SO
On pourrait supposer aussi
9 [52 — DL) -+ AŸ?
| = | R{s— 2) +22" ou bien encore, en faisant disparaître les dénominateurs,
A—[2(s2—9R) +ARPIR(sS— 3) + L2], 18) { B—=[R(s—-X) +L2I [LT (s—£) +98].
l C—=[®(s—<) + DR] 2 (5? — M) + RE.
Enfin, comme la formule (7) doit s’accorder avec la formule (rr) du SI,
on pourrait prendre
(19) { B—AR(s?— 9) + PI, :
Il y a plus. Comme, en multipliant par A les trois membres de la for-
Let at. ‘7 Diet a LÉ ste es dec das
a EXTRAIT Ne 41. 303
mule (11) du S HE, et par B ou C les trois membres de deux formules semblables tirées par la même méthode des équations (6), on trouve-
rait A? Ve AB à AC | (SIM) NN) As I) +42 Ds) + A?
AB ne B2 2 AB R(s2— MT) +LD (s2—90)(s2— £) — 92 7 Es? — £) + DR" AC . BC om, te C8 D(S—IM)HRE Ps— LS )+HDR (s2—£)(s2— HT) — n°?
il est clair que l’une quelconque des six équations
A {s2—M){s? — 3) — P?, BC—®@(s—£$) +98, (20) 2— (52 J)(s2—£) —2, CA—9(s?—M)+ AP, (s?— £) (s? — IN) — R?, AB—AR(s— XX) +R)
entrainera les cinq autres, et qu’en conséquence on pourra, dans les développements des expressions (14), remplacer les carrés ou produits
AN RSC RG; CA, AB
par les seconds membres des équations (20). Alors, en posant pour
abréger (21) (F=(s2—m)(s— 5) +(2—2%)(s—£) 21 <
on trouvera simplement (22) " A2+ B?+ C2—f, et f ne sera évidemment autre chose que la dérivée qu'on obtiendrait en différentiant par rapport à s°? la fonction F{u,v,w,s) prise en signe contraire.
Comme les valeurs de
se 55 LE: AN, N, ®, 9, R,
données par les formules (2), (3), sont développables avec l’exponen-
telle etXx +pY +wZ
en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières de lt, -#4, 4,
il est clair que, si l’on égale les facteurs
1 PÈRE ee à des fonctions entieres de
SL, M De Léo en supposant, par exemple, ces facteurs déterminés par les équations (18) ou (19), on pourra considérer CAR ut
comme des fonctions entières de s et de w, #, a’, composées d’un nombre fini ou infini de termes. Nommons, dans cette supposition,
[ x» Û;, [z ce que deviennent
quand on y remplace
par les caractéristiques D, LR D, D..
Alors, en appelant Ps» 159 ds, ®,, X;, ®,
des fonctions de x, y, =, t déterminées par la formule
sad PS f LL LR v) oute—}+0(y arms) se À du dy du dv dw 2 0 Jr. 0 —® — © — © A DEC (27T)°
et par celles qu'on en déduit quand on substitue, dans les deux membres, à la lettré » l’une des lettres y, Ÿ, ®, X, W, on tirera évidemment des équations (12)et (13)
| + (40e + bO; + ecde) f (Ou Ps + [y Xs + Oz os) de.
8 = (40x + bO, + cO:)(Ox9s + Üy%s + O:%%) (24)
Si, dans la formule (22), on réduit l’un des cosinus a, b, c à l'unité, et les deux autres à zéro, on en conclura immédiatement
/ t | Es —=0Or(Trps+ OyXxs + Oz:%) + Of (Or Ps + y; X;+ Oz W:) dt, Vo
t (25) 4 ns —=0;( OrPs + Dyxs + Oz%Ÿ) + 07yr [ (0 Ps + ÜyXs ed Oz) de,
vo
t br :(Oxr9s + Oy%s + Oz Ÿs) + Oz k (D x Ps + y X: + Oz) de.
