C. R., t. VII, p. 985 (24 juin
Considérations générales.
Après avoir montré, dans la dernière séance, ce que deviennent les équations des mouvements infiniment petits d’un ou de deux systèmes de molécules, quand elles prennent une forme indépendante de la position des axes coordonnés, je me proposais de présenter à l’Académie les formules auxquelles se réduisent, dans ce cas particulier, les intégrales générales insérées dans le dernier Compte rendu. Mais, comme chacun peut aisément effectuer cette réduction sur laquelle, d’ailleurs, je pourrai revenir soit dans un autre Mémoire, soit dans le nouvel Ouvrage qui est maintenant sous presse, et qui a pour titre : Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, j'ai pensé que, pour répondre au désir des physiciens et des géomètres, il serait mieux de traiter dès à présent les questions sur lesquelles la lettre de M. Mac-Cullagh à rappelé leur attention lundi dernier, et d’appliquer les théories génénérales, exposées dans mes précédents Mémoires, à la recherche des lois suivant lesquelles un mouvement simple, propagé dans un système homogène de molécules, se trouve réfléchi ou réfracté par la surface qui sépare ce premier système du second. Pour fixer les idées, je consi-
dère spécialement aujourd’hui le cas où chacun des systèmes donnés est du nombre de ceux dans lesquels les équations des mouvements infiniment petits prennent une forme indépendante de la direction des axes coordonnés, et dans lesquels, en conséquence, la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois, Je suppose encore qu’on peut, sans erreur sensible, réduire les équations dont il s’agit à des équations homogènes, comme on le fait dans la théorie de la lumière, lorsqu'on néglige la dispersion. Enfin, je considère un mouvement simple dans lequel la densité reste invariable. Cela posé, en joignant aux équations des mouvements infiniment petits les équations de conditions relatives à la surface de séparation de deux systèmes, obtenues par les méthodes exposées dans un précédent Mémoire, j'établis les lois de la réflexion et de la réfraction des mouvements infiniment petits. Ces lois sont de deux espèces. Les unes, indépendantes de la forme des équations de condition, ont été déjà développées dans un Mémoire antérieur sur la réflexion et la réfraction de la lumière. Elles sont relatives aux changements qu’éprouvent les épaisseurs des ondes planes et les directions de leurs plans, quand on passe des ondes incidentes aux ondes réfléchies ou réfractées. Les autres lois dépendent de la forme des équations de condition, etse rapportent aux changements que les amplitudes des vibrations des molécules, et les paramètres angulaires, propres à déterminer les positions des plans qui terminent ces ondes, éprouvent en vertu de la réflexion et de la réfraction. Elles sont exprimées par des équations finies qui renferment, avec les angles d'incidence et de réfraction, non seulement les amplitudes et les paramètres angulaires relatifs à chaque espèce d'ondes, mais encore deux constantes correspondantes à chaque milieu. Lorsque l’on suppose ces équations finies applicables à la théorie de la lumière, il suffit de réduire à l'unité la seconde des deux constantes dont nous venons de parler, et d'attribuer à l’autre une valeur réelle, pour obtenir les formules de Fresnel relatives à la réflexion et à la réfraction opérées par la première ou la seconde surface des corps transparents ; et alors il existe toujours un angle de polarisation complète,
EXTRAIT N° 54. k31 c’est-à-dire un angle d'incidence pour lequel la lumière est complètement polarisée dans le plan de réflexion. Lorsqu’en réduisant la seconde constante à l'unité, on attribue à la première une valeur imaginaire, on obtient les formules dont il est question dans une lettre adressée de Prague à M. Libri, et insérée dans le Compte rendu de la séance du 2 mars 1836, formules dont plusieurs ne différent pas au fond de celles que M. Mac-Cullagh a données dans un article publié sous la date du 24 octobre de la même année. Enfin, lorsqu’en supposant la première constante réelle ou imaginaire, on suppose la seconde différente de l'unité, alors, en considérant les formules auxquelles on arrive comme applicables à la théorie de la lumière, on trouve, dans la réflexion opérée sur la surface d’un corps transparent, une polarisation qui demeure incomplète sous tous les angles d'incidence, comme l’est effectivement la polarisation produite par le diamant, et l’on obtient, pour représenter les rayons réfléchis ou réfractés par un corps opaque, des formules-distinctes de celles que j'avais trouvées en 1836. Des expériences faites avec beaucoup de soin pourront seules nous apprendre si les phénomènes, déjà représentés avec une assez grande précision par les anciennes formules, le seront mieux encore par les autres.
