 — s[ m a PAS PE Les me) | / re r3 sk

les valeurs de £, 3, %, ®, 2, & pourront s’écrire comme il suit :

; ? 5 TIRE 25 FO. UT (9) D Nom 2 0m | œ$ 228$ 028 \ ( — Le 0) — = AR Mie + .

(ra) ER Pr ve, IP OE 4 — Qu dv

Parmi les formules (2), les deux dernières donnent

Qu) A es B ER C (OR — 52) (20 —s2) —P2 LD —R(MT—Ss?) RE — DIR — s?)

et par suite on tire de la première (12) Fiu,v,w,s) =, en posant, pour abréger,

ci | F(u,v,w,s)—{(£—s2)(9 — 52) (9% — s2) — P2(L — 5?) vos

On arriverait encore à des résultats équivalents en écrivant les équations (2) comme il suit :

pie PE (s + SJA=en(+s+x ; A He AY: 2 D. 6 (14) (s m+)p=ar (seat) : ST cel D.

et l’on tirerait des formules (14)

(15) A = B — C sde à DR 1 Ra 7 ME} RE À DR R LP @5 è Hi puse 5? NET 2— XX —

Po : ® À

er (3) (a) C Æ | 7: R 1

16) 9) 4 + 1 @P5 TT PIR ’ S?— £ ee Fe Ro mt "+

Oril est facile de s'assurer qu’effectivement la formule (15) s'accorde avec la formule (11), et l'équation (16) avec l'équation (r2). En résumé, pour que les valeurs de

à eh v £, is w»

données par les formules (1) satisfassent aux équations des mouvements infiniment petits du système que l’on considère, il suffira généralement : 1° que les coefficients

des variables indépendantes, dans l’exponentielle à laquelle €, n, € sont proportionnels, vérifient la formule (12) ou (16); 2° que les facteurs:

soient entre eux dans les rapports que détermine la formule {11)ou(15). D'ailleurs, les coefficients

et les facteurs

pourront être réels ou imaginaires. Dans le premier cas, les valeurs de & , &

données par les formules (1), seront réelles, et pourront être censées représenter le déplacement d’une molécule w dans un mouvement in-

. finiment petit compatible avec la constitution du système donné. Dans le second cas, les valeurs de

[Rs M S M sx

deviendront imaginaires. Mais comme leurs parties réelles vérifieront encore les équations des mouvements infiniment petits, réduites à la forme d'équations aux différences partielles, ce seront évidemment ces parties réelles qui pourront être censées représenter les déplacements des molécules dans un mouvement compatible avec les conditions du système. Dans l’un et l’autre cas, le mouvement infiniment petit, qui correspondra aux valeurs de €, n, © fournies par les équations (1), sera un mouvement simple, dans lequel ces valeurs représenteront, ou les déplacements effectifs d’une molécule, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, ou ses déplacements symboliques, c’est-à-dire des variables imaginaires dont les déplacements effectifs seront les parties réelles. Les équations (1) elles-mêmes seront les équations finies, et dans le second cas les équations finies symboliques du mouvement simple dont il s’agit.

Comme, dans toute équation imaginaire dont le second membre est nul, la partie réelle du premier membre doit se réduire séparément à zéro, 11 est clair que toute équation linéaire à coefficients réels qui offrira seulement des termes proportionnels aux déplacements symboliques Ë, n, {, ou à leurs dérivées de divers ordres, continuera de subsister, quand on y remplacera les déplacements symboliques par leurs parties réelles, c'est-à-dire par les déplacements effectifs. D'ailleurs on tirera généralement des équations (1)

SEE (17) À C ou, ce qui revient au même, B, C 8 A—= —£, É (1 | è As” s À °

Done, si les rapports

sont réels, on pourra supposer à volonté que, dans les formules (17) . et (18), £,n, € représentent, ou les déplacements symboliques, ou les déplacements effectifs; et en conséquence la ligne décrite par chaque molécule sera une ligne droite parallèle à celle qui, passant par l'origine des coordonnées, est représentée par l’équation

(19) Lies.

Si au'contratre les rapports

sont imaginaires, il sera facile de trouver trois constantes réelles, OR

propres à vérifier la formule

20) JA + gB + AC —o.

