oo
dv dw à dw du” Ou 00 [ d2$# 028 f 2] EN à ) Déni Ci FRE p° 0)?
= G+ Sd M=G+ mr MG +) (6) ] a — 2, nn 0, : 26, .
1 dgvadw de EEE TT d > 2$ ne 7 9? 5 LL: = 36 re re à TT D — GT ve (7) . De ®P — 5 0 9 RATER 5 4 04 5) ' dv dw î dw du : du dv” / d?$ 222$ J25, DÉC RUeS Je En co), Re c) { PRE Lhers 2 cr Ju? ” A, ul ED a Se ? No y — Do SES (8) dd 6 oo 4 dvo0w Mr OO HT O0
les valeurs de (; 1. G» STE 6) ar Gus ne
étant respectivement
GC — SE mf{r) (etx-Fr3 +2 1) re [m,f,(r)}, PT D LE d'f{r) UXHPYHWZ done (ux +vy + wz)? | (9) ÿ =s| au r e (ux + vy +w2) :
__ at m, dfitr) (ux +vy +wz}} dr 2 :
e =S m, f, (r) es HV +wz }, (10)
Ts, =
$ = S “2 2) etx+iY HW | :
De un S
Gi, SE
= A + < Lo + = en
Gy= S}m, tr) RAT 1) Emf(r)}, FRS TR EPS : 2
m df{r) (ux + vy + wz)?
r dr 2
Or, lorsque les sommes (12), (13), (14), (15) du $ IV demeurent constantes, on peut en dire autant des valeurs de
Rd D Do D oo,
que fournissent les équations (5), (6), (7), (8), jointes aux formules (9), (10), (11), (12), et qui sont développables avec l’exponentielle
e'X+ eY+ 'Z en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de &, 6, w. Donc
alors on peut satisfaire aux équations (3) et (4) par des valeurs con-
stantes des facteurs À, B, C; 1: B , C .
Soit maintenant (13) 8 2 l'équation du sixième degré en s° que produit l'élimination des facteurs h'6 6:48 °C entre les équations (3) et (4), la valeur de 8 étant (14) S—(L£— s2)(OR —s2)(90 —s2)(£ ,— 52) [A — s2)(90, — 52) —....
Si l’on prend pour s une quelconque des racines de l'équation (13), et si d’ailleurs on désigne par :
“je. 2 UE EE PR NS À
des coefficients arbitraires, on pourra présenter les équations (3) et (4)
EXTRAIT N°48 361 sous la forme (£ —8)A HRB+9C +£,A+AB+9,C— a, (15) RA +(M —s2)B+RC +AR,A,+ALB,+RC, —88, ? À + TB + (9 re) 0 L9 A +R, +N,C, — 73;
Ë £$ A De ;RB TT in a EL, Fer a) A; &R, B, QE Pi as ? (16) { RA + AB+ ÉCHAR,A + (M, —s)B+E,C—=B6S,
DA+ PB +, NC+9,A,+C,B,+ (20, —s2)C—=7ys.
Or, en laissant à s une valeur indéterminée, on tirera de ces dernières
équations, résolues par rapport aux facteurs À, B, C, A, B,, C,,
Le = a+ MN6+ y + La + À 6,+@,7, (17) BB — Ra + M6 + Py +ha + M,6,+P,7y, | C—= a+ P6+Uy +@a +P,6, +A,y,;
| À — La à Re + © 7 Ré La, ma ki, 6, +e,),
(18) | B,—= Ra + ,M6 + Py +M,ax, + M,6,+P,7, ER ES SA RGIE My LEZ Ph Ce ENT,
et par suite
A La +UR6 +Qy+£a, +6, + @, 7, — B Ra +M6+Py+ha +M6,+ P,7, AE € Là Da +P6 +Uy +Oa +P6,+U,7, 19) TES A, ie La ee RG + dy "e 4,a, 2e ü, 6, + C,7, pre B, :
Ra + M6 + Py +U,z, +AM,6,+D,7,
Gear Pé + Ny +@,2,+p,6, + U,7, les nouveaux facteurs 4, 6 ER M LR,
étant des fonctions entières de s, toutes du huitième degré, à l'exception OEuvres de C.—S.I,t.1V. 46
des seuls facteurs CÆ 1, £
VE
qui seront du cinquième degré par rapport à s°, et du dixième par rapport à s. Donc les valeurs des facteurs
AS Be AS RE CS
déterminées par les formules (17), (18), vérifieront généralement les formules (15) et (16). Donc, lorsqu'on prendra pour s une racine de l'équation (13), elles vérifieront les formules (3) et (4), quelles que
soient d’ailleurs les valeurs attribuées aux constantes
e 2 Xy © y» N°97 2
et, celles-ci demeurant arbitraires, les valeurs des rapports
propres à vérifier les formules (3) et (4), seront précisément celles que fournit la formule (19). Si l’on suppose en particulier les constantes
Tri G JN |: Cr Sr toutes réduites à zéro, à l’exception d’une seule, la formule (19) don-
nera successivement
À SUR OA E WE GC, ÉD ne dan ne A B C À, B, GC; (20 | —= == == — = —;) MT h M p h, M: D, Li CR RC ARR ve TO à + 6) VO , HO APS PO Ré RS OR RUE. THE. OT Lo CC S 1e Re EE Pr RL RMT M BU RR À BC À D \ Er | CR ds is p, un,
EXTRAIT N° 48. 363 Les formules (1) et (2), lorsqu'on y suppose les constantes
LE 6 OS Dr
déterminées en fonctions de
par l’équation (13) jointe à la formule (19), ou, ce qui revient au
même, à l’une des six formules (20) et (21), représentent ce qu’on peut \ ze , , Sue .
