C. R., t. I, p. 455. (9 mai

Comme une des plus graves objections que l'on ait faites contre la théorie des ondulations de l’éther se tirait de l'existence des ombres et de la propriété qu'ont les écrans d'arrêter la marche des vibrations lumineuses, je désirais beaucoup arriver à déduire de mes formules générales les lois relatives aux deux phénomènes des ondes et de Ia diffraction; mais, pour y parvenir, il fallait surmonter quelques diflicultés d'analyse. J’y ai enfin réussi, et pour représenter les mouvements de l’éther, lorsque la lumière est en partie interceptée par un

EXTRAIT N°7. 33 écran, j'ai trouvé des formules dont je veux un instant vous entretenir. ;

Considérons, pour fixer les idées, le cas où le corps éclairant est assez éloigné pour que les ondes sphériques qui se propagent autour de ce corps soient devenues sensiblement planes. Prenons pour axe des æ la direction du rayon lumineux, et pour axe des y une droite parallèle aux vibrations moléculaires de l’éther. Nommons x le déplacement d’une molécule mesuré parallèlement à l'axe des y, I la valeur

27 / £ — l'épaisseur d'une onde lumineuse et T— —

K la durée d’une vibration; enfin concevons que, dans le plan des £y,

maximum de æ, /—

perpendiculaire à l’axe des æ, la lumière soit interceptée par un écran, du côté des y négatives. Si le rayon lumineux, que nous supposerons dirigé dans le sens des + positives, est un rayon simple, son équation, pour des valeurs négatives de x, sera de la forme

(1) y =TI cos(Kx — st + À),

À désignant une quantité constante. Or je trouve que, du côté des x positives, la valeur de y pourra être développée en une série, et qu'en réduisant cette série à son premier terme, on aura

Vax 4 \ 1 | cos(Kæ+1—s—T+a) da.

(2) ee

D'ailleurs, le nombre K étant tres considérable, la valeur de y donnée par la formule (2) se réduira sensiblement à zéro, pour des valeurs finies et négatives de l’ordonnée y, tandis que, pour des valeurs finies et positives de la même ordonnée, la formule (2) coincidera sensiblement avec la formule (1). Donc la partie de l’espace située au delà du plan de l’écran sera dans l'ombre du côté où l'écran se trouve, c’està-dire derrière l'écran, et continuera d’être éclairée du côté opposé, comme si l'écran n'existait pas. On devra seulement excepter les points de l’espace correspondants à de tres petites valeurs de y, et pour les-

quels le déplacement y dépendra des deux coordonnées æ, y aussi bien Œuvres de C.—S.A, t. IV. b)

que du temps £. Pour ces derniers points, la formule (2) reproduit les lois de la diffraction, telles que Fresnel:les a données, et l’on peut simplifier l'étude de ces lois en transformant le second membre de l'équation (2) à l’aide des formules que j'ai données dans plusieurs Mémoires.

J'ai dit plus haut que les ondes qui se propagent autour d’un corps éclairant sont généralement sphériques. Effectivement il résulte du calcul qu’un rayon simple peut se propager dans l’éther sous la forme d'ondes sphériqués, ou cylindriques, ou planes. On peut obtenir ces diverses formes en supposant qu’à l’origine du mouvement l’éther est mis en vibration, ou en un seul point, ou dans tous les points d’un même axe, ou dans tous les points d’un même plan; et les deux premieres hypothèses fournissent les mêmes résultats que la troisième à une grande distance du point éclairant ou de l’axe qui le remplace. J'ajouterai que, dans les deux premières hypothèses, les vibrations moléculaires sont, pour un rayon simple, dirigées suivant les éléments de circonférences de cercles parallèles tracés sur la surface de l’onde, et que ces vibrations sont semblables entre elles, et isschrones pour. tous les points d’une même circonférence.

Dans celle de mes Lettres qui avait pour objet les lois de la réfraction et de la réflexion à la surface des corps transparents, je remarquai que, des quatre équations comprises dans les formules auxquelles j'étais parvenu, trois étaient déjà vérifiées et conformes à toutes les observations connues. Or il se trouve heureusement que la quatrième équation, la seule dont la comparaison avec l'expérience restät encore à faire, est vérifiée à son tour par le phénomène des anneaux colorés. En effet, concevons que la surface extérieure ou intérieure d'une lame d'air, ou d’un corps transparent quelconque, en réfléchissant un rayon polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence, fasse varier les plus grandes valeurs des déplacements moléculaires dans le rapport de 1 à 6, et nommons @', 6” ce que devient le rapport 6 quand on suppose le rayon, non plus réfléchi, mais réfracté, et

