C. R.,t. IV, p.672. (8 mai

Pour bien comprendre le théorème qui fait l'objet principal de cette Note, il faut se rappeler les définitions suivantes :

Soient x une variable réelle et /(x) une fonction de cette variable qui devienne infinie pour æ — a. Si l’on fait croître æ, la fonction /(+) passera, en devenant infinie, du négatif au positif, ou du positif au négatif, ou bien elle ne changera pas de signe. La quantité — 1 dans le premier cas, + 1 dans le deuxième, o dans le troisième, est ce qu'on nomme l'indice de la fonction pour la valeur donnée a de la variable x.

J'appelle Zndice intégral, pris entre deux limites données x — x, æ — X, la somme des indices correspondants à toutes les valeurs de +

kG COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

qui rendent la fonction infinie entre ces limites, et je le désigne par la

notation | [f{æ)]}. L'indice intégral est aussi l'excès À du nombre

de fois où la fonction f(x), en s’évanouissant pour différentes valeurs de + entre les limites x,, X passe du positif au négatif, sur le nombre de fois où elle passe, en s’évanouissant, du négatif au positif. Il est facile de voir que ces deux définitions conduisent au même résultat.

S'il s’agit d’une fonction de deux variables / (x, y), j'appellerai de même /ndice intégral, entre les limites æ,X, y, Y, la somme des indices correspondants à toutes les valeurs simultanées de + et y qui, prises entre les mêmes limites, rendent la fonction infinie. Cet indice intégral est la moitié de la quantité

d [Lf(a, Y)1} — d ILfæ roll} d CR r)1) + d TAPIE

Je transcris maintenant les premières et dernières lignes du Mémoire publié en juin 1833.

« Dans un Mémoire présenté à l’Académie des Sciences de Turin, le 17 novembre 1831, j'ai fait connaître un nouveau calcul qui peut être fort utilement employé dans la résolution des équations de tous les degrés. Mais, dans le Mémoire dont il s’agit, les principes de ce caleul, que je nomme Calcul des indices, se trouvent déduits de la considération des intégrales définies. Je me propose ici de démontrer comment on peut établir directement ces mêmes principes sans recourir à des formules de Caleul intégral. »

Suivent les démonstrations de sept théorèmes que j'établissais successivement.

« En s'appuyant sur les principes ci-dessus exposés, on pourrait encore étendre le Calcul des indices à la détermination des racines imaginaires des équations, ainsi qu’à la résolution des équations simultanées et démontrer en particulier la proposition suivante :

» THÉORÈME VIII. —- Sotent

Jia, y}, F(x,7)

EXTRAIT Ne 11. 47 deux fonctions de x, y qu restent continues entre les limites x — x,, COX fe P VX.

» Nommons o(x,y), D(a,y) les dérivées de ces fonctions relatives à x, et y{æ; y), X(x, y) leurs dérivées relatives à y. » Enfin soit N le nombre des différents systèmes de valeurs de x, y propres à vérifier les équations simultanées

FSI] =0, Fixz,7)=0 et comprises entre les limites ci-dessus énoncées, on aura ‘ > < x Y Y ; , (J Iyiæ, VII} — j LC erill-d (x) + [Ep (os 1] ): To € To Yo Yo

en supposant

ur)

» Turin, le 15 juin 1833. »

Parmi les démonstrations élémentaires que l’on peut donner de ce théorème, il en est une fort simple que je vais indiquer en peu de mots.

Considérons +, y comme des coordonnées rectangulaires. Chacune des équations (») FR FIST,

(2) Elx,r)=0 représentera une ligne droite ou courbe tracée dans le plan des x, y, et N sera le nombre de points suivant lesquels se coupent ces deux

lignes dans l'intérieur du rectangle ABCD compris entre les quatre droites qui ont pour équations

