RS À
désignée par &(x, y, =), peut être une fonction quelconque des coordonnées æ, y, z. Si au contraire les variables indépendantes se réduisaient à une seule #, la valeur initiale de D” ‘x se réduirait à une constante, et l’on pourrait faire dépendre l'intégration des équations différentielles données de l'évaluation de 5, en supposant même que dans cette évaluation l’on attribuât à la constante une valeur particulière, par exemple, là valeur 1, ce qui reviendrait à prendre pour 5 la fonction principale 6. Cela posé, en généralisant la définition que nous
avons donnée de la function principale, on pourra désigner sous ce nom, pour un système d'équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants, la fonction 5 déterminée par la formule (20). La fonction principale étant ainsi définie, on pourra dire que les théorèmes IT et IT ramènent l'intégration d’un système quelconque d’équations linéaires, et à coefficients constants, à l'évaluation de l'intégrale définie qui représente la fonction principale.
Au reste, il est bon d'observer, d’une part, que le théorème IT peut être établi directement, comme la proposition analogue énoncée dans le $ Let relative à un système d'équations différentielles; d’autre part, que le théorème IT se déduit immédiatement du second, par des raisonnements semblables à ceux dont nous nous sommes servis dans le $ HE.
Les théorèmes IT et IT supposent que les seconds membres des équations linéaires données se réduisent à zéro. Si ces seconds membres devenaient fonctions des variables indépendantes +, y, 3, {, on pourrait appliquer à la détermination des valeurs générales de £, , ... ou le théorème I, ou la proposition suivante que l’on déduit de ce théorèeme combiné avec les principes établis dans le $ HE.
Tuéorème IV. — Soient données entre plusieurs variables principales
et les variables indépendantes
CLRRRE SOMERET à
Us
des équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants, en nombre égal à celui des variables principales. Supposons d’ailleurs que. dans les premiers membres de ces équations, les dérivées des ordres les plus
eleves par rapport à t soient respectivement
DE pour la variable principale £,
D"n pour la variable principale 1,
les coefficients de ces dérivées se réduisant à des quantités constantes, et les v ,
seconds membres des équations données pouvant étre des fonctions quet-
conques des variables indépendantes. Enfin supposons que les valeurs ini-
tiales de PURE pat
0; D,, “…..s Din,
.… ee; PRE MIT Ter.
dowent se réduire, pour t — 0, à des fonctions connues de x, y, z. Pour intégrer sous cette condition les équations linéaires données, on déterminera d'abord, à l’aide du théorème II, les valeurs générales de Ë,;-n, ... correspondantes au cas où les seconds membres des équations données s'évanoutraent; puis à ces valeurs on ajoutera celles qui auraient la propriété de vérifier, quel que soit t, les équations données, et de vérifier pour t = 0
les conditions
9, BE», Mois ; 1
DT HD, ve,
ARS à SÉRRE CE
Ces dernières valeurs de Ë, r, ... seront d’ailleurs de la forme
t { bus f =, +: H 47, EE 0 0
=, H, ... étant des fonctions de fr Ts -55 1
ct de la variable auxiliaire +, déterminées par la règle suivante.
Sotent My X,
des fonctions de x, y, z, t propres à représenter les valeurs de Det Dr
qui vérifient les équations données quand on y remplace q ÿ ]
par zero. Soient encore
X , à , = ce que deviennent L HA
quand on y remplace la variable indépendante t par la variable auxi-
liaire =. Pour obtenir les valeurs générales de ASS | SÉÉER
ul suffira de réduire à zéro les seconds membres des équations données, et
de chercher ce que deviendront alors les valeurs de
= : ne RE E U { HET ERP frr. D {| VYr Or | 1 4 PH ® , x \ f Le ae fournies par le théorème IIT, quand on y remplacera \ V E l par {—7,
et les valeurs initiales de
ans
? Le sa sp DRE D 7 Din, .., D“, De.
