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“ S ou b= 4 C[o eh a & f © eu) Vs &|:
k ou, ce qui revient au même,
— t — Es — A (ARE Bas + Co) —w)Vx + f HA(AD + BE + Cfjeke ar) | | LT £ > / gr <a he BAR + Bu + Co)et— #0 + P 1 B(AE + BE + CFjek( er) qe
rs t s E—IiC(AR+By+Ce)et eo Vi D iCIAD +BC + Car) —i ge de 2 ] , \ | L
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VII. — Jnitégrales générales des équations qui représentent les mouvements infiniment petits d’un système homogène de molécules sollicitées par des
forces d'attraction ou de répulsion mutuelle.
Les formules (21), (22), (23) ou (24) des pages 289 et 290 représentent seulement des intégrales particulières des équations (7) du SIV, dans le cas où les sommes(4),(5)du SIT offrent des valeurs constantes. Mais la méthode par laquelle nous sommes parvenus à ces intégrales partiçulières fournira encore les intégrales générales des mêmes équations dans le cas dont il.s’agit, par conséquent, les intégrales générales d'un système homogène de molécules sollicitées par des forces d’'at-
EXTRAIT No 40. 291
traction ou de répulsion mutuelle, si l’on commence par transformer les
valeurs initiales de di de“ #
apte OU OT APTE
c’est-à-dire les fonctions
Hot, r,2), 2(en2), Vars), D(x,rs), X(x,7,2), W(x,r, Z;
en sommes de termes proportionnels à des exponentielles imaginaires.
Or, cette transformation peut toujours s’opérer. Car, en vertu des for-
mules connues, on aura par exemple
/ , LE co 1 o œ 2 œ RÉ À AO ane, PAËINeS Vo NEem he dÀ du du dx dy dw (2) 1x, 7; z) = [ Î J E J . eltt 2) 0 —a)+ (25) ]V — 1 o(à, u, y) e LL — AE sd = œ de » de dé
et comme, en posant, pour abréger,
(3) UV—I=u, vY—:1 = v, Wy—1—= w,
on réduit la formule { 2) à
ne Per hr PP : dÀdy. dy (4) dense f L L Ne, 4 É e—t—vu ob pv) ddr TE
il est clair que la fonction arbitraire o(x,Y,2)
pourra être considérée comme résultant de l'addition d’une infinité de termes proportionnels à des exponentielles de la forme
ee trr we I y a plus : comme, en vertu des formules (3), on aura ux +vy +wz=(ur+vy + wz)V—1, si l’on pose, pour abréger, (5) k== Vu? + v2+ we et
(6) UT + VS +Wz—k:,
la valeur numérique de « exprimera la distance du point (x, y, +) au plan que représente l'équation
(7) UXZ +YY +WZ—O
quand on regarde
comme constantes, et l’on trouvera
{ 8 ) etL+Vy+Wwz — e* t Ÿ TA ;
@ É) an oo 2 œ :
— dÀdu.dy
(o) Ee 2) . Î 5 eKt ÿ—1 + [ l e7 "À —VH —Wr D (A, Le, v) dx dx dw STE : —D%/—朗œ@ Re EE ee ere
Concevons d’ailleurs qu'en prenant pour £, A, N, | PR CRE
des fonctions de w, v, w déterminées par les formules (3), (4) du SH, on prenne pour s une racine de l'équation (12) du même paragraphe,
c’est-à-dire de (10) Fia,v,#,s)=0, et que l’on détermine
en fonction de US
par les formules (9), (10) de la page 285. Enfin supposons, comme dans le S VI,
(11) , k—=ky—:1, (12) DEF t
Dans le cas où l’on supposera constantes les sommes (4) et (5) du SI,
la valeur générale de chacun des déplacements moléculaires Er M 6
se composera évidemment de six parties correspondantes aux six valeurs
de s qui, vérifiant l'équation (10), peuvent être représentées par
etcomme, en vertu de la formule (9), les fonctions (1), c’est-à-dire les seconds membres des formules (8), (9) du $ IV, sont des sommes de termes semblables aux seconds membres des formules (2) du $ VI, il suffira, pour obtenir les intégrales générales cherchées : 1° de remplacer dans les seconds membres des équations (24) de la page 290, les constantes arbitraires |
(13, À RRQ D ER TA ®, Ê $
par six intégrales définies relatives aux variables auxiliaires 2, u, v et semblables à celles que contient la formule (9), c’est-à-dire par l'intégrale
FREE D} du ds lu PT Cents,
et par celles qu'on en déduit en substituant l’une des lettres caractéristiques y, Ÿ, D, X, Y à la lettre ©; 2° d'intégrer par rapport aux variables auxiliaires et entre les limites
— 00 , QC de ces variables, les seconds membres des équations obtenues, après les avoir multipliés par le produit
du dx dw:
3° de calculer, à l’aide des équations nouvelles ainsi formées, les valeurs de
Ésr Ass Cs
qui correspondront aux six valeurs de s, et de les substituer dans les formules (19) de la page 288. En opérant comme on vient de le dire, et posant, pour abréger,
U5) (pv) +B y(à,u,v)+C d(?, u, y), … eee B X(A,u,v) + C WA pv),
on trouvera
v Le Î nÉ he ' f: ,AUe KG a) V1 d} du dy dx dx dw | = —0 © —æ@ —D —D© — x © 2 (27 )° +f in D RUE se [: 1AVekG ur) À du ne dde
ou, ce qui revient au même,
| EE Fe 2): d de ie LAUELE AV a) —) ko] — —; di dy dd à dw 2 UE LA sn 1e [': A Vel —2) +2) —kor]ÿ—1 di du e ue dw . © V0 / oo © x EN LE t}