(3) LES 2 EX, MUTE 4) M re Ÿ

Cela posé; 1l sera facile de vérifier le huitième théorème si chacune des fonctions f(x, y), F(æ,y) est linéaire par rapport à æ, y, c’est-àdire si les équations (r) et (2) représentent elles-mêmes deux droites: et l’on s’assurera aisément qu’alors le premier et le second membre de

l'équation (a) se réduisent l’un et l’autre, soit à zéro, soit à l’unité, suivant que le point d’intersection des droites (1) et (2) est situé à l'extérieur ou à l’intérieur du rectangle ABCD. Mais si f(x, y), F(x,y) cessent, l’une ou l’autre, ou toutes deux à la fois, d’être des fonctions linéaires de +, y, on pourra diviser le rectangle ABCD par des droites parallèles à ses côtés en éléments assez petits pour qu'un seul point d’intersection au plus des courbes (r) et (2) soit renfermé dans chaque élément, et pour que les portions de ces courbes comprises dans chaque élément se confondent sensiblement avec leurs tangentes. Alors, pour obtenir la formule (a), appliquée au rectangle ABCD, il suffira de combiner par voie d’addition les diverses équations qu'on obtient en établissant successivement cette formule pour chacun des éléments de ce même rectangle.

Le huitième théorème, ainsi qu’il vous sera facile de le reconnaitre, comprend, comme cas particuliers, ceux que j’ai donnés sur le nombre

des racines imaginaires d’une équation algébrique, et, dans ce cas, la f(x, ») ; F(x,7) Je verrais avec plaisir que la partie de ma Lettre qui est relative au

fonction L(x+,y) peut se réduire à

Mémoire de Juin 1833 füt insérée dans le Compte rendu de la prochaine séance de l’Académie.

Goritz, le 22 avril 1837.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Première Lelire sur la détermination complète

de toutes les racines des équations de degré quelconque. C. R., t. IV, p. 773. (22 mai 1837.) ..... Voici de quelle manière se démontrent les théorèmes fonda-

mentaux indiqués dans la. Lettre que j'ai adressée à M. Coriolis, le 20 janvier 1837.

Tuéorëme F. — 2 désignant une variable réelle ou imaginaire, une fonction réelle ou imaginaire de t, représentée par x, sera développable en sérte convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes de t, tant que le module de t conservera une valeur inférieure à celle pour la-

quelle la fonction x cesse d'être finie et continue.

Démonstration. — On peut voir une démonstration de ce théorème dans l'extrait lithographié du Mémoire présenté à l’Académie de Turin, le 11 octobre 185r (FE Partie, SIT, p. 6 et 7). Seulement les lettres 4 et æ se trouvent remplacées, dans le Mémoire dont il s’agit, par les lettres æ et y.

Corollaire. — Supposons que x soit une fonction implicite de £, déterminée par la résolution d’une certaine équation

\ FAN TE (1) Fitiae,

dans laquelle £ entre comme paramètre. Si la fonction x reste finie pour des valeurs finies de #, elle ne cessera généralement d’être continue qu’en devenant multiple. Cela posé, soient

(2) X, x + Ax

deux racines de l'équation (1) : on aura

F(x) reg: à F(x Ne Ax) oO,

et, par suite, ë | Ax)\= Fix) (3) F{x + Ax) RCE

Âzx

Or si, pour une certaine valeur réelle ou imaginaire de #, les racines æ, æ + Ax se confondent, en faisant converger £ vers cette valeur, pour laquelle l'équation (1) acquerra une racine double ou multiple,

on verra l'équation (3) se transformer en cette autre

Ainsi, lorsque le paramètre £ obtient une valeur pour laquelle l’équation (1) acquiert. une racine double ou multiple, cette racine est commune à l'équation (1) et à sa dérivée. Cela posé, si l’on nomme valeurs

OEuvres de C.—S.I,t.1V. 7

principales du paramètre £ celles qui donnent des racines communes à l'équation (r) et à sa dérivée, on déduira immédiatement des remarques précédentes, jointes au théorème [, la proposition que nous allons

énoncer.

Tuéorèue Il. — Toute racine d’une équation est généralement developpable suiwant les puissances ascendantes d'un paramètre renfermé dans l'équation dont il s'agit, tant que le module de ce paramètre reste

inférieur aux modules de toutes ses valeurs principales.

