EUR
dépendent uniquement de la distance + à un plan invariable et doivent satisfaire aux conditions (8) et (9) du paragraphe précédent. Lorsque ces mêmes conditions doivent être remplies pour £—o, quel que soit x, alors Les valeurs générales de £, r, Ê se trouvent déterminées par les formules (43), (45) et (46) du $ V; et par suite, comme on l’a déjà remarqué, le mouvement du système, au bout du temps £, résulte de la superposition de six mouvements simples dont chacun peut s’éteindre pour des valeurs croissantes de 4 ou de +, ou bien encore se propager sans s’affaiblir. Ce dernier cas se présente lorsque les valeurs des constantes 4 et ss
n'offrent pas de parties réelles; en sorte qu'on ait, par exemple, TE 6 —=k V—:, s— ok CE
ket w désignant des constantes réelles. Alors, les conditions (8), (9) du $ V, qui doivent être remplacées, quel que soit x, pour { — 0, se
réduisent à
E = nenvr n =abetvt, c— ee vi, 2) l ; -
dE DekrV—1 AE ce V1 RE ski:
dt M dt : dt 4
et les formules (4) du même paragraphe qui fournissent, non pas les
valeurs totales de
mais seulement les parties de ces valeurs qui correspondent à l’une
des six valeurs de s, par conséquent à l’une des six valeurs de la quan-
tité s (3) o= > deviennent / à Es n PE = Em ia Da eve | Oek(r—arT)V—t qe Ë À .
E AS t rue * (4) d th Dek(G—ot)V-i f Gek(r—or)v—1 de |; æ 0 ,
a Le + :
ttc oekC—oe Ca Tr + [ Vek(r—07) Fo de | L 0
+ désignant une variable auxiliaire à l’égard de laquelle les intégra- “tions s'effectuent entre les limites
Ajoutons qu’en vertu de l'équation (3) la formule (5) First, qui fournit la relation entre # et s pourra s’écrire comme il suit (6) F(k,wk)—o, et se réduira, si la fonction F(#, s) est homogène, à (7) F{r,w)—o.
Donc alors la valeur de w deviendra indépendante de la valeur attribuée à #. Enfin, si les trois équations des mouvements infiniment petits du système que l’on considère se réduisent à des équations homogènes, les produits À, 4 M AN 0 DG, CA; cb CC,
et par suite les produits
EU: 20 DO D EU CE seront eux-mêmes indépendants de la valeur attribuée à #, en vertu de
la formule (42) du $ V.
Œuvres de C.—S.I, 1. 1V. 39
Si l’on désigne par ©
les seconds membres des équations (2), c’est-à-dire les valeurs ini-
üales de d£ da dé di: di di
que fournissent ces mêmes équations, on tirera des formules (4),
jointes aux équations (19) du $ V, la a[Aofi—ot)+ Byli— ot) +C dii—ot)]
t + [ 2a[AD— or) +BX{i—oT) +CW(i—or)]dr,
tv 0 ne Fb[AoG(L— wt) + Bye —«wt) + Chr —wt)] Se c :
ue, | LbIA®D(E — 07) + BX{i—wTr) +CW(:— wT)]d7, A ARE +C[AoG(r—mt)+Byfi—mt)+CV(:—wt)]
{ lo 1e SCA De — w7) + BX{i— 7) + CY{r — wT)] dr. | “0
Supposons maintenant que les conditions (2) doivent se véritier pour {— 0, non plus quel que soit «, mais seulement entre les limites
(9) T— th Lt
Pour tenir compte de cette dernière circonstance, il suffira de remplacer, dans les formules (2), l’exponentielle
ekry—1
par l'intégrale définie
n 2 v, ñ \ É SET # ee»
(10) —— SU CRIV TA PV TE did 28 J is
qui possède la double propriété de se réduire à cette exponentielle, quand + reste comprise entre les limites dont il s’agit, et de s’évanouir
quand « est située hors de ces limites. Or cela reviendra évidemment à
remplacer l'exponentielle ki
par une somme composée d’un nombre infini de termes proportionnels à d’autres exponentielles de la forme
ie TE,
le coefficient de chacune de ces dernières étant lui-même une expression de la forme
LR
1 NT ST PT eu:
ris av | er v)pV ! do,
et As désignant un accroissement infiniment petit attribué à la variable auxiliaire v. Donc alors, si l’on représente toujours par Ës ss És
les parties de
qui correspondent à une racine s de l'équation (5), on devra, aux formules (4), substituer les équations