Un résultat de mon analyse qui paraît digne d'être remarqué, c’est que, dans le cas où la polarisation par réflexion devient complète, la dilatation du volume de l’éther en un point donné, différentiée deux fois de suite par rapport au temps, offre une dérivée du second ordre égale à zéro, dans chacun des milieux que l’on considère. Done, si cette dilatation et sa dérivée de premier ordre s’évanouissent partout à l’origine du mouvement, excepté dans une très petite portion de l’espace, elles s’évanouiront encore au bout d’un temps quelconque. Il en résulte aussi que, dans l’éther considéré isolément ou renfermé dans des milieux qui polarisent complètement la lumière, les vibrations dirigées dans le sens des rayons lumineux ont une vitesse de propagation nulle. On peut done admettre que les vibrations de cette espèce ne se propagent pas, et demeurent circonscrites dans l’espace où elles ont pris naissance.
Quoi qu’il en soit, la bienveillance avec laquelle les géomètres et Les physiciens ont accueilli mes précédents Mémoires m’encourage à leur présenter avec confiance ce nouveau travail, dans lequel se trouve traité, pour la première fois, par des méthodes rigoureuses substituées à des formules empiriques ou à des hypothèses plus ou moins gratuites, le problème de la réflexion et de la réfraction des mouvements infiniment petits.
Pour ne pas trop allonger ce Mémoire, je me bornerai aujourd’hui à donner une idée succincte de la marche que j'ai suivie, et à établir les principales formules dont les conséquences seront développées dans un
prochain article.
SI. — Équations des mouvements infiniment petits d’un système homogène de molécules. Réduction de ces équations dans le cas où elles deviennent indépendantes de la direction des axes coordonnés.
Pour obtenir, sous la forme la plus simple, les équations des mouvements infiniment petits d’un système homogène de molécules, il suffit de réduire à zéro les variables £,, n, &,, dans les équations (6) de la page 814 (séance du 27 mai) (‘), qui deviennent alors
(L —D})E+Rn+QË—=o,
(x) an Php
QE+Pn+(N—-D')É—o.
Dans ces équations | Ë, "6
sont les trois déplacements d’une molécule, considérés comme fonctions du temps £ et des coordonnées rectangulaires +, y, 3; tandis que
peuvent être censés représenter des fonctions entières des caractéris-
tiques D;, D,, D.
Seulement, dans le cas général, ces fonctions entières, développées
(1) CŒEuvres de C. — S. 1, t. IV, p. 353.
EXTRAIT N° 54. h33 suivant les puissances ascendantes de D,, D,, D., sont composées d'un nombre infini de termes.
Dans le cas où les équations (r) prennent une forme indépendante de la direction des axes coordonnés (vorr l’article inséré dans Le Compte rendu de la séance du 17 juin, et aussi le Mémoire sur la Théorie de la lumiere, Nithographié, sous la date d'août 1836, p. 55 et 59), on a
«=E+FD,, : M=E+FD;, N=E + FD:, P — FD,D:, Q = FD-D,, R=FD,D,, E, F désignant deux fonctions entières du trinôme
D£ + D? + D;; et par suite (2) (D —E)\Ë— FD, (D? — E)n — FD, (DE EC = Fb;u,
» désignant, pour le point (x, y, =), la dilatation du volume déterminée par la formule
de laquelle on tire, en la combinant avec les équations (2),
(4) LD? — E — (D? + D? + D) FJu—o.
Soient d’ailleurs
les cosinus des angles formés par un axe fixe, prolongé dans un certain
sens, avec les demi-axes des +, y, = positives, et # le déplacement d’une molécule, mesuré parallèlement à cet axe. On aura
(5) 8 aË + bn + cé,
et l’on tirera des formules (2)
(6) (D; — E)s — {aD, + 0D,+ cD:)F», puis de celle-ci, combinée avec la formule (4),
Œuvres de C.— S.I,t.1IV.