Corollaire. — Soient æ, 6,:Y, plusieurs racines réelles ou imaginaires de l'équation (r). Pour de très petites valeurs du module d’un paramètre £ compris dans cette équation, chacune des racines x, 6, y, ... sera généralement développable suivant les puissances ascendantes de 4, et l’on pourra en dire autant de la somme de ces racines et de la somme de leurs puissances entières d’un degré quelconque. Si, le module { venant à croître, deux ou plusieurs racines, par exemple, x et6, ou x, 6 et y, ... deviennent égales entre elles, pour une certaine valeur du module dont il s’agit, à partir de cet instant, les racines *, 6 ou x, 6, y, ... cesseront d’être fonctions continues de #, et séparément développables suivant les puissances ascendantes de £. Mais la somme de ces racines, ou la somme de leurs puissances semblables, ne cessera pas d’être fonction continue du paramètre 4, et développable suivant les puissances ascendantes de ce paramètre; et il en sera ainsi jusqu'au moment où l'accroissement progressif du module de £ rendra l’une des racines que renferme le groupe (x,6) ou (x,6,7), ... équivalente à une ou plusieurs autres racines non comprises dans ce même groupe. Alors ces dernières, et celles qui pouvaient déjà s'être groupées avec elles, formeront avec les premières un nouveau groupe composé d’un plus grand nombre de racines, dont la somme sera encore développable, ainsi que la somme de leurs puissances semblables, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de #. D'ailleurs, lorsqu'on connait la somme de

EXTRAIT N° 12. 51 plusieurs racines «, 6, y, ... de l'équation (1), et la somme de leurs puissances semblables d'un degré représenté par un nombre entier

quelconque, on peut aisément développer suivant les puissances des-

cendantes de x le logarithme du produit

par conséquent ce produit lui-même, et former une nouvelle équation dont «, 6, y, ... soient les seules racines. Il importe d'observer à ce sujet que, pour obtenir tous les termes du produit en question, il suffit de prolonger le développement de ce produit, et par conséquent le développement de son logarithme, jusqu'au terme dans lequel l'expo-

1 , . / sant de — est égal au nombre des racines «, 6, y, .... Cela posé, les

principes que nous venons d'établir conduisent immédiatement au théorème suivant.

THÉéorÈME IT. — Soit t un paramètre renfermé dans le premier membre de l'équation (1). Tant que le module de ce paramètre restera inferieur aux modules de toutes ses valeurs principales, les racines distinctes de l'équation {1) seront séparément développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de 1. Supposons d'ailleurs que. le module de t venant à croître, on distribue en divers groupes les racines de l'équation (1), de telle sorte que, dans l'origine, le nombre des groupes sou égal au nombre des racines distinctes, et que plus tard deux groupes se réunissent en un seul, au moment où deux racines qui appartiennent respectivement à ces deux groupes deviennent égales entre elles pour un module donné de t correspondant à une certaine valeur principale de ce paramètre. Le nombre des groupes de racines se trouvera complètement déterminé jour chaque valeur particulière attribuée au module de t, et l'équation (1) pourra être décomposée en plusieurs autres dont chacune

Journisse séparément les diverses racines comprises dans un seul groupe.

Corollaire 1. — Dans les démonstrations des théorèmes IT et IE, nous avons implicitement supposé que les racines et les sommes de diverses

racines de l’équation (1) ne cessaient d’être fonctions continues de 4 qu’au moment où deux ou plusieurs de ces racines devenaient égales entre elles. C’est ce qui a lieu, par exemple, lorsque l'équation (1) est

de la forme (5) IH(x)+iw(x)=o,

-w(x) etI{x) désignant deux fonctions entières de +, et le degré de la fonction H{x) étant supérieur à celui de la fonction 5(x). Si le degré de I{x) devenait inférieur à celui de 5(x), une ou plusieurs racines de l'équation (5) deviendraient infinies, par conséquent discontinues pour 4 — 0, et, si l'équation (1) n'était pas de la forme (5), ou si elle devenait transcendante, on conçoit que des valeurs particulières de 4 pourraient encore rendre une racine infinie ou discontinue, sans donner des racines communes à l'équation (5) et à sa dérivée. Il sera généralement facile de voir quelles sont les restrictions ou modifications qui doivent être apportées aux théorèmes IT et IT dans des cas semblables. Ainsi, par exemple, dans le cas où la fonction H(x), que renferme l'équation (5), offrira un degré inférieur à celui de (x), on

pourra encore développer les racines qui deviendront infinies pour

t— 0, en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de 7; seulement, les premiers termes de ces séries renfermeront des puis-

sances négatives de /, comme on peut s’en assurer en développant suivant les puissances ascendantes, entières ou fractionnaires, du pa-

ramètre {, les racines des équations

X—i+ix?=0, x—1+ixi—=0o.

