RER
les fonctions de æ, y, z, t, dans lesquelles s se transforme, quand on y remplace 5(2, u,v) par
DA UDS TIR UV. 42, de sorte qu'on ait ;
ue À ds , F eutr-h)+v(y-B)+w(z-v)+st : \ d?. du du dy dy dw Fe us sp ss (8) RON GRPTERE Ur EME Li # eU(X-N+v(y-8)+W(2—v)+st . » d}. du - dy dy dw
RE EE RE OC RO ON À RE D CU VU QU PE de PP AE de à su à DA dre RMS
et désignons par ce que deviennent
quand on y remplace
par les caractéristiques be
Les valeurs dé &, , .….. fournies par les équations (18) et (19) pourront évidemment s’écrire comme il suit :
és» dhi6is le de hihi sie
EXTRAIT N° 51. #07 pourvu que l’on transforme les fonctions de u, 6, ww, D,, désignées par EN, vd; € en fonctions des caractéristiques D>, D,, D:, D:, en y remplaçant &, 6, w par D,, D,, D.. D'ailleurs, pour déduire les
formules. (22) des formules (14), 1l suffit de remplacer dans les formules (14) les variables auxiliaires
par les variables principales
et les produits Op(a,u,v})}, Oy(A,u,v),
par les fonctions Le Er À Donc, puisqu'on arrive directement aux formules (14), quand on ré-
sout par rapport aux variables auxiliaires £, n, ..., non pas les équations différentielles auxiliaires, mais celles qu’on en déduit en remplacant
D.&, Den, par les différences DE V[Oo( ui] Den — [0 (u,v)] et considérant ÿ comme une fonction de
M: 4.0. De
on pourra encore arriver directement aux formules (21) ou (22), en résolvant par rapport aux variables principales PER RO ES
non pas les équations linéaires données, mais celles qu'on en déduit en
remplaçant LL.
to ts
par les différences D.Ë — V9, Den — Vy,
et considérant v comme une fonction de Dr, D, D:, D.
Dans l'un et l’autre cas, on devra opérer comme si les notations D, et D,, D,, D, étaient employées pour désigner de simples quantités, sauf à regarder, dans les équations définitives (14) ou (22), chacune de ces notations comme indiquant une différentiation relative à l’une des variables indépendantes 4, æ, y, =. |
Si, comme nous l’avons supposé, la fonction de D,, D,, D., D,, désignée par V, est tellement choisie que, dans cette fonction, le coefticlent de D”, c’est-à-dire de la plus haute puissance de D,, se réduise à l'unité, alors la fonction de &, 6, w, s, désignée par 8, étant développée suivant les puissances descendantes de s, offrira pour premier terme s”.
On aura donc : 1° pour m<n —1, st
2° pourm—=n—1, st—1 pe dr
Ce ((S))
in conséquence la fonction de x, y, z, t, désignée par © et déterminée par la formule (20), vérifiera, quel que soit #, l'équation aux différences partielles
(23) Vw =,
et, pour { — o, les conditions
(24) 0, Ds=e, Do RON SO NT SR, Cela posé, il suffira de résumer ce qui a été dit ci-dessus pour établir la proposition suivante :
TaéorÈmE IT. — Sorent données entre n variables principales
É UE b;
EXTRAIT N° 5. 4:09 et les variables independantes ES A l,
n équations linéaires aux differences partielles et à coefficients constants, c'est-à-dire n équations dont les premiers membres soient des fonctions linéaires des variables principales et de leurs dérivées, les seconds membres tant nuls. Supposons d'ailleurs que, parmi les dérivées relatives au temps.
celles du premier ordre, savoir D.Ë D,
sotent les seules qui entrent dans les premuers membres des équations données, et s'y trouvent multipliées par des facteurs constants, sans y être soumises à aucune différentiation nouvelle relative aux variables x, y, 3. Nommons
p(æ,7,3), Z(2,2,2, les valeurs initiales des variables principales #, n, ..., ces variables étant
assujelties à vérifier, pour une valeur nulle de t, les conditions Ex p(æ,r,3);:- n=YE,",2),
Soient encore
l'équation en D,, D,, D, D,, résultant de l'élimination de £, n, !,...entre les équations données, et
l'équation caractéristique en laquelle se transforme la précédente quand on
y remplace D; , D,, D:, De
par = 9 05, la fonction Ÿ qui sera du degré nr par rapport à D,, étant d'ailleurs choisie de manière que, dans cette fonction, le coefficient de D} se réduse à l'unité. En/in, mix, J, 3)
étant l’une quelconque des fonctions initiales
p(z,Ys3), LA > 2)s <.., OEuvres de C. — S.I,t. IV. 52
désignons par w une fonction de x,Y, =, t déterminée par la formule (20), par conséquent assujettie : 1° à vérifier, quel que soit L, l “équation aux dif-
ferences partielles Va 0
2° à vérifier, pour une valeur nulle de t, les conditions 0,0, Deso. Due <<... Des D SR
el nOMmmMmOons
ce que devient 5, quand on réduit (x, y, 3) à
Pau , \ ” x
pisse) apte, PE Te, 2 Pour intégrer les équations linéaires données, de manière à remplr les conditions requises, il su ira d'y remplacer les dérivées
D, “8 D, os par les différences DES Dim . , # , . . .
puis de résoudre par rapport à À, n, ... les nouvelles équations ainsi obte-
nues, en opérant comme st D,, D,, D., D, étaient de véritables quantites.
En raisonnant toujours de la même manière et ayant égard aux principes établis dans le $ HT, on établira encore la proposition suivante : :
TaéorÈme IT. — Soient donnees, entre plusieurs variables principales
et les variables indépendantes T, > Z, é,
des équations linéaires aux di, érences paruelles, et à coefficients constants, en nombre égal à celui des variables principales. Concevons d'ailleurs que l'ordre des dérivées de £, n, ... relatives à t puisse s'élever jusqu'à n' pour la variable principale £, jusqu'à n°" pour la variable principale , ..., les
coefficients de CPE De,
| HERRER
EXTRAIT No 51. RAI
“ant indépendants de D,, D,, D,, et se réduisant en conséquence à des
quantités constantes. Faisons #=2 + n"4; el supposons les variables principales Ent assujetlies, non seulement à verifier, quel que soit t, les équations linéaires données, mais encore à vérifier, pour t — 0, les conditions
L n \ ns 5 RM x fr re (4:51, D:Ë—=v,(x,7,3), S ME = ut, y: 2):
KE, 7,2}, ; Din yir,r, 2), .. PR NE tas (L VS) Sotent encore V—=o
l’equation en D, D,, D, D, resultant de l'élimination de £, r, ... entre
les équations données, et
SO
l'equation caractéristique en laquelle se transforme la précédente quand on y remplace D:, D,, D:, D, par Mrs,
la fonction Ÿ, qu est du degré n par rapport à D,, étant choisie de marêre que, dans cette fonction, le coefficient de D" se réduise à l'unité. Enfin, supposons la Jonction w définie, comme dans le deuxième théorème,
par conséquent déterminée par la formule (20), et rommons
Pia restes) Ont