Cr Qt
Lorsque la dilatation v et sa dérivée du premier ordre relative à £, savoir D,v, sont nulles à l’origine du mouvement, elles sont toujours nulles, en vertu de la formule (4). Alors la densité du système de molécules donné reste invariable pendant la durée du mouvement; et c’est ce qui paraît avoir lieu à l'égard des mouvements infiniment petits de l’éther qui, dans des corps isophanes, occasionnent la sensation de la lumière. Alors aussi la formule (3) donne
(8) DE + D,n + D:7 —o, et les formules {2) se réduisent à (9) (D? — E)Ë — 0, (D? — E)n = 0, (D —E)Ë = o.
Lorsque les équations des mouvements infiniment petits sont homogenes, E devient proportionnel à D, + D; + D;, et F se réduit à une constante. On peut donc alors supposer
[10) E=:(D°+ D;-+ Di) et (11) nee à
:, f désignant deux constantes réelles. Cela posé, les formules (2), (4) et (7) donneront
| [D? —:(Di+D;+Di)]E=:fDa,
4 [D?— «(Di -+ D; + Di)]n = :fD;e,
| CD? — :(D2 + D? + D?)] € Dev;
(13) LD? —4(1+6)(D5+ Di +Di)]u=o,
(14) [D? —x(D£+ Di + D5)][D? — (1 + f}(DS+ D; +Di) =.
S II. — Equations symboliques des mouvements infiniment petits. " Mouvements simples.
Les équations (1), (2), (3), (4), (7), ... du paragraphe précédent se trouvent vérifiées, si l’on prend pour
A UE Ls 8» V
les parties réelles de variables imaginaires
propres à vérifier des équations de même forme. Ces nouvelles variables sont ce qu’on peut appeler les déplacements symboliques, mesurés parallèlement aux axes coordonnés ou à un axe fixe, et la datation symbolique du volume. Les nouvelles équations dont il s’agit peuvent être pareillement désignées sous le nom d'équations symboliques. Dans le cas où les équations des mouvements infiniment petits deviendront indépendantes de la direction des axes coordonnés, on aura, en vertu des formules (2) et (3) du $ I‘,
(a) (DS— EE FD;4, (D?—E)n1—FD,v, (DE) — FD; la valeur de » étant (2) vu — D.Ë + D,n + DE ou, Ce qui revient au même, | (D? —E) Ë = FD, (DE 4:D,n + D.Ë), | { (D? —E)5 = FD, (D.Ë + D,n + D.6), (ES =FD,(D,5+ D,n-ED.6).
Un moyen fort simple d'obtenir un système d’intégrales particulières des équations (3) ou, ce qui revient au même, des équations(ri) et (2), est de supposer
(4) tre A eux+y+nz—st, 1 —= Beux+v-wz—st, £ — Ceux+v)--12—st et, par suite, UX +0) + wz—st
(5) u = (uA + vB+ wC}e ,
u, v, w,$, À, B, C étant des constantes réelles ou imaginaires, propres
à vérifier les formules
dans lesquelles
représentent ce que deviennent E, F
quand on y remplace les lettres caractéristiques
par les coefficients
D'ailleurs on pourra toujours supposer que, dans les formules (4), la partie imaginaire de la constante s est le produit de ÿ— 1 par une quantité positive.