Corollaire II. — 11 est important d'observer que le théorème IIT, appliqué à l'équation (5), peut aisément se déduire de la formule { 29) (p. 13) du Mémoire de 14 pages, lithographié à Turin, sous la date du 17 décembre 1831. Pour y parvenir, il suffit de remplacer, dans cette formule, F(3) par une puissance entière de 3, et 5(z) par 45(z), d'é-

crire d’ailleurs, au lieu de +, dans l'équation (5),

x + yea Z;

en considérant les variables +, y comme propres à exprimer deux coordonnées rectangulaires, et substituant à l'équation (5) la suivante

(6) (x + yV—1) +4 (x + yyÿ—1)—0,

ou

H(x eV da

w(x +yy—i)

puis de construire les différentes courbes représentées par l'équation

pe x + yV—1 {8) l — mod. — set (ee, m(æ+yy—1)

T désignant le module du paramètre 4. Pour T — 0, cette équation re-

présentera autant de points que la suivante (9) H{z)—0o, ou Hz +yy—1)—0,

offrira de racines distinctes. T venant à croitre, chacun de ces points sera remplacé par une courbe fermée qui s’étendra de plus en plus, et les différentes courbes resteront isolées et indépendantes les unes des autres jusqu’au moment où, le module T acquérant une de ses valeurs principales, on verra deux ou plusieurs courbes se réunir en un point multiple, pour se réduire plus tard à une seule et même courbe. Il peut aussi arriver que le périmètre d’une courbe vienne à se rencontrer lui-même en un certain point, ou que deux courbes distinctes se rencontrent en deux points, de manière à se transformer ensuite en deux courbes d'espèces différentes, dont l’une s’élargisse et l’autre se rétrécisse de plus en plus. Ainsi, parmi les courbes représentées par l'équation (8), pour une valeur quelconque du module T, on pourra distinguer des courbes de première espèce qui s’élargiront, et des courbes de seconde espèce qui se rétréciront, pour des valeurs croissantes de ce module. Lorsque T deviendra infiniment petit, les seules courbes qui subsisteront seront des courbes de première espèce, dont

(1) Les initiales #04. placées devant une expression imaginaire indiquent son module.

les périmètres s'étendent à de très petites distances des points représentés par l'équation

(9 bis) Hx-+7v—1)=0. où. H{z) =,

pourvu que l’on suppose, comme on l’a dit, le degré de la fonction H(x) supérieur au degré de 5(æ). Au contraire, lorsque T deviendra infiniment grand, les seules courbes qui subsisteront seront des courbes de seconde espèce, dont les périmètres s’étendront à de très petites dis-

tances des points représentés par l'équation

(10) mix+rV—1)—0 où imlz}—0,

et une seule courbe de première espèce, dont le périmètre sera très considérable et s’étendra à de très grandes distances tout autour de l'origine des coordonnées. Pour une valeur quelconque du module T de 4, le nombre des courbes de première espèce, ou du moins le nombre de celles qui ne se trouveront point enveloppées de tous côtés par d’autres courbes de même espèce, sera précisément le nombre des groupes de racines mentionnés dans le théorème IT, et la formule (29) du Mémoire lithographié déjà cité fournira le moyen de développer, suivant les puissances ascendantes de z, la somme des puissances semblables des racines de l’équation (5) correspondante à un même groupe. On pourra d’ailleurs supposer que le contour O00"0”..., dont il est question dans ce Mémoire, se réduit successivement à chacune des courbes de première espèce, non enveloppées par d’autres, et représentées par l'équation (8) au moment où le module T est sur le point d'acquérir une des valeurs principales (*), pour lesquelles deux ou plusieurs courbes de première espèce se réunissent, savoir, celle de ces valeurs principales qui est immédiatement supérieure au module de la valeur réelle ou imaginaire effectivement attribuée à 4 dans l'équation (5). Cela posé, on reconnaitra sans peine que les derniers termes de chaque série convergente finiront par être, ou sensiblement

(1) Nous appelons, pour abréger, valeurs principales du module T les modules des valeurs principales de £.

