CAN

pourvu que l’on désigne par

MERE de nouvelles variables principales assujetties : 1° à vérifier, quel que soi 1. certaines équations différentielles, qui seront nommees les équations auxiliaires ; 2° à vérifier, pour t = 0, les conditions (12). D'ailleurs, pour obtenir les équations différentielles auxiliaires, il suffira d'exprimer les dérivées de &,n, C,-.., que renferment les premiers membres des équations lincaires

donnees, à l'aide des caractéristiques D, D,, D: » D. ;

puis de remplacer dans ces premiers membres

Et, mo RD mu el g FA ECS 1 par hits bi

ou, ce qu revient au même, par

UY—1, vY—1,5 w 5;

enfin de remplacer dans les seconds membres MS Hip: Dark lv.

Considérons en particulier le cas où, dans les équations linéaires

données, les dérivées de Ë, n, £, ... relatives à z se réduiraient aux dérivées du premier ordre

D.é, D:1, 1 PE RE TS

et se trouveraient simplement multipliées par des coefficients constants, indépendants de ;

et Alors les conditions (2), qui devront être vérifiées pour 4 — 0, se réduiront à

E—(x,r,2), n=Y (rx, 4); É=dir, rs) QUES

et les équations auxiliaires seront des équations différentielles du premier ordre, linéaires et à coefficients constants, auxquelles devront satisfaire les nouvelles variables principales

> é, assujetties en outre à vérifier, pour { — 0, les conditions

E=o(a,u,v), an = {à pv), Eva uv),

Or, si l’on suppose d’abord que les seconds membres des équations linéaires données s’évanouissent, on pourra en dire autant des seconds membres des équations auxiliaires; et, d’après ce qu’on a vu dans le S I, les valeurs générales de £, n, ... seront de la forme |

À, L, v)£ +x{à be v) #+...]0, À

(14) 7%) P+x(A pv) & +...10,

e désignant la fonction principale, et

il -0R AO IE AA

des fonctions entières de la caractéristique D,. D'ailleurs, pour obtenir la fonction principale 6 relative aux équations auxiliaires, on devra : exprimer, dans les équations linéaires données, les diverses dérivées de Ë,n, €, ... à l’aide des caractéristiques D,, D,, D, D,; 2° éliminer £,n,4, .… entre ces équations, comme si Dr, D,, D:, D,

désignaient des quantités véritables; 3° remplacer, dans le premier membre V de l'équation résultante

les caractéristiques D,, D,, D, par &, v, w, ce qui réduira v à une fonction de la seule caractéristique D,, puis choisir 6 de manière à vérifier, quel que soit £, l'équation différentielle V6 = o, et, pour £ — 0, les conditions 6, D,8 — 0, ous De, 1 it Si l’on nomme 8 ce que devient le premier membre v de l'équation (15), quand on y remplace, non seulement D:, D,, D: par uw, v, w, mais encore D, pars, (16) Be 9 sera ce que nous appelons l'équalion caractéristique; et la valeur de la fonction principale 6 sera

(7) - = Lys)

si l’on a choisi la fonction Ÿ de manière que le coefficient de D} s'y réduise à l'unité. Cela posé, pour obtenir les valeurs générales de

c’est-à-dire pour obtenir les formules (14), il suffira, en vertu des prin-

EXTRAIT N° 51. #05 cipes établis dans le ST, de remplacer dans les équations différentielles auxiliaires les variables

Dé, Den, par les différences DeË — o(à, u, v) VO, Den — y (à, pu, v)V0,

Y étant considéré comme une fonction de Men D:

puis de résoudre par rapport à

TE SG 1 les nouvelles équations ainsi formées en opérant comme si D, était une quantité véritable. | Concevons maintenant que, dans les équations (13), présentées sous

les formes

| C2 n æ æ à ns ; | | | : = [. $ fe . . 1. ente—2)+vir—p)+w (sr) E d? du du dy dy dx ue sé 27 27 np (18) £ fe 1 L fe fe ex—)) Hg —p)+4(z— à LE du “ie dv no

Vo R Se ae Ne Ta NV Less don CE IQ See VU Re aa Diet le wie ot ie ee EN RO S 0 Ein 2.8 #27

on substitue les valeurs de €, », ... tirées des formules (14) et (17),

sAVOIr

E= Lol») £+x(, pv) A +...] TH (19) |= Lou r)P+x(Ruvr)e +... y

V'ÉRS TeNV eee Nes eve ces pes co vie so 4 eee 00» e »

Supposons d’ailleurs qu’à chaque forme particulière d’une fonction w(x,Y,2) des trois coordonnées

TX, Vs 23

on fasse correspondre une fonction de x, y, 3, t, désignée par la seule

lettre & et déterminée par la formule

Enfin nommons