On simplifiera encore les formules que nous venons d'obtenir, si l’on suppose réduites à des fonctions entières de
#, : I: 5, non plus les valeurs de mais seulement les valeurs de * RP RSS OR DC; CA AR,
en déterminant ces dernières valeurs par le moyen des équations (20). Alors les formules (23)... donneront
(26) be = EU JP TS eee u didudididrdr et NN QU (ar) Ù
et en désignant par
Ür,xs Ur Üz,z, O,:= Oz» : Ozxr= Oe, Or,y = Oy.x
ce que deviennent les seconds membres des formules (20) quand on y remplace
par les caractéristiques
OEuvres de C.—S.1, t. \V. 59
on obtiendra, au lieu des équations (24) et (25), celles qui suivent t 8 = (aOx,x + bOx,y + CO) (a+ f (IA di) t (ae, 3 + (40 y,x + éOer+e0ne) (+ f sat)
t jar (a Üz,x + b Üz.y + cc [z,:) Cu f vai),
: ? k RES Ü,xPs + Üx,rXs + Ox,z Ÿs + [ (D e,x Ps + Ox,y Xs de O,: Y5s) dE, | à (28) An —= Üy,xr9s + Dy,rXs + Oy,z ds + [ (Dr, e D; + Ü »,7 Xs + C] y, Y,) de,
t | A Oz, r9s + Oz, Xs + O2,z Us + f (Oz,x Ds +- [2,7 Xs + Oz, Y:) de.
\ Ainsi, en définitive, les valeurs de Ës, As; cé
que renferment les intégrales générales des équations des mouvements infiniment petits, pour un système homogène de molécules, étant considérées comme fonctions de
dépendent uniquement de l'intégrale sextuple qui constitue le second membre de l'équation (26) et de celles qu’on en déduit en remplaçant la première des six fonctions |
ar, apr, dam), Dur), XL) Y(ku,)
par l’une des cinq autres.
On ne doit pas oublier que, dans les formules (23) et (26), uw, v, w ont des valeurs imaginaires égales aux produits des variables auxiliaires
PRE PRE par ÿ— 1. Si d’ailleurs on pose, pour plus de commodité,
la valeur de s pouvant être réelle ou imaginaire, l'équation (26) don-
nera
PO Ge if. 4 PE "+ pe }, SU »V) u(a—2)+—p)+w—) si] —1 d?. d a À LA dw.,
Si l’on désigne par 5 l’une quelconque des lettres Pré Ÿ, ®, X, F,
on pourra généralement à la formule (30) substituer la suivante
sr | ns . 13 f ® (À, ire y) Le) (y) (20) 56] 5 Z; dà du dy di dx CAR Fee (27)
Si d’ailleurs on nomme
le second membre de l’une quelconque des formules (20), et si lon représente par
ce que devient ce second membre, quand on y remplace les lettres par les caractéristiques
D, D,, D:, s D,; alors, en posant, pour abréger, S
on trouvera
(33) Ow= > pi LES 2e f Eat, vtt ame niv d? du. nr an v —o —@© V 2 Ÿ to 27 0 ; . D:
Cette dernière équation, dans laquelle & représente l’une quelconque
des lettres Dre , ®, x, LÉ
et O l’une quelconque des caractéristiques
[xx Üysrs Uz,zs Üyss 2,2 Ur,
TM CRE Rp A Eee dre
fournira les valeurs des expressions Ür,x Ds, Or, r Yo .. Ox,rXs Ses Ozr,r Ds, AL Or, y X5, comprises dans les valeurs générales de
Es Tiss És.
Posons maintenant
(34) k=Vu+v+w, p—V(x—2}+{(y—u)+{3—v)
(35) Sr Si l’on considère les trois variables auxiliaires ARR PAU |
comme représentant des coordonnées rectangulaires, on pourra les transformer en trois coordonnées polaires dont la première serait le rayon vecteur k, à l’aide d'équations de la forme
(36) u — k cosp, v—ksinpcosg, w—ksinpsing.
Pareillement, si l’on considère les trois variables auxiliaires
ou plutôt les trois différences 7 hs À, ne SE y,
comme représentant des coordonnées rectangulaires, on pourra les transformer en trois coordonnées polaires dont la première soit le rayon vecteur p, à l’aide d’équations de la forme
(37) æ —À=pcos6, Y —— = psin0 cosr, 3 — y =psin6 sin.
Faisons d’ailleurs
u(x —À)+v(y—u)+w(z— 1) kp
COSÔ —
ou, Ce qui revient au même, (38) cosd — cosp cos9 + sinp cosgq sin cosr + sinp sing sin ÿsinr.