EXTRAIT N°7. 39 passant de l'extérieur à l’intérieur de la lame, ou de l’intérieur à l’extérieur. Soit d’ailleurs I le déplacement absolu et maximum d’une molécule d’éther dans le rayon incident. Si l'épaisseur de la plaque est un multiple de l'épaisseur des ondes lumineuses, les diverses réflexions, en nombre infini, qui seront produites, l’une par la surface extérieure, les autres par la surface intérieure de la lame mince, ramèneront vers l'œil de l’observateur une infinité de rayons, et de la composition de ces rayons naïîtra un rayon résultant dans lequel le déplacement maximum aura pour mesure, comme on sait, le produit

he | AS Ql(1— 88" — 6288" —...) = 81 {1 — =) Î ——— (fre Pour que ce produit s’évanouisse et que, dans le phénomène des anneaux colorés, la tache obseure du centre présente le noir foncé, il faudra que l’on ait

Or cette condition sera effectivement remplie si l’on adopte, pour l'intensité de la lumière réfractée, la valeur que donnent les formules ci-dessus mentionnées. Il y a plus, la condition (r) fournit immédiatement les deux équations inscrites sous les n° 15 et 16 dans ma Lettre sur la réfraction et la réflexion que produisent les corps transparents; car, si l’on nomme = l’angle d'incidence, et + l’angle de réfraction, on

aura sin(r— 7) |? infr— 7 ( Re ge [ET JE ou e [ns 1 EI ] »

sin(r+r') sin(r+7T') cos(r

suivant que le rayon incident sera polarisé parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence, et l’on tirera de la formule (1), dans le premier cas, :

9e" — sin2? sin .

sin?{r +7}

dans le second cas,

sin27 sin2r

0/07 — — = - Sin?(r +7) Cos?{r — 7!

se .

Au reste, j'ai aussi obtenu des formules générales pour la réflexion qui s'opère à la surface des corps opaques, particulièrement des métaux, et ces formules s'accordent parfaitement avec l'expérience, comme je vous l'expliquerai plus en détail, lorsque le temps dont je pourrai disposer me permettra d'entrer à ce sujet dans quelques développements.

Si l'écran par lequel on suppose la lumière interceptée dans le plan des yz ne laissait passer les rayons lumineux que dans l'intervalle compris entre les limites y —y,, y —y,, en sorte que l'observateur, placé du côté des æ positives, reçût la lumière par une ouverture dont la largeur fût y, — 7,, la formule (2) (de la Lettre précédente) devrait être remplacée par la suivante

R RE Y — Yan) 117 V2x ” (d) r=(i) 1f cos (x + À — st — — + x?) da.

T Hiy— vo) 4 | Va

L'équation (d) elle-même fournit seulement une valeur approchée de y, et se déduit de formules générales et rigoureuses qui représentent le rayon diffracté, quelle que soit la direction du rayon incident, et quelles que soient les directions des vibrations moléculaires dans ce même rayon. Ces formules, en donnant les lois de la diffraction, montrent, par exemple, que si le rayon incident est polarisé dans un certain plan, le rayon diffracté restera toujours polarisé dans ce même

plan.

TuéoRIE DE LA LUMIÈRE. — Lettre à M. Libri.

C. R., t. II, p. 422. (3 octobre 1856.) Dans le Compte rendu de la séance du à août se trouve une asser-

tion relative au nouveau Mémoire Sur la théorie de la lumière, que vous avez eu la bonté de présenter en mon nom à l’Académie des Sciences.

I yest dit: À l’occasion du nouveau Mémoire de M. Cauchy sur.la lumière, présenté aujourd'hui à l’Académie, M. Arago croit devoir signaler une erreur de fait dans laquelle l’auteur est tombé au sujet de la dispersion des substances gazeuses. M. Cauchy suppose cette dispersion nulle. M. Arago dit, au contraire, qu'elle est sensible, et qu'il l'a mesurée pour un grand nombre de gaz simples et composés. Dans une prochaine séance, M. Arago fera connaître tous ses résultats. Il serait assez singulier que l'erreur de fait se trouvât, non dans le Mémoire lithographié, mais dans l’assertion qu’on vient de lire, appliquée, comme elle semble l'être, à ce nouveau Mémoire; et sans doute il y a ici une faute d’impression ou de rédaction qui aura dénaturé la pensée de notre savant confrère. La première Partie du nouveau Mémoire se compose de quatre paragraphes, dont les trois premiers se rapportent à des questions de pure Analyse, tandis que le quatrième offre une méthode propre à fournir, dans un grand nombre de problèmes de Physique mathématique, les conditions relatives aux limites des corps ou des systèmes de molécules. Les sept paragraphes que renferme la seconde Partie ont pour objet les équations générales du mouvement de l’éther, les couleurs, le mouvement de la lumière pénétrant à une petite profondeur à l’intérieur des corps opaques, le passage des formules obtenues dans le $ IT à celles qui représentent un mouvement vibratoire quelconque du fluide éthéré, les milieux où la propagation de la lumière s'effectue de la même manière en tous sens, soit autour d’un point quelconque, soit autour de tout axe parallèle à une droite donnée, enfin la propagation des ondes planes dans les corps transparents. Mais dans tout cela il n’est nullement question de gaz qui dispersent ou ne dispersent pas la lumière, et le mot même de gaz ou de substances gazeuses ne s’y trouve nulle part.

