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et choisis de manière à vérifier, non seulement la formule (9), mais encore l'équation (10). Si l’on nomme

les valeurs correspondantes de #, on aura

| = AE +B'n +C'E, 13) . ( 8”-— A'E+B’r + C'É,

s" — A"E + B’ Aie CTE:

D'autre part, si l’on combine entre elles par voie d’addition les formules (15) du $ V, respectivement multipliées par

Nr D:

on en tirera £ AA'+ HCUBB'+ %CC'+ L(BC'+ B'C) + 9 (CA'+ C'A) + R(AB'+ A'B) (14) « (: ,=st{AA'+ BB'+ CC).

Or, s* étant censé représenter, dans la formule (14), l’une quelconque des trois racines

le premier membre de cette formule ne sera point altéré quand on changera s° en s'? et réciproquement. Donc le second membre devra remplir la même condition, et l’on aura

s2(AA'+ BB'+ CC'}— s'?{AA'+ BB' + CC') ou, ce qui revient au même, 15) (s?— s’2)(AA'+ BB':+ CC') = 0.

Si, dans la formule (15), on pose s —s', on obtiendra une équation identique ; mais, si l’on prend Perd #4 ou font it

et si d’ailleurs s’?, s”? different de s”?, la formule (15) donnera succes-

sivement A'A” + B'B"+CC'=0,

AA Ai B' SET Bi C”— 0.

eo Q0 EL |

On trouvera de même Ed A L// ais D” B’ se Fe is — 0 :

et, en joignant les trois formules qui précèdent à celles que comprend l'équation (10), on aura définitivement «

L'ANRARIMOUT ES, A'A"+ B’B”+ C’C"—0, (16) 2 A2 we B’2 he C2 = " TAP-A 7 ea BB’ ss ETC — 0, | A2 Br C2 — É. AURA NN ECC — 0.

Or, 11 résulte de ces dernières qu’on vérifiera les formules (13) en

posant Ë — A! 2 AI A’ g” LE A’ s”:

(17) Cat B' Du + per Le 8 ol

Ë — 7 3! mr Cru es C2":

car, si l’on substitue les valeurs précédentes de £, », Ÿ dans les seconds membres des formules (13), ils se réduiront identiquement à

en vertu des équations (16). Donc les formules (13) entraînent les formules (17) et réciproquement. Donc, les formules (17) devant être

vérifiées par les valeurs de 2’, 4”, #” tirées des formules (13), on aura

encore °° AVS RE AUAT A2 — ft, »'C' a BC’ L B"C"— 0,

et les formules (16) entraineront toujours les formules (18). Pour arriver directement à cette conclusion, dans le cas où les systèmes de valeurs de A, B, C propres à vérifier les formules (9) et (10) restent réels, il suffit d'observer qu'alors, en vertu des formules (16),

F. B’, C! , A7 L. jee Le A”, F: C7

représentent les cosinus des angles formés par un premier, un second

et un troisieme axe, perpendiculaires l’un à l’autre, avec les axes rectangulaires des x, y, 3, et qu'en conséquence A ! Û À 2 Ÿ A" ; x, B'’ + p” ; C' , ÇC" à Ée représentent les cosinus des angles formés : 1° par l'axe des x; 2° par l'axe des y; 3° par l'axe des z, avec trois axes rectangulaires entre eux. Pour retrouver maintenant les équations (12), il ne restera plus qu'à

substituer dans les formules (17) les valeurs de #

que fournit l'équation (20) du $ V, quand on pose successivement

Er xs", ea à

Alors, en désignant toujours par

les parties de

qui renferment l’exponentielle kiu—st

dans laquelle s représente l’une quelconque des six constantes

on tirera évidemment des formules (17)

pi 5 £ F a ; É = Es AT GNT et TE Gi, É: s",

(19) ANS + NS + NN + As" + Nes,

CG + Es + Con + Con + Co + Com,

les valeurs de Les 155 Ês

étant, pour chaque valeur de s, déterminées par la formule

% t Ms 0 ” 9 kv—sr (20) =pE Ge tr0elt “es f Dan de,

yat Coté io

EXTRAIT N° 40. 289 ou, ce qui revient au même, par les équations (12). Si d’ailleurs on a

égard aux formules (19) du $ V, on reconnaitra que les équations (12) peuvent s'écrire comme il suit :

t E=HA(AL + B+ Co) + [| LA(AG + BE + Gel" de,

t (21) 4 ni S BAR + Bu + CO)ehr se f 4B(AD + BC + CF)ekt 5" dr,

t Es 4C(AR + Bu +CS)elt— + à LC(AGD + BE + Chekr ST dr.

Les équations (12) ou (21) supposent que les valeurs de À, B, C sont assujetties à vérifier simultanément les formules (9) et (ro). Si elles étaient seulement assujetties à vérifier la formule (9), alors, dans les équations (45) du $ V, on devrait attribuer aux constantes

les valeurs que déterminent, non plus les formules (11), mais la formule (8), c’est-à-dire que l’on devrait dans les équations (12) et (21)

substituer aux constantes

les rapports A B C A?+B?+0C7 A2+B:+C7 A2+B:+0C

On aurait donc alors

/ tua À + Bb + CS pis, 4 A REC non 27 ASE BC tr Marc :

dr.

És

icAtEBB+ CS po, d cAP+BE+ CF ARE Fee Mtop fn OR PART C0:

Enfin, si l’on suppose, comme ci-dessus,

PRES PES à

ŒEuvres de C.—S.I,t.IV.

déterminés par le système des formules (9) et(10), on pourra, dans les — diverses équations que renferme le $ VI, remplacer les coefficients