C.R.,t. IV, p.362. (6 mars

Dans la dernière Lettre que j'ai eu l’honneur de vous écrire, j'ai indiqué en peu de mots quelques-uns des résultats auxquels j'avais été conduit par mes dernières recherches sur la résolution des équations de tous les degrés et l'intégration des équations différentielles de tous les ordres. Ces résultats suffisaient déjà pour montrer tout le parti qu'on peut tirer des méthodes exposées dans mes précédents Mémoires, et les avantages que présente l'application de ces méthodes à la solution des grands problèmes d'Analyse. Mais, avant que je puisse vous adresser le nouveau Mémoire qui renfermera une exposition plus détaillée des propositions que je suis parvenu à établir, je n'ai pas su résister au désir de vous en faire connaître encore ici quelques-unes, en vous priant de vouloir bien donner lecture de ma Lettre à l’Académie.

Comme je l’ai remarqué dans ma précédente Lettre, et plus anciennement dans un Mémoire de 1832, si l’on nomme valeurs principales d’un paramètre compris dans le premier membre d’une équation algébrique celles qui donnent des racines égales à cette équation, par conséquent des racines communes à cette équation et à sa dérivée, toutes les racines seront généralement développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes du paramètre dont il

EXTRAIT N° 10. h3

s’agit, lorsque la valeur donnée de ce paramètre offrira un module inférieur aux modules de toutes les valeurs principales. Si, au contraire, le module donné du paramètre surpasse les modules de toutes les valeurs principales, toutes les racines seront développables suivant la puissance descendante du paramètre. Cela posé, soit

une équation de degré », dans laquelle le coefficient de x” se réduit à l'unité, la fonction F(x) étant de forme réelle. Si les racines sont inconnues, on pourra du moins, d’après ce qui précède, déterminer toutes celles de l'équation auxiliaire

(2) Fx)=k,

pourvu que la constante # offre un module supérieur aux modules de toutes ses valeurs principales. C’est ce qui arrivera, par exemple, si le module de # surpasse le module de 7", r étant la valeur de + qui rend, dans la proposée, le module du premier terme également supérieur à la somme des modules de tous les autres.

Pour revenir de l'équation (2) à l'équation (1), il suffira de faire varier un nouveau paramètre z entre les limites

Re NE ccat dans une nouvelle équation de la forme

Nous pourrons même admettre que, dans ce trajet, le rapport r reste toujours réel et positif, quoique chacune des constantes #, z, puisse être imaginaire. Or cette idée très simple a des conséquences fort utiles, et dignes, ce me semble, de l’attention des géomètres, car elle fournit seule la résolution complète des équations de tous les degrés, ainsi qu'il résulte des théorèmes suivants, dont les deux premiers sont du nombre de ceux que j'avais trouvés en 1832. Dans ces divers

SERA F a l : " pa théorèmes, je supposerai que le rapport x "este réel et positif et j'ap-

he COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

pelleraï, pour abréger, valeurs principales de x et de F(x) celles qui répondent à l'équation dérivée

Taéorème 1. — Sr, toutes les valeurs principales de F(x) étant réelles,

on réduit à zéro la partie réelle du paramètre k, toutes les racines de

\ PS À . , ï ï pe:

l'équation (3) seront développables pour p = le} <T1, en séries coni cl

vergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de t.

Corollaire. — On peut immédiatement développer en séries convergentes toutes les racines d’une équation dont la dérivée n'offre point de racines imaginaires; ce qui a lieu, par exemple, lorsque la proposée elle-même a toutes ses racines réelles.

TaéorÈème Il. — Si l'on réduit à zéro la partie réelle du paramètre x, alors pour : A EE . 1, l'équation (3) offrira plus de racines developpables en séries convergentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes de 1, que la dérivée (4) n'offre de racines-réelles.

Corollaire. — Il en résulte que, dans tous les cas, une racine au moins de l'équation (1) ou (3), si zx est impair, deux racines, si n est

pair, peuvent être immédiatement développées en séries convergentes.

THÉORÈME IT. -— Se l’on réduit à zéro lu partie réelle du paramètre k, alors, pour r = 1, OÙ r< 1, l'équation (1) pourra étre décomposée en quatre autres, qui offrent seulement,

La première, les racines réelles pour lesquelles F'(x) est positif;

La seconde, les racines réelles pour lesquelles F'(x) est négau/;

La troisième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de V— 1 est positif;

La quatrième, les racines imaginaires dans lesquelles le coefficient de V— 1 est négatif.

Corollaire. — Ce théorème, joint au premier, fournit la détermination de toutes les racines réelles d’une équation de degré quelconque.

EXTRAIT N° 11. 5) TaéorÈème IV. — Si la constante k est réelle, l'équation (1) ou (>) pourra

être décomposée en plusieurs autres, dont chacune offre au plus une seule

racine réelle.

Tous ces théorèmes se démontrent à l’aide de ceux que j'ai déjà donnés. On peut aussi les démontrer par la Géométrie avec une grande facilité.

D'autres théorèmes sont relatifs aux cas où l’on suppose la constante #, en partie réelle, en partie imaginaire, ou bien la fonction F(x) fractionnaire, et fournissent encore d’autres méthodes pour la résolution des équations de tous les degrés. On peut d’ailleurs donner de ces divers théorèmes, et des méthodes ci-dessus mentionnées, des démonstrations élémentaires qui permettront de les faire passer dans les éléments d’Algèbre.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Extrait d'une Letire sur un Mémoire publié à Turin, le 16 juin 1835, et relatif aux racines des équations simul-

tanées.