Ce que M. Arago aura dit, c’est que jusqu’à ce jour les physiciens n'avaient point observé la dispersion dans les gaz. C’est là ce que j'ai dit moi-même dans la o° livraison d’un Mémoire plus ancien où, après avoir établi et vérifié les lois de la dispersion dans les corps solides, après avoir expliqué comment on s'assure que ce phénomène disparait

dans le vide, j'ajoute que Jusqu'à ce jour on n'a pu découvrir dans les gaz aucune trace de la dispersion des couleurs (voir le Mémoire Sur la Dispersion, page 185, lignes 13 et 14, ancienne édition). La Note insérée dans le Compte rendu prouve elle-même l'exactitude de cette proposition à l’époque où j'écrivais ces lignes, et c’est parce que les physiciens n'avaient jusqu'ici rien découvert à cet égard que les observations promises par M. Arago contribueront notablement au progrès de la Science. Mais personne ne s’étonnera que je n’aie point parlé de ces observations plusieurs mois avant qu’elles fussent publiées et peut-être même entreprises. Je vous prie d’avoir la bonté de me transmettre ces observations aussitôt que vous les connaîtrez. L'accord de mes calculs avec toutes les observations déjà connues me donne lieu d'espérer que celles-ci offriront une confirmation nouvelle des formules établies dans mon Mémoire. Je serai, en particulier, curieux de savoir si, pour les substances gazeuses, comme pour les solides et les liquides, la différence entre les carrés des indices de réfraction relatifs à deux rayons colorés est sensiblement proportionnelle à la différence entre les carrés, non pas des longueurs d’ondulation, mais des quotients qu’on obtient en divisant l’unité par ces mêmes longueurs.

Je vous serai très obligé si vous avez la bonté de communiquer ma Lettre à l’Académie, dans la plus prochaine séance, et de la faire insérer dans le Compte rendu. |

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Extrait d’une Lettre à M. Coriolis. C.R., t. IV, p. 216. (13 février 1837.)

20 janvier 1837.

Je prendrai la liberté de vous dire ici quelques mots d’un nouveau Mémoire d'Analyse que je vous adresserai bientôt, et dans lequel je

donne une plus grande extension aux méthodes exposées dans les précédents. Ainsi étendues, ces méthodes s'appliquent avee un succès remarquable à presque tous les grands problèmes d’Analvse, à la résolution générale des équations, à l'intégration des équations différentielles, à la Mécanique céleste, ete... Je vais indiquer ici sommairement les principes sur lesquels je m’appuie, et quelques-uns des résultats auxquels ils me conduisent. Dans mes trois Mémoires lithographiés, à Turin et à Prague, Sur le Calcul des indices des fonctions, Sur le Calcul des limites, et Sur l'intégration des équations différentielles, J'ai montré comment on pouvait déterminer le nombre des racines qui, dans une équation algébrique, offrent des modules compris entre des limites données; j'ai établi des règles sur la convergence des séries qui représentent les racines des équations algébriques ou transcendantes, ou les intégrales des équations différentielles, et j'ai fait voir comment on peut assigner des limites supérieures aux restes de ces séries. Or, pour établir ces règles et déterminer ces limites, de la manière la plus générale, il suffit de recourir à une proposition Fetone trée dans l’un de ces Mémoires, et dont voici l'énoncé :

æ désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction y réelle ou imaginaire de x sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de x, tant que le module de x conserera une valeur inférieure à celle pour laquelle la fonction cesse d'être Jinie et continue.