Comme, en désignant par
une fonction des trois variables +, y, z, on aura généralement, eu égard
aux formules (34),
ti PhuN w) du dv dw
Fe AT 5 fl, v, w)k? sinp dk dq dp
ee 4 flu, v, w)k? sinp dk dq dp et, eu égard aux formules (35), PS re-vr-us- nada (4o) = [ [fre ar p 3 —vip8sin0 de deds rer
" 2% = ==; [ . f f(x —32,y —p,23—v)p?sin0 dp dr db, dat at | la formule (31) donnera
Fran ns : Us +: fe [= (À, ne eK(pcosè— ot) ÿ—1 k2 p? sinp in à dk dq 5 do dr do
les intégrations étant effectuées par rapport aux variables Æ et o entre les limites —, ©; par rapport aux variables p et 6 entre les
limites o, + et par rapport aux variables g etr entre les limites o, 27. Enfin, comme on aura identiquement
! I RTE 26—koty—1 RER ma Dé e—koty—1, )
on tirera de la formule (41)
Ë 97 RE ROTÉ (À, uv) | Qk(pcos2— mr) V4 5: .…. , dk dq dp do dd, (42) sf" [ | + ie fe en p? sinp sin 0 UE
et comme, pour passer de la formule (31) à la formule (33), il suffit de
remplacer dans le second membre ë par 6, on aura encore
| — ht (43) LUE Ti LE — (À; uv) ek(pe0n3— VTT pain p sin0 TES sas
Ce n’est pas tout. Si, dans les formules (40) et (41), on remplace
on devra en même temps, pour que les limites de l’intégration relative
à k ne soient pas interverties, remplacer
dk par Fr ycos?à
et par suite les formules (41), (43) donneront
ADS Ge CT RE UE En Re Ik dq dp do d= dÿ 44) ee / :. f [ d BC pv} A (e EE ae p ps dÿ.
AT de dé diode 2 wF ycos?0
wt
45) Os.=; cs Los . ie [= — O(À, uv) ex (e— ms JV pt sin p sin 0 SEL SE À, ‘El |
(4 cos? 0
Les formules (41) ou (42)et(43) peuvent être simplifiées dans quelques cas dignes de remarque. Supposons, pour fixer les idées, que
L,. 0,00 879). % soient des fonctions homogènes et du second degré de w, v, æ. La fonction
Fu,v,w,s)
sera elle-même une fonction homogène de w, 6, æ,s. Donc alors, eu
EXTRAIT N° #1. 311 égard aux formules (8), (29), (35) et (36), l’équation (4) pourra être réduite à | (46) Fit. uw, So, ou même à (47) F(cosp, sinpcosq, sinp sing, ©) — 0.
Alors aussi, 6 étant une fonction de &, v, w, s, homogène et d’un degré
nul, dépendra uniquement de
P, dd.
par conséquent de p, g; et comme, en supposant réel, on aura géné-
ralement
22 œo UT RE | PU à \ (48) J : ir reat cos) dk dp— 27 f (ES)
la formule (45) pourra, dans cette supposition, être réduite à
(49) Om FE Pi | O5 (7, 4, v)sinp sing Ge o 0 0 0 0
2°T cos? 9 /cos?0 les valeurs de à, v, v étant déterminées par les équations
os
(50) æ —1— : COS 0, 3 — D — — sinO COST, 2 —7— — sin 9 sin. En vertu de l'équation (49), chacune des intégrales générales des mouvements infiniment petits prendra la forme que j'ai indiquée dans le Bulletin des Sciences d'avril 1830, et la discussion de ces intégrales conduira immédiatement aux résultats énoncés dans ce Bulletin, et dans le n° 17 des Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, 1 semestre 1839.
Au reste, je reviendrai dans un autre Mémoire sur les conséquences importantes qui se déduisent de la formule (49), et de plusieurs autres formules comprises dans l'équation (42). On doit surtout remarquer le
cas où la fonction
Flu,v,w,s) = F(uy—i, vi, wy— 1, sy —1)
se réduit à une fonction de s et de v? + v? + w? — Æ?, ou plus généralement à une fonction de s et de W, la lettre W représentant une fonction homogène et du second degré de u, P, w.
Alors, en vertu d’un théorème que j’ai donné dans la 49° livraison des Exercices de Mathématiques, l'intégrale quadruple renfermée dans le second membre de l’équation (49) peut se réduire à une intégrale double, comme je l'ai montré dans un Mémoire présenté à l’Académie le 17 mai 1830. (Voir aussi le Mémoire qui termine le XX° Cahier du Journal d2 l’École Polytechnique.) |
PaysiQue maruëmaTIQuE. — Note sur la quantité de lumuëére réfléchie sous les diverses incidences par les surfaces des corps opaques et spécialement
des métaux.