les intégrations relatives aux variables auxiliaires
étant toutes effectuées entre les limites — x, + % ; et, pour déduire de la formule (16) ou (17) la valeur de n, ou de £,, il suffira de remplacer dans le second membre le facteur A par le facteur B ou C. Si, dans les formules (16), (17), ete., on attribue successivement à s les
six valeurs
les formules (19) de la page 288, savoir
| Ë == Es “ie Es + Esr + E çn + Es + Es, (18) CN NS + NS + As + sn + Non + Ds, le
C = Ég + Gs + Con + Con + Gsm + EC sm;
représenteront précisément les intégrales générales des équations (7) du $ IV, pourvu que le système de molécules données soit homogène, et qu’en conséquence les sommes (4), (5) du $S II demeurent constantes, c’est-à-dire indépendantes des coordonnées +, y, =. Dans le cas où Îles facteurs
déterminés par les formules (9) et (ro) de la page 285, restent réels,
EXTRAIT N° 40. NE NE ces intégrales générales ne diffèrent pas de celles que nous avons données dans le Mémoire sur la dispersion de la lumière, publié en
Les formules (16), (17), ete., supposent que les facteurs
sont déterminés par le système des formules (9), (10) de la page 285. Si l’on assujettissait les mêmes facteurs à vérifier seulement la formule (9) (p. 285), on déduirait de raisonnements semblables à ceux que nous avons employés dans le paragraphe précédent, non plus la formule (16) ou (17), mais les suivantes :
opPhpe pepe pe ps L AU ON aur dà du dy du dx dw = f° ik à . f- fs A2+B2+ 0° (2x P | æ o fe FE Fe pe t +AV k(u —wr)ÿ—4 ad} du dy du dx dw Fe + de De Le , A+ BL. CAE TS , ës— EE : +. he ee. AU pepe key du dydi ds ds s “A A2+B2+ C? (27)
; ne [| = ce É Lu AV LUCE) ) (ss) ka] TT dAdo.dy di dx dw d Ho A+B:+0:° | (27)
Dans les formules (19), (20), comme dans les formules (16), (15) et (2, les intégrations relatives aux variables auxiliaires
PÉÉTS VENT LR UM à
doivent généralement être effectuées entre les limites — +, + +.
Toutefois, si les valeurs initiales de
dé: dd dE dé: di
Savoir nDih j(r,r,s), de rie, PO). Xfr,r,s);, :Fixr,z), ne différaient de zéro que pour des valeurs de
correspondantes aux points situés dans un certain espace, par exemple, aux points renfermés entre deux surfaces courbes, deux surfaces cylindriques et deux surfaces planes, représentées par des équations de la
forme
(ar) Z Pair z = File, Emo Ta poirh r=f\(x), (23) X— To; X— ZT;
on pourrait, dans les formules dont il s’agit, en continuant de prendre —æ,+ pour limites des variables auxiliaires v, v, w, supposer les intégrations effectuées par rapport aux variables auxiliaires à, p, v, entre les limites
(24) y —Folà,p), RL ER (23) = fo(), = fi (A), (26) À #2 À = %1.
On pourrait s'assurer directement que les valeurs de MU
fournies par le système des équations (18) et les formules (16)... ou (17)..., remplissent toutes les conditions requises. En effet, pour y parvenir, il suffira d'observer : 1° qu’en vertu des formules (15) du $ V, on satisfera, dans l'hypothèse admise, aux équations (17) du $ IV, en
y substituant à
les produits des facteurs
par l’exponentielle imaginaire ele —2)+ 0 —u)+w 2—»)—kot] ÿ—1 :
ou par l'intégrale
t [ ee) (re) (25) kr] 1 ds:
vo
2° qu'en vertu des formules (18) de la page 287, les équations (16) et (18) donneront, pour {= 0,
k La Le) 2 æo a a : à È ; É ee J— ] 4 d Fe Ë | f 4 [ F 1: o ( À, L y ) elu(e—2) TA (r—p)+% (2—>) —ko 1] Mr Ge du Le dx W x
d£ PAPER RS DE PRe j —— d} du dy du dx dw SH ROSE / [ut —2) +44 (9 —p)+w(s—>) — kor]4/—1 x = f° pepe fs pv)e V(—a)+Y 14 mi ;
ou, ce qui revient au même,
d E=o(xr,7,2), EE D(x,,2).
D'ailleurs les équations {16)..., (17)..., relatives au cas où les facteurs
vérifient la formule
entraineront évidemment les équations (19)..., (20)..., relatives au Cas où la même formule cesse d’être vérifiée, attendu que la formule (9) de la page 285 détermine seulement les rapports géomttriques des trois facteurs
et que l’on aura toujours identiquement
A? s B2 C2 is AT BEC) Abe 0 A1 pi CC
d’où 1l résulte qu’on ramènera le second cas au premier en divisant dans le second cas les facteurs
À;:.B; C0 par la racine carrée de la somme A? + B?+ C?, et les carrés ou produits
A2, B?; C2; -BC/-:CA, AB, OEuvres de C.—S.I,t.1IV. 38
par conséquent aussi les produits AB, AV, 80 DX, GC
par cette même somme.
Observons encore que les intégrales générales fournies par le système des équations (18), et des formules (16)... ou (17)..., coincident avec les valeurs de |
2 tir E que l’on obtiendrait en appliquant aux équations (2) du $ IV la méthode exposée dans le XIX® Cahier du Journal de l’École Polytechnique.