Car, si, pour fixer les idées, on pose

(ai) A—aeV—t, B=beñVTt, C—ce V1,

a, b, c désignant les modules des facteurs À, B, C et x, , v leurs arguments, il suffira d’assujettir les constantes réelles /, g, À à vérifier les deux formules

La) £ fae V3 + gbe“V—! + hce VTT —o, (22

ae Vi + ghe— V1 + hce V1 = 0, desquelles on tirera fa gb . he

3) = <a ne. sin(u—v) Ssin(y—1) sin(i—p)

en sorte qu’on pourra prendre

(24) fs sin(u—v) eee, j= 0e),

En adoptant les valeurs précédentes de /, g, k, on tirera des équa-

EXTRAIT N° 37. 247 tions (1) et (20) la suivante (25) fE+gn+h£é—=o,

à laquelle devront satisfaire les déplacements effectifs aussi bien que les déplacements symboliques. Donc lorsque, dans un mouvement simple, la ligne décrite par une molécule ne sera pas une droite parallèle à celle que représente la formule (19), elle sera du moins une courbe plane, dont le plan sera parallèle au plan invariable que représente l'équation

(26) fx + gr + hz—o.

En vertu des formules (1), chacun des déplacements symboliques, et par suite chacun des déplacements effectifs, conserve la même valeur quand on fait varier les coordonnées x, y, = de manière que le tri-

nôme UuxX + (3 Sion w 3

demeure constant, par exemple, de manière à vérifier la formule (27) UT +VY +wz—o.

Dans le cas général où les coefficients w, , æ sont imaginaires, l’équation (27) se décompose en deux équations réelles. Si, pour fixer les idées, on suppose

(48) :u—=Uuy—r, © eV Ex r, w—W + wÿ— 5,

u, v, W, U, V, W désignant des quantités réelles, l'équation (27) don-

nera (29) UZ + VY + W3 = 0, (30) Uxz + Vr+ Wz—o.

Les équations (29) et (30) sont celles d’un second et d’un troisième plan invariable passant par l'origine des coordonnées. Ces deux plans se couperont suivant une droite; et, dans le mouvement simple représenté par les équations (1), toutes les molécules situées sur une parallèle à

cette droite se trouveront, au même instant, déplacées de la même manière.

Soient maintenant

(31) 2? + v? + w? — k?, U? + V? + W?—KkK?, et État UE EAP EN3=Kt, Ux + Vr+ Wz=KA,

, & désignant les distances du point (x, y, 3) au second et au troisième plan invariable. Si d’ailleurs on pose

et ©

les valeurs des déplacements symboliques £, x, © données par les formules (1) deviendront

LE aeR R—Sr(ki—st + à)ÿ=T

(34) n—beRÂ—Sreki—stu)ÿ—1,

LE ceRR Se ki—st+v) Ts,

Done, si l’on représente par

non plus les déplacements symboliques, mais leurs parties réelles ou les déplacements effectifs, on aura

En St oosfkr — st +1),

(35) {n—=beR—Stcos{(ki—st+ pu), E=ceRR —St cos{kr — st + »).

Dans ces dernières équations, l’exponentielle népérienne

eRR—S:t

est ce que nous appelons le »#odule du mouvement simple; l'arc

ki: — st

EXTRAIT N° 37. 249 en est l'argument. Les trois facteurs positifs

aeRR—Sr bekA—Sr cekR—St

sont les demi-amplitudes des déplacements mesurés parallèlement aux axes coordonnés; les trois arcs

kr — st + À, kr —st+u, ke — st + y sont les phases du mouvement projeté sur ces mêmes axes, et TN

les paramètres angulaires qu'il faut ajouter au module pour obtenir Les phases. Si d’ailleurs on nomme : le déplacement d'une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe quelconque, et pris avec le signe + ou le signe —, suivant que la molécule se déplace dans un sens ou dans un autre, on tirera des formules (35)

(36) = LeR À —S: cos{kr — st+w),

pourvu que l’on désigne par 2COSW, 2Sinm

les projections algébriques sur cet axe de deux longueurs qui offriraient elles-mêmes pour projections algébriques sur les axes coordonnés, la première, les trois produits

acosÀ, bcosu, ccosy, et la seconde, les trois produits asinA, bsiny, csin».

