DA {IL — 52) — 290 — 52) + 2PIR

Or de l'équation (23), jointe à deux des équations (15), ou, ce qui re-

vient au même, aux formules (r1) ou (15) du $ Il, on déduira en général trois systèmes de valeurs de

et comme, pour chacun de ces trois systèmes, la formule (22) établira

une relation linéaire entre les variables principales

on obtiendra en tout, entre ces mêmes variables, trois équations du premier degré qui suffliront pour les déterminer complètement. Les

valeurs de

S2 Ti 66

ainsi déterminées renfermeront six espèces de termes qui seront respectivement proportionnels à six exponentielles de la forme

kr +s't RSR € ki Es"t RARES" ko sr Ar St e tv à € tv y e v'r e t : a ‘En, x € b) :

si l’on désigne par

les trois valeurs de s°? propres à vérifier l'équation (23); et elles représenteront en conséquence les sommes des six valeurs que peuvent acquérir les déplacements symboliques des molécules, correspondants aux trois axes coordonnés, dans six mouvements simples superposés l’un à l’autre (vorr le $ IT). Les plans des ondes propagées dans ces mouvements simples seront tous parallèles au plan invariable représenté par l’équation

(25) to ou (26) ax +by +cz—o;

et, parmi les six mouvements simples dont il s’agit, ceux qui correspondront à une même valeur de s?, par conséquent à deux valeurs de s égales entre elles au signe près, offriront des ondes planes qui se 5 =

propageront en sens contraires, mais avec la même vitesse, cette vitesse étant le rapport numérique entre les coefficients de ÿ— 1 dans la valeur de s et dans la valeur de #.

Si, à l’aide de la formule (21) ou (22), on voulait calculer, non plus

les valeurs totales des variables principales Le 1 C,

mais seulement les parties de ces valeurs qui répondent à l’une des trois valeurs de s?, il faudrait évidemment supposer l’expression

8 = AË + Bn + CÈ

déterminée par l'équation (21) ou (22) pour cette même valeur de s?, et réduite à zéro pour les deux autres.

Remarquons encore que si l’on pose

; + S 127 ] k passes oO, l'équation (21) pourra, en vertu des formules (18), être.réduite à

(28) #«— dt.

olr+olt)+m(r—- ot) 4 fr Ses + IL: — ot)

On arrive à la même conclusion en observant que, dans le cas où les variables

Ë, 1 É, 8, considérées comme fonctions de «, sont proportionnelles à l’exponenuielle ehx, on a identiquement n \ 2 L .

de sorte qu’alors on peut écrire l'équation (16) sous la forme

(So D?# — w? Dis ou

d?# d?# 31 = 4? , ) ot? dr?

Or l'intégrale générale de l'équation (3r) est précisément la formule (28). Quand les mouvements simples, propagés dans le système de molé-

cules que l’on considère, sont du nombre de ceux qui se propagent sans s'affaiblir, les valeurs de Æ et de s n’offrent pas de parties réelles. Alors la valeur de w que fournira l'équation (27), et qui sera positive si l’on choisit convenablement le signe de s, viendra se confondre avec la vitesse de propagation Q des ondes planes, en sorte que la for-

mule (28) donnera

: mfi+Qt)+ulr —Qr) “Ir + Qr) + Mi — Q4) (aa ee + me C "0 =

Si d’ailleurs, pour chaque valeur de s°, les valeurs des rapports

tirées des foules (15), sont réelles, on pourra prendre, pour ("CURE EE DS

des quantités réelles assujetties à vérifier la condition

et les trois valeurs de #, relatives aux trois valeurs de s?, représenteront trois déplacements symboliques d'une même molécule, les trois déplacements effectifs correspondants étant mesurés parallèlement à trois axes fixes qui se couperont à angles droits. { Voir le Mémoire Sur la dispersion de la luruére.)

Lorsque les valeurs initiales des variables principales ë, n,

et de leurs dérivées sont fonctions de + sans être proportionnelles à une seule exponentielle de la forme

ehr,

on peut du moins considérer chacune de ces valeurs initiales comme formée par l'addition d’une infinité de termes proportionnels à de semblables exponentielles. Ainsi, par exemple, si la valeur initiale de Z est donnée par la première des équations (2), elle pourra, en vertu

Clavres dé CS. 1 t. AV. 34

[Na

d'un tiéorème connu (voir les Exercices de Mathématiques), ètre pré-

sentée sous la forme

œ LA tin ! LÉ à (9/\ VÉLE PINE EN x (34). Fi : eRT PVTT q(p) dp du.

2 Île Pi D

Si, au premier instant, il n'y avait de déplacements et de mouvements

produits qu'entre les limites

(35) ee 00, dde

les fonctions »(+x), 7(v), ... devraient être supposées nulles hors de ces limites, ce qui permettrait de réduire l'intégrale (34) à la sui-

vante

I 32 ni, À y— (36) J e&—P)V—1 p{p) du do.

\ 2T i Le ds

-Des remarques précédentes, jointes à ce qui a été dit plus haut, il résulte que, dans le cas où les valeurs initiales des variables"prineipales et de leurs dérivées sont fonctions d'une seule coordonnée, propre à représenter la distance « d’un point quelconque (x, y, 3) à un plan invariable, les vibrations des molécules, au bout d’un temps quelconque 4, peuvent être censées résulter de la superposition d'une infinité d'ondes planes renfermées dans des plans parallèles au plan invariable dont 1l s'agit.

Il nous reste à déduire des formules qui précèdent le mode de propagation de ces ondes, pour le cas où on les suppose primitivement renfermées dans une tranche très mince ou dans une très petite por-

tion de l’espace. Tel sera l’objet des paragraphes suivants.