par Bi Sir 960 MORE
Jusqu'à présent nous avons supposé que le -premier membre v de l'équation produite par l’élimination de €, , ... entre les équations données, dans le cas où l’on remplace leurs seconds membres par zéro, était une fonction entière de D,, D,, D., D,, dans laquelle on pouvait réduire le coefficient de D} à l’unité. Cette réduction est en effet possible dans l'hypothèse que nous avions admise, savoir, lorsque, dans les équations données, les dérivées des ordres les plus élevés par rapport à £ se trouvent multipliées par des quantités constantes, sans être soumises à des différentiations relatives aux variables x, y, z. Considérons maintenant le cas général où cette réduction ne pourrait s’effectuer sans que V cessât d’être une fonction entière de D,, D,, D., et désignons par K la fonction de cette espèce qui représente généralement le coefficient de D}, dans le développement de v. Si l’on nomme :%, s ce que deviennent K, v, quand on y remplace D,, D,, D., D, par w, v, w, 8; si d’ailleurs on continue de nommer fonction principale une fonc-
(26) Ko. [l / ] f [ | EURE AE PORT CARE ENT EN EL u, y)
tion & de +, y, 3, & définie par l'équation (20), on trouvera dans le cas général : 1° pour »m<n —1,
Fe “Te 09 C ({8)) 2° pour m—n—1, F 2 s2—1 I ss mr e (LS j X ou, ce qui revient au même, S 4; € Er { le = (8)
et par suite la fonction principale, qui vérifiera toujours, quel que soit 4, l'équation (23), vérifiera, pour une valeur nulle de 4, non plus les conditions (24), mais les suivantes :
(9) mo, Dons, : Dos, Us o RD DUR Ur:
Or ces conditions, jointes à l'équation (23), ne suffiront pas pour déterminer complètement la fonction principale 5. Au reste, la seule considération de la formule (20) conduit à une conclusion du même genre. En effet, lorsque le coefficient de D? dans v, savoir K, sera foncüon de D,, D,, D., le coefficient de s”“ dans 8, savoir
sera fonction de w, #, æ et l'intégrale sextuple, comprise dans le second membre de la formule (20), ne sera plus généralement une intégrale complètement déterminée, attendu, par exemple, que la fonction sous le signe f deviendra infinie pour les valeurs de &, #, æ qui vérifieraient l'équation X = 0. Mais on tirera de la formule (20)
X di du dy dv
dy AW.
or 97
4 le
et cette dernière sera propre à fournir une valeur complètement déterminée de la fonction Ko. Si, après avoir calculé la fonction I, à l’aide
de l'équation
dy dx
LES af | NV nd. , % dàdi du dx (27) n— ol | Î LÉ a fe 2)+v(—p)+w\z—1) © (à, u, ») Ts) = —
on pose généralement (28) Kæ — Il, on pourra prendre, pour valeur générale de la fonction principale 5,
l’une quelconque de celles qui vérifieront la formule (28). À chacune d'elles correspondra un système de valeurs de
Este
que l’on pourra obtenir à l’aide des théorèmes IF, IE ou IV, et qui
vérifiera toutes les conditions énoncées dans ces mêmes théorèmes. Pour montrer une application des principes que nous venons d’ex-
poser, concevons qu'il s'agisse d'intégrer les équations simultanées
o2Ë On d?n 0Ë
pro aus: — —— O
dr dr. 7 : dd, de ou, ce qui revient au même, les équations Dr DE + D;1 — 0, D,D,5 — DE — 0, de manière que l’on ait, pour { — 0, E—q(r rh ner) On trouvera, dans ce cas, V=—D,;D,(Di +:), S—uv(s +1) IH D;D,, À = uv; par suite, la fonction principale ©, assujettie : 1° à vérifier, quel que
soit {, l'équation DeD,(D? +1)5=—0,
2° à vérifier, pour 4—0, les conditions
“SE 6; D: D; Ds —5(x, 7), Œuvres de C. — S. 1, t. IV. 53
: de
h18 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
sera définie par la formule
æ 1 an + cn NÉ ETTS RE à [ f [ eukr—à)+v0r a eu du dy dv Rs a be DRE, uv{(s?+1)) Mr 07 — D — —< — D \ FC -] à © LEA + x ne {plat tie NE di du du dv vent, sin / É [ | . eux À A 64 av (à, u.) genre En
qui n’en déterminera pas complètement la valeur et pourra être l’une
quelconque de celles qui, s’'évanouissant avec 4, vérifient l'équation
TE LOU PT en d\du du dv D: D,5 = COST [ J J Î ele 24» —p)] V—1 & (À, LL) EN vd hais Vo — 1° 1 — 00 TK 27
= siné m(x,7).
Soient pareillement », ; deux fonctions de +, y, £ qui, s'évanouissant avec 4, vérifient les équations
D,D,9— sinto(x,7y), D, D,y=sint y(x, 7).
Les valeurs générales de £, n, que l’on déduira des formules D, D,£ + D,1 pue D;Vo, D, D,n Les D. Ë — D,Vy,
en opérant comme si D,, D,, D,, v désignaient de véritables quantités, seront
E=D,(D,; Do — D,Y}, n = De(D,Dy + Do), ou, ce qui revient au même,
E— cost o(x,y) —sintD, f{(x,y) dx — X(ry,t),
n=cost (x, y) +sinéD,/f o(x,y) dy + D(x,t),
les intégrations relatives aux variables +, y étant effectuées à partir de valeurs déterminées de ces variables, par exemple, à partir de
Fe gfrmae 5 Vo, et D(x,4), X(y, &) désignant deux fonctions arbitraires de æ, £ ou de y, 1, assujetties à la seule condition de s’évanouir pour une valeur nulle de #. Il est d’ailleurs facile de s'assurer que les valeurs précé-
dentes de £, n vérifient les deux équations données aux différences partielles, et se réduisent respectivement à
p(xr) 2er)
quand on y pose / — 0.