Cela posé, le produit 2 eRR—St

représentera la demi-amplitude des vibrations mesurées parallèlement à l’axe fixe que l’on considère, tandis que l’are

Kkr—st+> Œuvres de C. — S.H, t. IV. 32

représentera la phase du mouvement simple projeté sur cet axe, et m; le paramètre angulaire relatif à ce même axe. La valeur du déplacement », déterminée par la formule (36), s’éva-

nouit lorsqu'on a

(37) cos{ki — st+m) —0;

par conséquent elle s'évanouit, lorsque £ demeure constant, pour des

valeurs équidistantes de « qui forment une progression arithmétique

dont la raison est

et, lorsque « demeure constant, pour des valeurs équidistantes de 4 qui forment une progression arithmétique dont la raison est

D'ailleurs, le cosinus de la phase

kr—st+w

reprendra la même valeur numérique avec le même signe, ou avec un signe contraire, suivant que l’on fera varier la distance « d’un multiple

pair ou impair de £, ou bien encore le temps 4 d'un multiple pair cu

: r T ; impair de Cela posé, si l’on prend

(38) I= TT LS 27H (39) ra

on conelura de la formule (36) ou (37) que, dans un mouvement simple, le déplacement d'une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe, s'évanouit : 1° à un instant donné, pour toutes les molécules situées

dans des plans parallèles les uns aux autres, et au second plan inva-

riable, qui divisent le système en tranches dont l'épaisseur est . le 2° pour une molécule donnée, à des instants séparés les uns des autres par des intervalles égaux à =T. Ces tranches et ces intervalles seront

de premuëre espèce, ou de seconde espèce, suivant qu'ils répondront à des valeurs positives ou négatives de cos(kx — st +), et du déplacement &. Enfin deux tranches consécutives composeront une onde plane dont l'épaisseur / sera ce qu’on nomme la longueur d’une ondulation; et deux intervalles de temps consécutifs, pendant lesquels l'extrémité de l’arc kr — st + ù parcourra la circonférence entière, composeront la durée T d'une vibration moléculaire. Quant aux plans qui termineront les différentes tranches et ondes, ils répondront évidemment, pour une valeur donnée du temps £, aux diverses valeurs de + qui vérifieront la formule (37).

Si l’on fait croître, dans la formule (37), 4 de At et v de Av, cette formule continuera d’être vérifiée, pourvu que l’on suppose

(40) K Ac —sAt—o,

par conséquent

A (41) x; = 0, la valeur de @ étant

Il suit de cette observation que, le temps venant à croitre, les ondes planes, comme les plans qui les terminent, se déplaceront, dans le système de molécules donné, avec une vitesse de propagation dont la valeur @ sera celle que fournit la formule (42).

Considérons maintenant en particulier le module du mouvement

simple, ou l’exponentielle eRR—Se

qui entre comme facteur dans l'amplitude relative à chaque axe. On

ne pourra supposer que le logarithme népérien de ce module, c’est-

à-dire l’exposant KA — S£,

croit indéfiniment avec le temps, puisqu'il s’agit de mouvements infiniment petits; et par conséquent le coefficient S dans cet exposant devra être ou nul, ou positif. Dans le premier cas, l'amplitude des vibrations de chaque molécule demeurera constante, et le mouvement simple sera durable où persistant. Dans le second cas, au contraire, cette amplitude décroitra indéfiniment, et, pour des valeurs croissantes de 4, le mouvement s’éteindra de plus en plus.

Quant au coefficient K, par lequel se trouve multipliée, dans le logarithme népérien du module, la distance & d’une molécule au troisième plan invariable, il pourra lui-même se réduire à zéro, et, s'il n'est pas nul, on pourra le supposer négatif, pourvu que l’on choisisse convenablement le sens suivant lequel se compteront les valeurs positives de &. Alors, pour des valeurs positives et croissantes de &, on verra encore le module du mouvement simple décroitre indéfiniment; ce qui montre que, pour un instant donné, le mouvement deviendra de plus en plus insensible, à mesure que l’on s’éloignera davantage, dans un certain sens, du troisième plan invariable.

Dans le cas particulier où l’on aurait à la fois

les formules (35), (36) se réduiraient à

| E— acos(kre — st +),

(44) { n—bcos(k: —st+), l 6 — ccos(kr — st+v), 45 ç— x cos(kr —st+w).

Alors toutes les molécules décriraient évidemment des courbes pa-

reilles les unes aux autres.

Des deux dernières formules (35), on tire

| F cosy + € cosy — ER—Stsin(y — p)sin(k: — st),

(46) | sin y — : sing = eKÂ—SE sin(y — ) cos{ke — s)£, et di d: : ; (47) na = ET = bee KA 286 sin(y u).