EXTRAIT N° 12. | 55 proportionnels, ou inférieurs à ceux d’une progression géométrique décroissante dont la raison serait le rapport entre le module effectivement attribué à £ et la valeur principale de T.

En opérant comme on vient de le dire, on se procurera le moyen de décomposer l'équation (5) en plusieurs équations particulières dont le nombre soit égal au nombre des groupes de racines mentionnées dans le théorème (3), ou même au nombre des courbes de première espèce, enveloppées ou non enveloppées par d’autres. Il y a plus, si l'on fait usage, non seulement des développements ordonnés suivant les puissances ascendantes de {, mais encore des développements ordonnés

: : à d suivant les puissances descendantes de #, ou ascendantes de 7° on

pourra évidemment décomposer l'équation (5), pour une valeur donnée du module T de #, en autant d'équations particulières qu'il y aura de courbes distinctes, soit de première, soit de seconde espèce, Correspondantes à cette valeur. Car, lorsqu'une courbe en enveloppera d’autres, on pourra déterminer la somme des racines de l'équation (5), correspondantes à des points situés sur ces diverses courbes, avec la somme des puissances semblables de ces racines, soit en tenant compte, soit en faisant abstraction des points situés sur la courbe-enveloppe, et obtenir en conséquence la somme des racines correspondantes aux seuls points situés sur la courbe enveloppe, avec la somme de leurs puissances semblables. Ce n’est pas tout, si l’une des équations (9) ou (10) admet des racines égales, on pourra développer séparément chacune des racines correspondantes de l’équation (5) suivant les puis-

: . I x sances ascendantes et fractionnaires de # ou de 7° lorsque le module

du paramètre £ sera inférieur ou supérieur aux modules de toutes ses valeurs principales. Ainsi, par exemple, si, l'équation (9) offrant m racines égales à x, le module T de £ est inférieur à tous les modules principaux de ce paramètre, alors, en posant

(11) in

on pourra développer chacune séparément, suivant les puissances as-

cendantes de +, celles des racines de l'équation (5) qui deviendratent égales à # pour £ —o. Cette proposition se déduit immédiatement du théorème II, lorsqu'on applique ce théorème à l'équation (5) résolue par rapport à 7.

Les variables æ et 4 étant supposées liées entre elles par l’équation (5), les valeurs principales de z vérifieront à la fois cette équation

et sa dérivée tr) W{x)+ 4 w{x)—0;

et les valeurs correspondantes de la variable +, c’est-à-dire Les valeurs principales de +, seront déterminées par la formule Hz). wir Hirt Ne:

5 a ue 2 (13) - ss 5 ou — EE Hz) (x) w\x)

Si dans cette dernière on écrit &æ + y ÿ—1 au lieu de +, on obtiendra l'équation

(14) Mx+yv—i) H(z+yv—i)

hi ET pe) ET qu)

à laquelle satisferont les coordonnées +, y des points de réunion ou de séparation des courbes de première ou de seconde espèce représentées par la formule (8). |

Observons encore que, dans le cas où les fonctions H(æ), &(x) sont de forme réelle, l'équation (8) peut s’écrire comme il suit :

IHx+yy—:) Hz—yv—i)

17 —— se œ(x+yv—1) w(x—yV—:)

QT RS

Si l’on pose, pour abréger,

(6) EE Te),

les équations (12), (13), dont le système détermine les valeurs prineipales de £ et de x, se réduiront à

(19) 4= f(x), l'fx)sso:

EXTRAIT N° 12. 57 Par suite, les courbes de première et de seconde espèce, correspon-

dantes à un module donné T du paramètre #, seront représentées par l'équation

(18) T= mod. f(x +yy—1),

ou, si f(x) est de forme réelle, par l'équation

(19) Te f(x +y vi) x —yy—i),

et les coordonnées des points de réunion ou de séparation de ces mêmes courbes satisferont à la condition

(20) f'(x+yy—1)= 0.

