C.R.,t. VII, p. 589 (22 avril 1839). — Suite

Si maintenant l’on pose, pour abréger, (3) = AË + Bn + CE,

A, B, C désignant trois constantes réelles ou imaginaires, on tirera des formules (2)

(4) F(Dz, D, Dz, De)# — 0.

Si les constantes À, B, C sont réelles et représentent les cosinus des angles formés par un axe fixe avec les demi-axes des coordonnées positives, # représentera le déplacement d’une molécule mesuré parallèlement à l'axe fixe. Donc un semblable déplacement sera la variable principale d’une équation aux différences partielles qui conservera la même forme quel que soit l'axe fixe que l’on considère.

Au reste, si, pour revenir des formules (2) du $ IT aux équations générales des mouvements infiniment petits d’un système de molécules, on remplace dans les formules dont il s’agit

u par Dr, v par D,, « par D:;

alors, en désignant par

Vars Vins Nas Vrs Vip Var = Vas Very = Vy,x OEuvres de C.—S.I, t. IV. ; 33

des fonctions de D, D,, D:

déterminées par les formules

Fe i f{r) + f(r)cos?x, .

(5) Ve x =S$ {on ( à ! Certes, +00 pneu Da ss) : Vr,r =: SEE Vz,z =:

fn) ü 4 AR (r}:CO0S 5 COS) : À (0) Vr,z = S Ê f| | : 8 1 (e’ (cosa V,+cos8 D, +cosyD.) __ 1) | | RO ROUES « AREAS

on verra ces équations générales se réduire à

D’ E — Var Ë Ver Tr Vr,z6

Din Vysxé + Vin + Vrsbs DE Vz,rË Verne Vz,zc.

Chacune des équations (7) étant du second ordre par rapport à £,

pour déduire de ces mêmes équations les valeurs générales des va-

riables principales

il sera nécessaire que l’on connaisse les valeurs initiales de ces variables et de leurs dérivées du premier ordre prises par rapport à £. Si l’on désigne par

(2,72) (22,3) (273), Dle,y,s), X(a,7,3), (x, y, 2) ces valeurs initiales, le problème consistera généralement à intégrer les formules (7) de manière que l’on ait, pour £ —0,

(8) 5 —9(x,7, 2), n— 42, Y;3), E—%(x,y,z) d£ | dn si dé (9) ni = Pa») D XXE) 7 Tu (a: y, 4 S V. — Mouvements dont les équations renferment seulement deux variables indépendantes.

Soient 7 ARS: RO

les cosinus des angles que forme avec.les demi-axes des x, y et =

positives un plan énvariable passant par l’origine des coordonnées, et

(1) t—=ax+by+ cz

la distance d’un point quelconque +, y, 3 à ce même plan. Supposons d’ailleurs que, dans un système homogène de molécules mises en vibration, les déplacements et les vitesses ne dépendent, au premier instant, que de la distance & au plan invariable. Les conditions (8), (9) du paragraphe précédent se réduiront à des équations de la forme

(2) É=obh Onæxhh &—40), dE dn Ê

(3 nt \ ——X % EE { r

3) de ere ae et) "HR AE

qui devront être vérifiées pour £— 0, et les valeurs générales des variables principales

dépendront uniquement de « et de s. Car, en supposant £, r, Ÿ fonctions des seules variables indépendantes + et {, on aura, en vertu de l’équation (1),

(4) D'=4D;, D, — bD,, Bic:

par conséquent les formules (5), (6) du paragraphe précédent se réduiront à

f(r) + f(r)cose, … Rens + (ercosëD, —:) , Vr,7 =... Vz,z —:..,

) cosB cosy r

k Cr ; (6) Vr.:=S Ê Ë (erosip, — | pe Ven sasse Ney ass

la valeur de cos étant

= s] se

COSÔ — a COS + b cosB + c cosy.

Or, comme en vertu des formules (5), (6), les équations (7) du $ IV, c'est-à-dire les équations qui représentent les mouvements infiniment petits du système, renfermeront seulement, avec les variables principales &, », 7, les deux variables indépendantes + et 4, on pourra les

intégrer de manière que les conditions (2), (3) se trouvent vérifiées pour t— 0, et ainsi l’on obtiendra les valeurs générales de &, n, Ÿ qui dépendront seulement de + et de £.

Ce n’est pas tout. Si les valeurs initiales de Ë, n, € et de leurs dérivées sont proportionnelles à une seule exponentielle népérienne de la forme

eht

de sorte qu'on doive avoir, pour {= 0,

(8) E = Left, n = Wet, = Cehr, dé da dé REA kr Es LES ARR 5 kr (9) di PERS RES EU Pre

le coefficient £ pouvant être réel ou imaginaire, les valeurs générales

considérées comme fonctions de +, devront elles-mêmes être supposées proportionnelles à l’exponentielle dont il s’agit. Car on aura, dans cette supposition,

(ro) DÉ=hE, Din—=kn, DE HE, ce qui réduira les expressions symboliques Vars Vyos Vas Vs Vzxr Vars déterminées par les formules (5), (6), aux coefficients ÉD 00 À, 3: À

déterminés par les équations

f(r) + f(r) cos? «

(tres 1) |, NS re Le PEAR

ui) £=s{m

ES @= | m 10) 208 cos7 (res 1)|, D —..., ee

EXTRAIT N° 38. 261 et, par suite, les équations (7) du $ IV deviendront

. D'E=LRE+ An+9E, (13) D? = RE + In + RE, | Dé 9E+ En +IE.

Or, si, en supposant constants les coefficients £,9R, 9%, ®, 2, &, on intègre les équations (13) de manière à remplir les conditions (8), (9), on obtiendra évidemment des valeurs générales de £, », £ qui, considérées comme fonctions de x, seront proportionnelles à l’exponentielle

eke,

Si l’on pose, pour abréger, (14) 8—= AË + Bn + Cé,

À, B, C désignant trois coefficients réels ou imaginaires, et si d'ailleurs on choisit ces coefficients et la constante s der manière à vérifier les équations (2 } du $ IT, savoir :

| (£ —s)A + RB + 2C —0, (15) { RA+ (NL —s)B+ PC —0, He Los

on tirera des formules (13) (16) D? 4 828; Soient maintenant

les valeurs initiales de

dans le cas où les valeurs initiales de £, n, £ et de leurs dérivées sont déterminées par les formules (8), (9). On aura

(17) mr) =(AR + B+Ce)elt, IE(:) — (AD + BE + CFjefr, ou, ce qui revient au même,

(18) mfr)= 0e, Ii) = ver,

et l’on tirera de l’équation (16)

dt,

ekr +st a eh st t eh +st + eh st 20) St 8 + Q À / 2 À. 2

par conséquent

eht+st + ehki—st QU ehr+st __ hist +] %

D'ailleurs la formule (21) pourra encore s'écrire comme 11 suit

ekr+st + ehr—st

| AË+Bn+CË—(AX + Bu + CE)

ekv “ASE ekv—st