Si l’on combine par voie d’addition les formules (46), après avoir élevé au carré chacun de leurs membres, on trouvera

(48) (2) 22 £ cos(y— u) + (2) = RAS: sin? (y — u),

et l’on conclura de cette dernière équation, jointe à la formule (25), que, dans un mouvement simple, la courbe décrite par chaque molécule est généralement une ellipse, les trois projections de cette ellipse sur les trois plans coordonnés étant représentées par trois formules semblables à l'équation (48). Quant à l'équation (47), elle a pour premier membre le double de la dérivée qu’on obtient en différentiant par rapport au temps l'aire décrite, sur le plan des y, z, par la projection du rayon vecteur mené du point (æ, y, 3) à la molécule m. Donc cette aire et celle que décrit le rayon vecteur même, supposées nulles à l’instant où l’on compte 4 — o, croitront avec le temps & proportionnellement à l'intégrale

t Ne r2SE (49) | É e SE dt = —— ; 25

qui se réduit simplement à #, dans le cas particulier où l’on a 3 0 La valeur générale de l’aire décrite par le rayon vecteur, ayant pour

carré la somme des carrés des projections orthogonales de cette aire, sera évidemment

(50) ïS eKRA(; —e?$t) Jhb?c?sin2(y— y) +c?a?sin2{4— >) +a2b?sin? {y — À).

Ajoutons que, dans le cas où les conditions (43) sont remplies, l’équation (48) se réduit à la formule connue

Lu Ep \2 n & RNA ES (57) (£) — 2% 2cos(v—u)+ (à) — sin?(y — pu).

{Vorr le Traué de la lumuère de Herschel, t. 1, p. 392.)

S IV. — Sur le passage des formules particulières qui concernent un mouvement simple aux équations générales des mouvements infiniment petits d'un système de molécules.

Lorsqu’en développant par le théorème de Taylor les différences AË, An, Aë

on aura transformé en équations aux différences partielles les équations (3) du $ IT, qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système de molécules, on en déduira sans peine les formules (2) du S IT, c’est-à-dire les relations qui existent, dans un mouvement simple représenté par les formules (1) du même paragraphe, entre les constantes TARN ARE RE OS : ARE

Pour y parvenir, il suffira de remplacer, dans les équations aux différences partielles dont il s’agit, les variables principales

&, n Ë et leurs dérivées partielles des divers ordres par les facteurs &; Brie

et par les produits qu’on obtient, quand on multiplie ces facteurs par des puissances de w, de +, de w, de —s, dont les degrés soient respectivement égaux au nombre des différentiations effectuées par rapport à æ, par rapport à y, par rapport à s, par rapport à 4; donc si, en adoptant une notation dont nous nous sommes servi plus d’une fois, on emploie, dans les équations aux différences partielles, les caracté-

EXTRAIT N° 37. 255 ristiques FAT EAST SE LE TE | LAN AN Let GE LEA: NE À RAP AUS CE pour indiquer les dérivées des divers ordres d’une fonction de x, y, z, t différentiée une ou plusieurs fois de suite par rapport à æ, à y, à = ou à {, 1l suffira de remplacer ces caractéristiques par les puissances

0] € 2 2 2 Us US CSS OUR PS ER LOUE ABS BPS PS sig 28, 81,

et de remplacer en même temps les variables principales

S\Y de | :

par les facteurs

Réciproquement, pour revenir des formules (2) du $ If aux équations générales des mouvements infiniment petits du système de molécules que l’on considère, il suffira de remplacer, dans ces formules, les facteurs

2h CV par les variables principales Ge Ms €, et les puissances A us Ve 0 Per ss à APS OUR M" —+, #2,

par les caractéristiques moins i-Dh DE D cs Di, Di: D; ::.... D, D?, que l’on devra supposer appliquées aux variables principales

I y à plus : comme, en supposant la forme de la fonction F(«, v, w,s, déterminée par l'équation (13) du $ IH, il suffira d'éliminer deux des trois facteurs À, B, C entre les formules {2) du même paragraphe, pour

obtenir les suivantes ‘

PP SA = 0, Fu, v,w,s)B—o, Fa, v,w;s)CE a;

les équations que l’on tirera de ces dernières, en opérant comme on

vient de le dire, subsisteront encore dans Le cas où les sommes (4), (5)

du $ IT offriraient des valeurs constantes; et ces équations, qui pourront s’écrire comme 1] suit :

(2) F(D;, D,, D, D.)Ë = O, F(D;, D,, D De)" = O, F(D;, D,, D:, D;) Ë =iO y

attendu que l’on à Fu, e,w,s)— F{u,v,æ, — s), seront celles que l’on obtiendrait alors en éliminant deux des trois variables principales entre les formules (3) du $ I.

Nota. — Lorsque, après avoir développé, dans les formules du troisième paragraphe, les quantités