nommer un système d’enteégrales simples des équations (6) et (9) du
S II. Les coefficients
dans ces intégrales simples, restent entièrement arbitraires, ainsi que
la constante A. De plus, les valeurs des diverses constantes
M. |. RS : PURE Mhe €,
et, par suite, les valeurs des variables principales LE ARE PTE di Hoi Es
tirées des formules (1), (2), peuvent être réelles ou imaginaires. Dans le premier cas, ces variables représenteront les déplacements infiniment petits des molécules dans un mouvement infiniment petit compatible avec la constitution des deux systèmes donnés. Dans le second cas, les parties réelles des variables principales vérifieront encore les équations des mouvements infiniment petits, et ce seront évidemment ces parties réelles qui pourront être censées représenter les déplacements infiniment petits des molécules dans un mouvement de vibration compatible avec la constitution des deux systèmes. Dans l’un et l’autre cas, le mouvement infiniment petit qui correspondra aux va-
leurs de ë, UE És Es A,» &
fournies par les équations (1) et (2) sera un mouvement simple dans lequel ces valeurs représenteront, ou les déplacements effectifs des molécules, mesurés parallèlement aux axes coordonnés, ou leurs dépla-
cements symboliques, c’est-à-dire des variables imaginaires dont les déplacements effectifs sont les parties réelles. Les équations (1), (2) elles-mêmes seront les équations finies, et, dans le second cas, les équations finies symboliques du mouvement simple dont il s'agit.
Si l’on pose
(22) u=U+uy—1, eV +vy—:1, w—W +wy—:, (23) s=S 4 SV-rs,
(ju Arena B=be“V—t, Cæce Vi, (25) A ae Vi, B—b eV, C= ce,
U,Y, W, UV, SES SAR LS a RUE TE Re désignant des quantités réelles, et si d’ailleurs on fait pour abréger
(26) kK == Yu2+ v? + w?, K —VU2+ V? + W}?,
(27) ki ux +vy + w2z, KR =Uz + Vy + Wz,
les formules (1), (2) donneront
| La #" cosikx — st+à), (28) {n —=be8—Sécps(kr— st+ pu), l = ce RS tecos(ls.s 84:#iv); | d'EPS cosfki Et 40), (29) | n,—=b,e RS! cos{(k: — st +), | 6, c,eKR— SE cos(kr — 51 + ,).
Comme la forme des équations (28) reste la même, quel que soit le second système de molécules, et dans le cas où ce second système disparait, il en résulte qu’un mouvement simple, susceptible de se propager à travers deux systèmes moléculaires qui se pénètrent mutuellement, est, pour chacun de ces deux systèmes, de la même nature qu'un mouvement simple capable de se propager à travers un système unique, et se réduit toujours à un mouvement par ondes planes, dans lequel
chaque molécule décrit une droite, un cercle ou une ellipse. C’est d’ailleurs ce que démontrent évidemment les formules suivantes.
On tire des équations (28) :
1° Lorsque ?X, , v sont égaux,
nu — y) + 2 sin (y — À) + LT See : b C (2) - 2: 2 COS(p — + EE | npitune 1: A6 Re um).
Pareillement, on tire des équations (29) :
1° Lorsque X,, ,, v, sont égaux,
(32) CAES RP
2° Lorsque à, ,, v, ne sont pas égaux,
. HOT ARS Éd {à sin(u, — v,) + Gin (y À,) + : sin( —p,)—=0, ae ; A, . "1, 6, €, 7. 2KR— 2854; : 2 \ (2) + = Cos(v, — u,) + (2) 4 sin?(y, — u,).
Done la ligne décrite par chaque molécule du premier ou du second système est toujours une droite représentée par la formule (30) ou (32), ou bien une ellipse représentée par les formules (31) ou (33), cette ellipse pouvant se réduire à une circonférence de cercle. Le plan invariable, auquel le plan de l’ellipse reste constamment parallèle, est d’ailleurs représenté, pour le premier système de molécules, par l’équation
(34) 2 sin(u — v) +£sin(y — À) + <sin(à — u)= 0,
et, pour le second système de molécules, par l’équation
Ne - se “:
(35) = sin(u,— v,) + sin(v, —2,) + <sin( —p,)=0.