æ Le Ll ! sn TN, re CR tax oit—ot—$ —14 ,KpV—1 Ës sl LADe ne) VTT EVE dy de o
t o & Ll ! p—— nn ” i f [ f ta0ev(—or—p)V—: e*P V—T dr du do, d. «0 n Lye
— © to
1 D tv, ee 1 Ent +. RO MVC CRT up à NES a) !
t œ tv DE LI [ fe p Abo et —or—p)V—T ke V—1 dz dy do, ddr True
SX
œ La ! ! NES = / Î CODE SPP PV du dp . MD é,
t on tv A : CHROAES = | [ ‘4 1 COe vtr TV SPVT re du do, 0 —æœt v,
en considérant toujours a, b, ce, A, B, C, par conséquent © et Ÿ, comme fonctions des coefficients Æ et s, et supposant ces coefficients déterminés, non plus par les formules (1), mais par les suivantes
(12) k=uy—1, $ — où ÿ—1.
Lorsque les trois équations des mouvements infiniment petits se réduiront à des équations homogènes, alors la valeur de w et celles des
produits a "av DO DOI CCU Ce
seront, dans les formules (11), indépendantes de v; et par suite les intégrales doubles relatives aux variables auxiliaires b et v, dans ces formules, seront proportionnelles à l’une des expressions
I si pr! Er 7 5 ARE
7q | | eur pit keV du de
CLR a: :
qui, pour des valeurs réelles de w, se réduisent à zéro ou aux deux
I x se y — f— ss VIT ut Er ko A : [ J e MR TE ENT Es,
exponentielles ek(t—wet)ÿ—1, ek(v—wr)y—i,
suivant que les différences v— ol, rt — "NT
se trouvent situées ou non hors des limites «,, ,. Donc alors les va-
leurs de £s 15 És
se réduiront à celles que fournissent les équations (4) quand on convient de remplacer par zéro chacune des exponentielles
R RE se Fu, ek(v—ot)y -1 exe wT) 1,
toutes les fois que le coefficient de ÿ— 1 dans l’exposant est situé hors des limites «,, «,. En conséquence, si, les équations des mouvements
infiniment petits étant homogènes, les valeurs de fournies par l'équation (7) sont réelles, Les formules (11) donneront: 1° pourt >, +wt,
(13) CREER #0, Dre 08
2° pour t << to + ob,
ao PS re DO ET at RS LS CARS pours (14) bre ra f efeYT do, ls — EX ee $ dp, És—= — e “PV do; x t
tandis que, pour des valeurs de « comprises entre les limites (15) : à = 10 + ob, = u +ob, les mêmes formules, jointes à la seconde des équations (1), donneront
keÿ/—r ek(t—wt)y—1
— (rt — Er a:
Es = a0oek( ot)V Fa 44% j—— ke V I k (v tu) t) ver er a — ; te 6) En iboet-a)Wt + ip .
ce Es ke y—1 k(r—ot) ÿ—1 = 1c0e( œt)ÿ—1 + + CV € e
\ J s et, par suite,
: © — s+es=ta(o+ À) ek(r+ot)y—1+1 ta (o — D Jetean —1,
© ÿ BALE
(7) m+ns=3b(o+ À À) ete 00 Ti + ib(o— Ejat-nv— * 2 2
s $ F0) DRE
és + —={tic|0 + PLU EEE c(o— D Jets vov=.
