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Considérations générales.

C’est de l'intégration des équations linéaires, et surtout des équations Le , e N + Ë , : 9 * linéaires à coefficients constants, que dépend la solution d’un grand nombre de problèmes de Physique mathématique. Dans ces problèmes, CEuvres de C.—S.1, t. \V. 47

les variables indépendantes que renferment des équations linéaires differentielles ou aux différences partielles sont ordinairement au nombre de quatre, savoir, les coordonnées et le temps; mais les inconnues ou variables principales peuvent être en nombre quelconque, et la question consiste à trouver les valeurs générales-des variables principales quand on connait leurs valeurs initiales correspondantes à un premier instant, et les valeurs initiales de leurs dérivées. Supposons, pour fixer les idées, ces valeurs initiales connues, quelles que sôient les coordonnées. Alors la question pourrait à la rigueur se résoudre, pour un système d'équations différentielles linéaires et à coefficients constants, à l’aide des méthodes données par Lagrange, dans le cas même où ces équations offriraient pour seconds membres des fonctions de la variable indépendante. Car, après avoir réduit par l'élimination les variables principales à une seule, on pourrait, à l’aide de ces méthodes, exprimer la variable principale en fonction de la variable indépendante et de constantes arbitraires, puis assujettir la variable principale et ses dérivées à fournir les valeurs initiales données; ce qui permettrait de fixer les valeurs des constantes arbitraires, à l’aide d'équations simultanées du premier degré. On sait d’ailleurs qu’en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de La variable principale une fonction dans laquelle entrent, avec la variable principale, les racines d’une certaine équation que j’appellerai l'équation caractéristique, le degré de cette équation étant précisément l’ordre de l'équation différentielle qu’il s’agit d'intégrer. On peut donc dire, en un certain sens, que la méthode de Lagrange réduit l'intégration d’une équation différentielle linéaire à coefficients constants à la résolution de l'équation caractéristique. Toutefois, on doit observer : 1° que Lagrange est forcé lui-même de modifier sa méthode dans le cas où l'équation caractéristique offre des racines égales; 2° qu'il est bien dur pour un géomètre, qui veut suivre cette méthode, de se croire obligé à introduire dans le calcul des constantes arbitraires qui doivent être éliminées plus tard et remplacées par les valeurs initiales de la variable principale et de ses dérivées; 3° qu'il y a même quelque inconvénient, sous le rapportde la

complication des calculs, à commencer par réduire un système d’équations différentielles données à une seule, qui renferme une seule variable principale, sauf à revenir par un calcul inverse de la valeur générale de cette variable principale aux valeurs de toutes les autres. Il m'a donc paru qu’un service important à rendre, non seulement aux séomètres, mais encore aux physiciens, serait de leur fournir les moyens d'exprimer immédiatement les valeurs générales des variables principales, qui doivent vérifier un système d'équations différentielles linéaires à coefficients constants, en fonction de la variable indépendante et des valeurs initiales des variables principales et de leurs dérivées, sans avoir à établir aucune distinction et à s’occuper séparément du cas où l'équation caractéristique offre deux, trois, quatre, ..… racines égales ; j'ai déjà fait voir, dans les Exercices de Mathématiques, avec quelle facilité on atteint ce but à l’aide du calcul des résidus, quand on considère une seule variable principale déterminée par une seule équation différentielle. Je vais montrer dans ce Mémoire qu'à l’aide du même calcul on peut encore arriver au même but pour un système quelconque d'équations linéaires à coefficients constants. La simplicité de la solution est telle, qu’elle ne peut manquer, ce me semble, d’être favorablement accueillie par tous ceux qui redoutent la longueur et la complication des calculs, et qui attachent quelque prix à l'élégance ainsi qu’à la généralité des formules. Il y a plus : la méthode que je propose iei peut être étendue et appliquée à l’intégration d'un système d’équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants. Pour opérer cette extension, il suffit de recourir aux principes que j'ai développés dans le XIXE Cahier du Journal de l’École Polytechnique, et dans mes Leçons au Collège de France. En conséquence, étant donné un système d'équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants entre les coordonnées, le temps et plusieurs variables prinetpales, avec les fonctions qui représentent les valeurs initiales de ces variables principales et de leurs dérivées, on pourra immédiatement exprimer, au bout d’un temps quelconque, les variables principales en fonction des variables indépendantes, et des racines d’une certaine

équation que je continuerai de nommer l'équation caractéristique. Ainsi, dans la Physique mathématique, on n'aura plus à s'occuper de rechercher séparément les intégrales qui représentent le mouvement du son, de la chaleur, les vibrations des corps élastiques, ete. La question devra être censée résolue dans tous les cas dès que l’on sera parvenu aux équations différentielles ou aux différences partielles. Seulement les intégrales obtenues seront, dans certains cas, réductibles à des formes plus simples que celles sous lesquelles elles se présentent d’abord. Mais, comme on le verra dans ce Mémoire, et comme je l’a déjà expliqué en traitant de l'intégration d’une seule équation linéaire, on peut établir, pour cette réduction même, des règles générales. C’est ainsi, par exemple, que l'intégrale définie sextuple, à l’aide de laquelle s'exprime la valeur générale de la variable principale d’une seule équation aux différences partielles, se réduit à une intégrale définie quadruple, dans.le cas où cette équation devient homogène, ou même à une intégrale double, quand le premier nombre de l'équation caractéristique est décomposable en facteurs du second degré. On peut déjà consulter à ce sujet, dans le Bulletin des Sciences d'avril 1830, l’Extrait d’un Mémoire que j'ai présenté sur ce sujet à l’Académie.

Parmi les conséquences dignes de remarque qui se déduisent de la méthode d'intégration exposée dans ce Mémoire, je citerai la suivante.

Étant donné un système d'équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants entre les coordonnées, le temps et plusieurs variables principales, avec les valeurs initiales de ces variables principales et de leurs dérivées, on peut réduire la recherche des valeurs générales des variables principales à l'évaluation d’une intégrale définie sextuple relative à six variables auxiliaires, la fonction sous le signe f étant proportionnelle à une exponentielle dont lexposant est une fonction linéaire des variables indépendantes et réciproquement proportionnelle au premier membre de l'équation caractéristique.

En appliquant la méthode développée dans le présent Mémoire aux

équations à différences partielles qui représentent le mouvement des ondes, du son, de la chaleur, des corps élastiques, ... et généralement les vibrations d’un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, on retrouve les intégrales connues, dont les unes ont été données par M. Poisson, et les autres par moi-même, soit dans mes anciens Mémoires, soit dans ceux que j'ai présentés récemment à l’Académie. J'ajouterai que la même méthode, appliquée aux équations différentielles contenues dans mes derniers Mémoires, fournira généralement les intégrales des mouvements infiniment petits de deux ou plusieurs systèmes de molécules qui se pénètrent mutuellement dans le cas où l’on regarde comme constants les

coefficients renfermés dans ces équations différentielles.