C'est au reste ce que l’on peut démontrer comme il suit :

Si, pour une valeur donnée de T, deux branches de courbes se réunissent en un point, on pourra couper ces deux branches dans le voisinage du point de réunion par une droite parallèle à celle qui a pour équation y — 0x, 0 étant une constante choisie arbitrairement, et saüsfaire à l'équation (19), non seulement par les valeurs de x, y relatives au point de la droite situé sur la première branche de courbe, mais encore en substituant à ces valeurs les coordonnées du point situé sur la seconde branche, que je supposerai désignées par æ + Ar, y + Ay, la différence finie Ay étant de la forme

(1) Ay = 0Ax.

Cela posé, si l’on nomme & le logarithme du produit Le + y vi) fx — 75),

l'équation (19) donnera non seulement

(22) u—21logT,

mais encore

(23) Au—0o, Où -——o;

Œuvres de C.—S. 1, 1. \V. e)

puis on conélura des formules (21) et (22), en faisant Converger Ax

vers la limite zéro,

quel que soit 0; par conséquent,

du on pi Or, il est aisé de voir que ces dernières équations entraînent les deux

formules

25) Fer he (On re

C’est à peu près ainsi que j'avais établi à Turin la formule (14), de laquelle j'avais déduit le théorème IT, et les autres théorèmes énoncés dans la Gazette de Piémont du 22 septembre 1852.

Si, dans l'équation (19), on attribue à æ, y les valeurs qui correspondent au point de réunion ou de séparation de deux courbes, puis d'autres valeurs très voisines correspondantes à un second point situé sur l’une des courbes et très rapproché du premier; en nommant s l'arc compté à partir du point de réunion ou de séparation, et prenant cet are s pour variable indépendante, on trouvera que, dans le passage du premier point au second, le logarithme du second membre de l’équation (19) reçoit un accroissement qui, eu ra aux formules (25), est sensiblement proportionnel à

Eee | f(x ie] (SE 5 a)

f(x +yy—1) ne f(x —yy—:1) ds? ds?

, dx dr enr É (x+yv—:i) cr ne |

Cds dt [fz+yv=n) Ha-yv—t

En égalant cet accroissement à zéro, on obtiendra une équation qui

dy fournira pour == deux valeurs dont le produit sera —1; d'où il suit

dx que deux branches de courbe, en se rencontrant, se couperont à angles

droits. On prouvera pareillement que, si r branches de courbe se réu-

nissent au même point, leurs tangentes en ce point comprendront entre elles dés angles dont chacun sera le quotient de deux angles

droits par le nombre ». En effet, si l’on pose A — 0, la valeur de 6,

relative au point dont il s’agit, sera donnée par une équation de la forme cos(c + 20) — 0, c désignant une quantité qui ne variera pas dans le passage d’une courbe à l’autre, et rendra le binôme

cosce + ÿ— 1 sinc

égal au quotient qu’on obtient quand on divise l'expression imaginaire

f'(r + yry—i)

z+yy—i) Si l’on pose

par le module de cette même expression.

(26) fe pi) este, S et P désignant deux fonctions réelles de x, y, l'équation (18) donnera simplement

Sd nd

D'ailleurs on déduira de l'équation (26) les formules

46 08 flrbyy— 1) de me = 27 Ed di dire er amet NET Ds ous smile (27) 0y 0y f(z+yy—:) 0x V 0 V (+ en 105 re dy? \ dy? 0x2 UN 0x? J” (28) { CE) Ms ip. Re dy? Ox? 0y? 0x? ?

et en vertu de celles-ci, jointes à l'équation (20), on aura, pour chaque valeur principale de T ou des,

(29) on a Op? 0x?

Donc, généralement, chaque valeur principale de T ou de $ sera tout à la fois un maximum relatif à æ, et un minimum relatif à y, ou un maximum relatif à y, et un minimum relatif à +.

On prouvera encore aisément que, si la fonction f(x) étant de forme réelle, on prend T? pour l’ordonnée d’une surface courbe, les coordonnées x, y d’une ligne de plus grande pente tracée sur cette surface vérifieront l'équation