Or, en vertu des formules (13), (14), (16) et (17), jointes aux formules (9) du $ V, il est clair que, dans l'hypothèse admise, le mouvement imprimé au premier instant au système de molécules donné pourra être considéré comme résultant de la superposition de six mouvements simples, dont chacun, répondant à l’une des six valeurs de s ou de w, se propagera dans l’espace avec une vitesse équiva-
lente à la valeur numérique de w, et se trouvera renfermé, au bout du temps ?, dans l'épaisseur de la tranche mobile comprise entre les plans parallèles représentés par les équations (15), de manière à offrir un système d'ondes planes qui ne s’étendront point au delà de la tranche dont il s’agit. Si au premier instant les molécules comprises entre les plans que représentent les équations (9) se trouvent déplacées, en sorte que leurs vitesses initiales se réduisent à zéro, alors © étant nul, ainsi que ®, €, #, les formules (14) coincideront avec les formules (13), et par suite les déplacements des molécules relatifs à l’un des six mouvements simples s’évanoutront, au bout d'un temps quelconque #, en deçà comme au delà de la tranche mobile correspondante. Si au contraire les vitesses initiales des molécules different de zéro, les valeurs de
déterminées par les formules (14), cesseront généralement de s’évanouir; mais du moins elles resteront indépendantes du temps, et par suite, au bout d’un temps quelconque 4, les mouvements vibratoires qui, étant relatifs à l’un des mouvements simples, n’existeront. point encore dans la portion du système située au delà de la tranche mobile correspondante, n’existeront plus dans la portion située en deçà de cette même tranche; de sorte que, dans cette dernière portion, le déplacement d’une molécule située à la distance « du plan invariable, ou plutôt la partie de ce déplacement qui se rapporte à l’un des mouvements simples, conservera constamment la valeur qu’elle acquiert à l'instant où l'on a «=, +ot, et par conséquent
Cp 2 à‘
(18) ÊE
G) Concevons à présent que les valeurs initiales de
oi GE cd 5 dt : de étant nulles hors des limites
Cp, : tv y,
diffèrent de zéro entre ces mêmes limites et se trouvent représentées,
pour une valeur quelconque de +, par les fonctions discontinues eh) xh) dh) d), Xh), Yh).
Chacune de ces fonctions, la première par exemple, pourra être considérée comme une somme de termes proportionnels à des exponentielles imaginaires de la forme ekt va puisque l'intégrale définie I ” " r— (19) 2e [ AU —PV—T op) du dp,
—o Vi,
qui en réalité représente une somme de termes proportionnels à des exponentielles de la forme
ar FT RER "et HER
possédera la double propriété de se réduire à o(+«) entre les limites Me 0e er
et de s’évanouir pour des valeurs de + situées hors de ces limites. Cela posé, les raisonnements à l’aide desquels nous avons établi les formules (4) conduiront, dans le cas présent, aux équations
Laer Î J sa[Ao(o)+Bx(p}+ Cu{p)le 68 PV TT du dp
I LE ref 47 j PM rue | +2 J J J stse+sxe+ cent -#-015œ ds, /
Re #1
Hb[Ag(e)+B x{o)-+ Cp(p]Te "PV du dé
st EE v, : es +2) | [ 3b[AD(b)+BX (p)+ CWY'(p}Je 8 2 VTT drdu dp,
0 t—ot %
= | +. Sc[Ae(e) + B xp) + Cp (p}Je"E— #1 PV TT du do
I LE sde ete Fe ‘À #3 1c[AD(p)+ BX(p)+ CY(p}Je"® = TV d: du do;
les valeurs de # et de s, que renfermeront les produits ak, ab 20: bd DR DG CA co ct
étant déterminées par les formules (12). Si d’ailleurs, les équations des mouvements infiniment petits étant homogènes, les valeurs de w fournies par l'équation (7) sont réelles, les formules (19) se réduiront aux équations (8), dans lesquelles les fonctions
pa —wt), y(rt—wt), d(r—ot) :
ou
Dir —owt), X(r—wt), Wii — ot), s’évanouiront pour des valeurs de la différence v— QE: OÙ 1 — QT
situées hors des limites
tO» Ts.
Or les formules (20) donneront : 1° pour > +, +wt, les équations (13),
2° pour t<to +ol,
{ t | Ës a} La [AD(r — wr) + BX {1 — ot) + CW{r — wr)] dr,
ou, ce qui revient au même, puisque les fonctions discontinues Dir —wtr), X(— wr}, Wii: —ur)
s’évanouissent dès que