Ajoutons que l'aire décrite, au bout du temps £, par le rayon vecteur de l’ellipse est représentée, dans le premier système de molécules, par l'expression
es (1 — e?$St) /p2c? sin?{(u —-v) + c?a? sin? {y — À) + a? b? sin?(À—pu)
et, dans le second système, par l'expression
KR e—28t) bc? sin2{u, — »,) + ca: sin?(y, — À,) + a; bi sin?(À — p.,).
Donc le rapport entre les aires décrites par les rayons vecteurs des ellipses, que parcourent deux molécules correspondantes des deux systèmes donnés, reste le même à tous les instants et dans tous les pointsde l’espace. Ajoutons que, dans le cas particulier où S s’évanouit, c'est-à-dire, où le mouvement simple est durable et persistant, chacune de ces aires croit proportionnellement au temps, puisqu'on à dans ce
cas
Fe e—2St ; 28 pe Si, en nommant “AGE FT
les cosinus des angles formés par un axe fixe avec les demi-axes des coordonnées positives, on nomme
set.
les déplacements des molécules du premier et du second système, mesurés parallèlement à l’axe fixe, on aura
u—at+ bn+cts 8, =aË, +bn,+ ci;
EXTRAIT N° 48. 307 et, en posant, pour abréger,
aa cos À + bb cos + ce cosy —hcosæ, aa,cos2,+ bb,cosu, + ec,cosy —h,cos&,, aa sin + bb sing + cc siny —h sin,
aa, sinÀ + bb,sing, + cc,siny, —h,sins,, à La
on tirera des formules (28) et (29),
KR—S£t
(39) væhe cos (ki: —s/ +5),
R— Set
(40) s— h eË cos(kr — st +w,).
En vertu de ces dernières équations, le déplacement d’une molécule, mesuré parallèlement à un axe fixe quelconque, s’'évanouit pour chaque système : 1° à un instant donné dans une suite de plans équidistants, parallèles au plan invariable que représente la formule « =o ou
(41) UX +NY + W2 = 0, la distance entre deux plans consécutifs étant la moitié de la longueur
(42) / gi
2° pour une molécule donnée, à des instants séparés les uns des autres par la moitié de l'intervalle
Ainsi cette distance et cet intervalle, qui représentent l'épaisseur d’une onde plane, ou la longueur d'une ondulation et la durée d'une vibration moléculaire, restent les mêmes pour les deux systèmes, comme le plan invariable auquel les plans de toutes les ondes sont parallèles. On peut en dire autant, non seulement de la quantité & déterminée par la for-
mule °
c’est-à-dire de la vitesse de propagation des ondes planes, mais aussi
de l’exponentielle eBR—St
qui représente Le module Au mouvement simple, et du binôme kr — st
qui en représente l'argument.
Observons encore qu’en vertu des formules (39) et (40) l'amplitude des vibrations moléculaires, mesurée parallèlement à un axe fixe donné,
sera représentée, pour le premier système, par le produit
2heSR—St
et, pour le second système, par le produit
NN mat
Cette amplitude variera donc en général dans le passage d’un système à l’autre, avec le paramètre angulaire qui correspondra au même axe fixe, et qui sera représenté par & pour le premier système, par 5, pour le second. Toutefois, le rapport des amplitudes calculées pour deux molécules correspondantes des deux systèmes, étant constamment égal
h : à : En au rapport > restera le même partout et à tous les instants. Si K et R se réduisent tous deux à zéro, les formules (39), (40) se réduiront à
(45) 8 — h cos(kr —st+5w),
46) 8,—h,cos(k:— s{+3x,), et les amplitudes des vibrations moléculaires représentées par
oh et 2h
deviendront constantes. Enfin le mouvement s’éteindra dans les deux systèmes pour des valeurs infinies de #, si la constante S diffère de zéro, et pour des valeurs infinies de R, si la constante K diffère de zéro. Ajoutons que, dans cette dernière hypothèse, Les amplitudes des vibrations moléculaires décroitront en progression géométrique avec le module
eh SE
EXTRAIT N° 49. 369 tandis que l’on fera croître en progression arithmétique les distances au plan invariable représenté par l'équation R = 0, ou
(47) Ur +Vr + Wz=o.
D'après ce qu’on vient de dire, dans un mouvement simple de deux systèmes de molécules qui se pénètrent mutuellement, il existe, pour chacun de ces deux systèmes, trois plans invariables et parallèles, le premier, aux plans des courbes décrites par les diverses molécules, le second, aux plans des ondes, le troisième, à tout plan dans lequel se trouvent renfermées des molécules qui exécutent des vibrations de même amplitude.
D'ailleurs, de ces trois plans, le second reste commun, ainsi que le troisième, aux deux systèmes de molécules, mais on ne saurait, du moins en général, en dire autant du premier.
Quant aux intégrales générales des équations (6), (9) du S IH, on les déduirait aisément des formules trouvées ci-dessus, à l’aide des principes exposés dans le présent Mémoire. Mais on les obtient plus facilement encore à l’aide des méthodes qui feront l’objet du Mémoire
suivant.
PuUYSIQUE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur l'intégration des équations linéaires.
