DA

2 H)(D2 — NX) — P2](a + aD,)0

UE NC D RS ET MIE M ON UT EE AT ME à MN AIN M En O0 dà MA OÙ We MU

et, en posant, pour abréger, £— (D; —M)(D} — 3) — P?, D AM — (D? — 3) (D? — £) — 2?, @—2(D—M)+RE, N— (D? —£) (D? —I) — R1, h

EXTRAIT N° 50. 397 on aura simplement

E = [(a'+ aD:) £+(8 + 6D) h + (y +yD)@10, + aD)R+(8 +6D)M+(y +7D)p]0, G=[{a'+a2D)O+(8+6D)p +(7 +7D)u]6.

Si maintenant les fonctions de 4 désignées par Ai 2

cessent d’être nulles, et si l’on nomme

ce que deviennent ces fonctions quand on y remplace la variable indépendante & par la variable auxiliaire +, alors, pour obtenir les valeurs générales de & 15 Go

il suffira d'ajouter celles qu’on vient de trouver à celles que déterminent les formules

ë =) (X£ +R +%0@) dr,

t à À (XR + TM BP) dr,

dt.

t— | (X@+Fp+L0)S dr,

la valeur de & étant

ce G

a ct)

Comptes rendus, t. VII, p. 889 (10 juin 1839). — Suite.

SIV. — /ntégration d'un système d'équations linéaires, aux différences partielles, et à coefficients constants, d’un ordre quelconque, le second membre de chaque équation pouvant étre, ou zéro, ou une fonction des variables indépendantes.

Soit donné un système d'équations aux différences partielles entre

plusieurs variables principales &, nn E; et plusieurs variables indépendantes Re Roi D

que, pour fixer les idées, nous réduirons à quatre, les trois premières x, Y, = pouvant représenter trois coordonnées, et la quatrième 4 désignant le temps. Supposons d’ailleurs que les premiers membres de ces équations soient des fonctions linéaires, à coefficients constants, des variables principales et de leurs dérivées, l’ordre des dérivées relatives à 4 pouvant s'élever jusqu'au nombre »’ pour la variable principale Ë, jusqu'au nombre x” pour la variable principale », jusqu’au nombre »” pour la variable principale Ÿ, .... Faisons, pour abréger,

Enfin nommons p (+,7,2), 4 \259Y32), U (z,7,2) +.) pifæ,Y,3), (292) dilæ, 7,3) rs HR ane ï RITES teinte «

Quri(r, V5 2), Xar(2, V2), Vuri(x,ÿ, 2), les valeurs initiales des variables principales

z, üs 0

et de leurs dérivées d’ordres inférieurs à l’un des nombres

en sorte que ces variables soient assujetties à vérifier, quel que soit 4, les équations données aux différences partielles, et pour # — 0, les

conditions Ep (x,7,3), n=x(x,7,s), Éb (vy; 2) (2) DË=oi(x,r,3), Bn=yilz;r,s)} BE lsrz) | RÉ ARR T ATEN PET TSI 0 ; \ L: él ë — Durs (er; 2}, | a Li Pres ft e (x, 2), D D} ide = as Van -1 Ce; Y, 3 }s

Pour ramener l'intégration des équations proposées à l'intégration d’un système d'équations linéaires et à coefficients constants, il suffira de recourir à la formule connue

(3) wir) — [ Pret,

de laquelle on tire, en remplaçant successivement 5{x) par 5(x, y) et par &(æ, y 3)

(+ 9 = f. 1. É Le nono —p)]ÿ—1 w (À, u) d}du dedy

27 2T __… as ST Pr AO ET , dv dydv dodw —2 —æo € D isa TES Je a ee

puis, en écrivant 5(x, y, 3,4) au lieu de &(x, y, =),

ra Eee hs LE 1: 13 ele) )-ne—5)] VTT œ (À, pv, 1) didu du dv dd

En effet, chacune des équations données sera de la forme

(6) R=vwo(z,y,2,t},

R désignant une fonction linéaire, et à coefficients constants, des va-

riables principales b; n» GC

et de leurs dérivées prises par rapport à une ou plusieurs des variables

indépendantes. D'autre part, en désignant par

JS gg h des nombres entiers quelconques, et posant, pour abréger, (7) u—uy—1, v—=vy—:1, | = w RTS on tirera généralement de la formule (4)

| DÉD£ DÉo(x, y, 3)

Le ie di sos Fe teint) pros DE nl 2 0) SEE dE dy ds RP SERRE 2T

Cela posé, si l’on nomme

ce que deviennent les variables principales É, UE 4 À ue considérées comme fonctions de æ, y, 3, {, quand on y remplace Vs: Vo 5e par . . . ’ o , . 2 - .

si, de plus, après avoir exprimé R à l’aide des caractéristiques D, D, D:, D;,

on appelle à ce que devient R, quand on remplace

EE Ne M à et les puissances entières des caractéristiques DD D:

par les puissances semblables des facteurs

on aura évidemment

(9) nf E È LE : [+ se pere du.dv dydw RTE PU

EXTRAIT N° 51. hO1

et par suite l’équation (6) pourra être représentée sous la forme PÉLLAE otre» À du du dv dudw (10) LUE fs ff LA — w(à, p, v,t}e"—2)+r0—4)+ 4 (z—») ee e ee — 0

Or, pour que la formule (10) soit vérifiée, il suffira que l'on ait R — (À, u, v, {)— 0 Ou, ce qui revient au même,

(1) A =, pt), et cette dernière formule n’est autre chose qu’une équation différentielle linéaire à coefficients constants entre les inconnues

ë, UE GC ..

considérées comme variables principales, et £ considéré comme variable indépendante. Ce n’est pas tout. Pour que les conditions (2) soient vérifiées, il suffira, en vertu de la formule (4), que l'on ait pour

DE qu pv), Da = qu pv) DEEZ Yun-i(à pv), Donc, en définitive, pour que les variables principales Ë, 1 à, possèdent la double propriété de vérifier, quel que soit #, les équations

données, et, pour 4 = o, les conditions (2), il suffira que les variables

principales auxiliaires

possèdent la double propriété de vérifier, quel que soit £, un système d'équations différentielles semblables à la formule (11), et, pour =o, les conditions (12). On pourra donc énoncer la proposition suivante :

TuéorÈme 1. — Les variables principales

E, n, à, OEuvres de C. — S.1, t, IV. 91

assujetties : 1° à vérifier, quel que soit t, un système d'équations linéaires, aux différences partielles, et à coefficients constants, ces équations pouvant

offrir pour seconds membres, ou zéro, ou des fonctions connues des variables

indépendantes Ty T Z ? l ;

2° à vérifier, pour t — 0, les conditions (2), seront, dans tous les cas, un-

médiatement déterminées par les formules

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Ec [ d [ F | Î elttw—2)+ 0-2) +w(s—»)] ÿ: . js nr