LM, .N, PO RS LUN ON RP 0 À

quelle que soit la fonction de +, y, = désignée par &, elles peuvent être, pour plus de simplicité, présentées sous la forme

d'ftr Dale s fin] fie) + ESA Je Hu Ne

dr r dr

de Q

Enfin, si l’on désigne, à l’aide des caractéristiques D;, D,, D, D,

et de leurs puissances entières, les dérivées qu’on obtient quand on différentie une ou plusieurs fois de suite une fonction des variables

EXTRAIT N° 48. 393 indépendantes ; La Vr. 35; Es par rapport à ces mêmes variables, les équations (3) pourront s’écrire comme il suit :

RE+(M—D?)n+PéHRE +M,n,+ PE, —o, QE+Pn+(N—D')+QEË +Pn +N EE —=o.

| (LME RaEQEERE LR: + O1 —0o,

De même, en supposant les caractéristiques

déterminées par les formules

a xaf,tr)h | Gr x?df,(r)]] Pa L,=Sim,[f.(r) + Aa a fa! —Simf(n+ En] | RASE, P 8 m À Œfa(r) A sin} AK) é, O0 — R

7 ÉMEEA 4 Fr dr r dr \ Eire rt 7 x? df,(r L=S |mf f(r) + À SE a +a)l MEN A DR MEANS OS R r dr ’

on tirera des formules (9) du $ I, pour le cas où le mouvement es! infiniment petit, LE Ra e QË 4 (L, Le D?) b, LS R,n, — Q,£,— 0, (9) \ RE + Mn + K d< mr RE, + (M, mn D; )n, ER Fe 0, QE se Pa re .NË +Q,Ë, + Ron. AA (N, Te D?)é, NS On ne doit pas oublier que, dans les formules (4), (5), (3), (8),

on à

(10) FES se PUIS fe = 07,

les fonctions

OEuvres de C. — S.1,t. IV. 45

étant celles qui représentent le rapport entre l’action mutuelle de deux molécules, séparées par la distance r, et le produit de leurs masses : 1° dans le cas où les deux molécules font partie du premier des systèmes donnés; 2° dans le cas où l’une appartient au premier système et l’autre au second; 3° dans le cas où toutes deux font partie du second système.

Pour réduire les équations (6) et (9) à la forme d'équations linéaires aux différences partielles, il suffira de développer, dans les seconds membres de ces équations, les différences finies des variables princi-

pales

en séries ordonnées suivant leurs dérivées des divers ordres. On y parviendra aisément à l’aide de la formule de Taylor, en vertu de laquelle

on aura

g 4 Ây — ex Dirty Dire

quelle que soit la fonction de

Z, Jr 2 désignée par z, et par conséquent

(a 1) ob À eb:+3D,;+aD, À = eD:+yD,+2D, ‘.

Cela posé, dans les équations (6) et (9), ramenées à la forme d’équations aux différences partielles, les coefficients des dérivées des variables principales se réduiront toujours à des sommes dans chacune desquelles la masse » ou m, se trouvera multipliée sous le signe S par des puissances de x, y, z, et par une fonction de r. Ainsi, en particulier, les coefficients dont il s’agit se réduiront, dans les équations (6), à des

sommes de l’une des formes

ie SCm x2ye'zn" f{r)], $ m x ya! zn" 2e ] »

(13 S[m, x yr' ze" (r)L S [mx yn'zn" Sgen |,

C9 Qc ©c

et, dans les équations (9), à des sommes de l’une des formes

> RE 14 SE ni.x2 mn! qn" (r ; S| m x” on! qqn" d'f,tr) : d iX 3 u \ 7: Te (15) S[m x y Ze" f, { r)], S | m x ya" 70" d AA 2] , dr

n, n', n" désignant des nombres entiers.

On pourra regarder la constitution du second système de molécules comme étant partout la même, si les sommes (13), (14) se réduisent à des quantités constantes, c’est-à-dire à des quantités indépendantes des coordonnées

LS 7) 2 de la molécule m ou m,. C'est ce qui aura lieu, par exemple, quand le second système sera un corps homogène, gazeux, ou liquide, ou cristallisé. Si d’ailleurs, les molécules étant, dans le premier système, beaucoup plus rapprochées les unes des autres que dans le second, Les sommes (12) et (15) reprennent périodiquement les mêmes valeurs quand on fait croître ou décroitre en progression arithmétique chacune des trois coordonnées x, y, z, et si les rapports des trois progressions arithmétiques, correspondantes aux trois coordonnées, sont très petits ; alors, en vertu d’un théorème que nous avons établi, on pourra substituer à ces mêmes sommes leurs valeurs moyennes sans qu’il en résulte d'erreur sensible dans le calcul des vibrations du système et des déplacements moléculaires. Donc alors les équations des mouvements infiniment petits des deux systèmes, c’est-à-dire les équations (6) et (9) pourront être considérées comme des équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants entre les six variables principales Dr 6 lp 0

et les quatre variables indépendantes

De semblables équations sont propres à représenter, par exemple, les

mouvements infiniment petits du fluide lumineux renfermé dans un corps homogène, isophane ou non isophane, opaque ou transparent.

