ES ! À

il suffira, d'après ce qui a été dit dans le $ IF, de chercher ce que deviennent les valeurs générales de

relatives à la première hypothèse, quand on y remplace

É: Dar ET Tr,

el mme ir een Ge Ù; 6, €, ..., our-2) "gen par 0, O0, ss O0, %; 0, 0; «y ©; D; Applications. — Pour montrer une application des principes que nous

venons d'établir, proposons-nous d’abord d'intégrer une seule équation différentielle de l’ordre z et de la forme

ELA Rte dt din din? dt : ;

a, b,..., h, & désignant des coefficients constants, et X une fonction quelconque de £. Si l’on suppose d'abord X réduit à zéro, l'équation donnée deviendra

la valeur de v étant

V— D! +aD?-'+bD?-?+...+/AD. de k ; et par suite, si l’on pose

BE + nn + bst-2+.,. + hs+k=Ft(s),

la fonction principale 6 sera déterminée par la formule

est est 9= Ts — CFE

D'ailleurs, lorsqu'on regardera la proposée comme établissant une re-

lation entre les quantités

& 4 Ée ER), ECR),

elle se présentera sous la forme EGn) L'aËta-t) + bEG-D +, + RE +kE— 0; et, si l’on substitue dans cette dernière formule les valeurs de Do Re. Jia

fournies par les équations (8), on en conclura

VE = [(atr-0+,..+ xD? + ax D?=t)+...+ ha + aDe) + kba]V9; puis, en opérant comme si D, et v étaient des quantités véritables, me Eat +... + @ Di 24 a D?) +...+ ho + a D:) + li x].

Telle sera effectivement la valeur générale de £, que lon pourra présenter sous la forme F(D,) — F(x)

pourvu que, dans le développement du rapport

on remplace les puissances entières de x, savoir DAMES NE MR Ne me,

par les constantes arbitraires FN GS. PU ET. ER

Si, dans la dernière valeur de £, on substitue la valeur trouvée de 6, on obtiendra la formule symbolique

aient est ee A WE(#I)) à laquelle nous sommes déjà parvenus dans les Exercices de Mathemaliques.

Pour passer du cas où X s’évanouit au cas où X est fonction de #, il

Œuvres de C. — S.H, t. IV. 50

suffira d'ajouter à la valeur précédente de £ l'intégrale définie

st

J Æ dr, D]

= désignant ce que devient la valeur précédente de £ quand on y

remplace

Ü par {—:, 2, 4, ..., a? par zéro, et 2-9 par la fonction X en laquelle se transforme X en vertu de la substitution de + à #. Cela posé, soit

rh es(t—T)

© — = C((F(s))) L'équation en £ trouvée plus haut, savoir

E= (ar) +... )0,

entrainera la suivante :

et, par suite, en intégrant l’équation

dnE dr—1 Ë dn—2£ dE a den Rd dti-1 dtn-2 + VA +kE= X,

de manière à vérifier, pour { — 0, les conditions

AE res NE à CARRE (R—-1) CE — » horiial, .. dent , on trouvera F(D,) — F{« Ë Ex le+ f XC dr D, — & 6

t [l Xes(t-:) dr

est 0 sun wo) + (KF(s))

pourvu que, dans le développement du rapport qui renferme la lettre x, on remplace a°, «!',..., x1 par æ, x’, ..., a), On se trouve ainsi

ramené aux résultats déjà obtenus dans les Exercices de Mathématiques.

Proposons-nous maintenant d'intégrer les équations simultanées

dE À :

Br =£RE+Rn +DÉ+X, Les = RE + Mn + PE + Y, dé

Te = ?E+Pn HAÉE Z,

KL, OR, 9%, ®, 2, R désignant des coefficients constants, et TR Her

des fonctions de la variable indépendante s. Si l'on suppose d’abord ces fonctions nulles, les équations données se réduiront aux suivantes :

(L—D)E+Rn+Qc —o, RE+(M—D})r+PE —0o, DE+En +(IT —D?)é—o.

ën éliminant #, x, Ÿ entre ces dernières et opérant comme si D, était une quantité véritable, on obtiendra une équation résultante

Ve O0, dont le premier membre v pourra être censé déterminé par la formule

F=(D}—£)(D?—)(D}— x) — Pa (D? — £)— 22 (D? — I) — A2(D — Xe) — 2PIR.

Soit S ce que devient la valeur précédente de ÿ quand on y remplace D, par s, en sorte qu’on ait

el posons

si l’on veut déterminer les variables principales 6 1 €

de manière qu'elles vérifient, quel que soit 4, les équations données, et pour { — o les conditions

dE HT da ee e' d£ !

— = & ——— — ==?) dit ; dt * hi ds il suflira de remplacer, dans les équations données, les dérivées du second ordre fixe DPE, nie Din; dr? HA € par les différences

D?E— (a+ D) VO, D?n—(8 + 8D,)V6, D?c— (y + yD:) Ve,

puis de résoudre par rapport à

et en opérant comme si D, était une quantité véritable, les nouvelles équations formées comme on vient de le dire, savoir

(D —£L)È—Rn—26 — (x + aD,) VO,

ÀE + (D? — M) BE —(6 +6D,)V6,

—DË-Ln +(D —X)é—(y +yD,)V6.

On trouvera de cette manière