D'après la définition donnée dans mon Cours d'Analyse, une fonction d'une variable est continue entre des limites données lorsque, entre ces limites, chaque valeur de la variable produit une valeur unique et finie de la fonction, et que celle-ci varie par degrés insensibles avec la variable elle-même. Cela posé, une fonction qui ne devient pas infinie ne cesse en général d’être continue qu’en devenant multiple. Ainsi une racine d’une équation ne cessera généralement d'être fonction continue d’un paramètre renfermé dans l'équation, qu’autant que cette équation acquerra des racines égales. J’appelle valeurs principales

du paramètre celles qui donnent des racines communes à l’équation et à sa dérivée. Cela posé, toute racine est développable suivant les puissances ascendantes du paramètre, tant que le module de celur-ct reste inférieur aux modules de toutes ses valeurs principales. Au reste, j'avais déjà donné ce dernier théorème dans un Mémoire présenté à l’Académie de Turin, le 10 septembre 1832. (Voir l'extrait de ce Mémoire, dans la Gazette de Piémont, du 22 septembre 1832.)

De ces principes se déduisent immédiatement un grand nombre de méthodes diverses pour la résolution générale des équations de tous les degrés. En voici deux exemples :

1° Les racines d’une équation de degré quelconque seront toutes développables, ou suivant les puissances ascendantes, ou suivant les puissances descendantes et fractionnaires du dernier terme, si le module de ce terme est inférieur ou supérieur aux modules de toutes ses valeurs principales. Dans le cas contraire, l'équation pourra être décomposée en plusieurs autres dont les coefticients seront développables suivant les puissances ascendantes ou descendantes du terme dont il s’agit. D'ailleurs le calcul des indices fournit le moyen de distinguer ces trois cas, sans résoudre aucune équation.

2° Pour résoudre une équation, partagez son premier membre en deux polynômes d’une manière quelconque, et supposez l’un de ces polynômes multiplié par un paramètre que vous réduirez plus tard à l'unité. Si toutes les valeurs principales du paramètre offrent des modules inférieurs ou des modules supérieurs à l’unité, toutes les racines seront développables en séries ordonnées suivant les puissances descendantes ou ascendantes de ce paramètre. Dans le cas contraire, l’équation proposée pourra être décomposée en plusieurs autres, dont les coefficients seront développables en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes ou descendantes du même paramètre; et, pour effectuer cette décomposition, il suffira de résoudre les équations auxiliaires qu'on obtient en égalant à zéro chacun des deux polynômes; or, À» étant le degré de l’équation donnée, il est clair qu'on pourra toujours réduire le degré de chacune des deux équations auxiliaires à un

nombre égal ou inférieur à la moitié de ». Par exemple, on ramènera la résolution d’une équation du cinquième degré à celle de deux équations du second, en supposant les deux polynômes égaux, l’un à la somme des trois premiers termes, l’autre à la somme des trois derniers, ou l’un à la somme de termes de degré pair, l’autre à la somme de termes de degré impair.

On pourra de même réduire, non seulement la résolution des équations trinômes à celle des équations binômes, comme Lagrange l'avait déjà remarqué, mais encore celle des équations quadrinômes à celle des équations trinômes, et ainsi de suite.

Dans les intégrales d'équations différentielles entre plusieurs variables x, y, z, ... considérées comme fonction de #, les valeurs principales des paramètres sont celles qui rendent infinies les dérivées des seconds membres des équations différentiés par rapport à æ, y, 3, .... Ainsi, par exemple, dans la Mécanique céleste, les valeurs principales des masses, des excentricités, ete., .… sont celles qui réduisent les rayons vecteurs à zéro. C’est pour cette raison que, dans le mouvement elliptique, les développements cessent d’être convergents dès que l’excentricité e acquiert un module égal ou supérieur à celui de la valeur imaginaire de « qui vérifie l’équation

ÿ 1—$ COS —0.

D'ailleurs la détermination des valeurs principales des paramètres fournit immédiatement des limites supérieures aux restes des développements. Ainsi, pour obtenir, dans la Mécanique céleste, des limites supérieures aux restes des développements effectués suivant les puissances ascendantes des masses perturbatrices, il suffira de chercher les valeurs principales réelles ou imaginaires de ces masses, c’est-àdire les valeurs qui seront propres à réduire les rayons vecteurs à zéro.

3 février.

LJ ’ e Le RE. € , . . .

Depuis ma Lettre écrite, j'ai reconnu que l’on pouvait simplifier en-

core la résolution générale des équations de tous les degrés en prenant OEuvres de C. — S.I, t. IV. 6

h2 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

pour auxiliaires, non plus des équations de degré moitié moindre, mais seulement des équations binômes. C’est ce que je vous expliquerai plus en détail, lorsque j'aurai un moment de loisir.

ANALYSE ALGÉBRIQUE. — Sur la résolution des équations. (Extrait d'une Lettre adressée à M. Libri.)