Comme nous venons de le dire, dans le cas où les sommes (12) et (15) reprennent périodiquement les mêmes valeurs, tandis que l’on fait croître ou décroîitre les coordonnées en progression arithmétique, une condition nécéssaire pour que l’on puisse sans erreur sensible substituer à ces mêmes sommes leurs valeurs moyennes, c’est que les rapports des trois progressions arithmétiques correspondantes aux trois coordonnées soient très petits. Il y a plus, si l’on veut appliquer le théorème rappelé ci-dessus, et par lequel on établit cette proposition, à un mouvement simple caractérisé par une exponentielle népérienne dans l’exposant de laquelle les coefficients des coordonnées soient imaginaires, on reconnaitra que, pour rendre légitime la substitution dontil s’agit, on doit supposer très petits, non seulement les rapports des trois progressions arithmétiques, mais encore les produits des sommes(r2) ou (15) par l’un quelconque de ces rapports.

S IL. — Mouvements simples.

Les équations (6) et (9) du paragraphe précédent peuvent être traitées comme des équations linéaires à coefficients constants, non seulement dans le cas où, la constitution des deux systèmes de molécules étant partout la même, les sommes (12), (13), (14), (15) demeurent constantes, mais aussi dans le cas où, les sommes (13), (14) étant constantes, les sommes (12), (15) varient périodiquement quand on fait croître ou décroître les coordonnées en progression arithmétique, pourvu que dans ce dernier cas les produits des sommes (12) ou (15) par le rapport de l’une quelconque des trois progressions arithmétiques correspondantes aux trois coordonnées soient très petits. Seulement, on devra, dans le dernier cas, après avoir intégré les formules (6), (9), comme si toutes les sommes (12), (13), (14), (15) étaient constantes, remplacer dans les intégrales trouvées chacune de ces sommes par sa valeur moyenne. C’est ainsi que l’on obtiendra, par exemple, les vibra-

EXTRAIT N° 48. 397 tions de la lumière dans un corps diaphane, en supposant que le rayon de la sphère d'activité d’une molécule du corps, c’est-à-dire la distance au delà de laquelle cette action devient insensible et peut être négligée. soit peu considérable relativement à la longueur d’une ondulation lumineuse.

Comme la solution de plusieurs problèmes de Physique mathématique peut dépendre de l'intégration des équations (6) et (9) du paragraphe précédent, considérées comme équations linéaires à coefficients constants, nous allons rechercher ici les intégrales de ces équations, en nous bornant pour l'instant aux intégrales qui représentent des mouvements simples, c’est-à-dire en supposant les déplacements effectifs ou du moins les déplacements symboliques tous proportionnels à une même exponentielle népérienne, dont l’exposant soit une fonction linéaire des coordonnées et du temps. |

Lorsque les sommes (12), (13), (14), (15) du $ IT demeurent constantes, alors, pour satisfaire aux équations (6) et (9) du même paragraphe, 1l suffit de supposer les variables principales

toutes proportionnelles à une même exponentielle népérienne dont l’exposant soit une fonction linéaire des variables indépendantes

X,y Jr 2, À,

et de prendre en conséquence

UX+VY +05 —$st

(1) £ Le À 0 n = B ve

Rs y + Wz— p 3— à 2—$st A Fe —+w = ner + Ê € etre —+Ww2z—S à

Tant

u, 9, W,S8, À, B, C, A, B,, C, désignant des constantes réelles ou imaginaires convenablement choisies. En effet, si l’on substitue les valeurs précédentes de

, , 2 , e £ ; ; 2 [a 1 La Sos 5: G}s

dans les équations (6) et (9) du second paragraphe, tous les termes se-

ront divisibles par l’exponentielle

UX+VY +-Wz—S$St € * ,

et après la division effectuée, ces équations seront réduites à d’autres de la forme

(£ —s)À +RB+I2C +£,A,+A&,B, + 2,0,—o, (3) RA +(IR —s2)}B+8C +AR,A,+AR,B,+EC, = 0, DA +8B +(9 —s2)C + 2,A,+ LB, + %,C—0;

| A + RB + 2C+ Léa Ti à; R,B, a ep Eee 9, 4 RA + LB + PC+R,A, + {X, — s°)B, + L,C, = 0, | DA+ 8B + XC+2,A,+L,B+(%, —s)C,—0o,

les valeurs des coefficients

Pom 0 Pr D FE A M

RE à

£ 9, / 1, æ, À 1R; 7 JT PE DIS 7L Lys dy A,

étant déterminées par les formules

; ft) s! m L r\ Te X a flr ere 1) | 5

FRS RS RACE PA TU PE | …el..:32 dfitr}| ES r dr k pa 7. r 3 ar { 2 (r inpiis est =...

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ou, ce qui revient au même, par les formules

=G+< M =G + —< TT — Fe (5) | Ÿ J du? ? J dv? J dw?