En posant, pour abréger, (7) u? + V2+ w2— 2, on tire des équations (6), respectivement multipliées par &, 6, æ, puis binées entre elles par voie d’addition,
(8) (s2— E — $k?) (uA + vB + wC) —0;
et, à l’aide de cette dernière formule, on reconnait facilement que,
pour satisfaire aux équations (6), on devra supposer, ou
(9) s—t, uA+vB+wC—0o,
ou
: ue AR
(10) s= EE +5Fk?, M pe ne u v w
On arriverait aux mêmes conclusions en observant que, si l’on nomme 4; 6, ©
les cosinus des angles formés par un axe fixe avec les demi-axes des æ, y, 3 positives, 2 Le déplacement mesuré parallèlement à cet axe, et#le déplacement symbolique correspondant, on aura, en vertu des
formules (5), (7) du SI,
(za) 8—=at + bn + cé,
(12) (D? — E)[D?—E— (D?+ D?+ D?)E]s — 0, et que de ces dernières, combinées avec les formules (4), on tirera
Fk?) para € A
Le système d’intégrales particulières des équations (3), représente par les équations (4) jointes aux formules (9) ou (10), est ce que nous appelons un système d'intégrales simples; et le mouvement représenté par ces intégrales simples est un #ouvement simple. Dans un semblable
mouvement, si l’on pose, pour abréger,
(14) aA+bB+cC—=0,
la valeur de # déterminée par la formule (11) sera Go = Qens-+n msn
Cela posé, sotent
h6) u=U+up—r, e=Væevv =, w=W+vwv—:, (17) s—S+sy—:1, (18) D het +.
u, v, W,S, U, V, W,S, h, & désignant des constantes réelles, parmi
lesquelles ANS
peuvent être censées positives, et prenons encore
(19) k — Yu? + V2 + w:, K — YU? + V2 + W}?,
(20) ki =UxZ + v} + Wz, Ka—=Uxr +Vr+ Wz.
Les valeurs numériques de ty R
exprimeront les distances d’une molécule aux deux plans incariables,
représentés par les équations C2) UX + VY + W2Z —0,
(22) Uxz + Vr+Wz—o, et la formule (14) donnera
\ = Censs SRE NT Re (23) 8—hefs Se (ke St+w)V R
puis on en conclura
{ 4) g—h eKr—-St
(24 cos(ki — st +).
En vertu de cette dernière formule, le déplacement #s’évanouit : 1° pour une molécule donnée, à des instants séparés les uns des autres par des intervalles dont le double (25) T = 22
S est la durée d’une vibration moléculaire; 2° à un instant donné, pour toutes les molécules comprises dans des plans équidistants, parallèles au plan invariable que représente l’équation (21) et séparés les uns des autres par des intervalles dont le double (26) 1= 2 \ } k est la longueur d’une ondulation ou l’épaisseur d’une onde plane. L’ex-
ponentielle e8R—St
représente le #odule du mouvement simple,
étant les coefficients d'extinction relatifs à l’espace et au temps; 5 désigne le paramètre angulaire relatif à l’axe fixe que l’on considère,
h eSR — St
la demi-amplitude des vibrations relatives au même axe, et h
la valeur initiale de cette demi-amplitude en chaque point du plan invariable représenté par l'équation (22). Enfin la vitesse de propagation & des ondes planes est déterminée par la formule
Dans un mouvement simple, déterminé par le système des formules (4) et (0), l'équation (5) donne
(28) HU, par conséquent (29) v= 0.
Donc, dans un semblable mouvement, la dilatation du volume est nulle, ou, en d’autres termes, la densité demeure constante. Tels paraissent être, dans les corps isophanes, les mouvements de l’éther qui donnent naissance aux phénomènes lumineux.
De la seconde des formules (9) ou (10) jointe aux formules (4) on tire
(30) ui + vn + w£—o,
ou < Lo
(32) UE + vpn + wE —0,
ou
(33) ie.
vd.
1° lorsque les coefficients w, 6, æ sont réels; 2° lorsque ces coefficients
n'offrent pas de parties réelles. Dans Le premier cas, les formules (32) et (33) donneront.
(34) UE+Vn+WE—o,
ou ( 35 | € —= : ee s PA Fee { LE. À
dans le second cas elles donneront
(36) uÉ+ vn+wE—o, ou
RE 37 en us
En conséquence les vibrations moléculaires, représentées par les équations (4) jointes aux formules (9) ou (10), seront, dans le premier cas, parallèles ou perpendiculaires au plan invariable représenté par l’équation (22), et dans le second cas parallèles ou perpendiculaires au plan invariable représenté par l'équation (21).
Si les équations des mouvements infiniment petits deviennent homogenes, on aura, en vertu des formules (ro), (r1) du $ 1, (38) Cou $—1f, :, f désignant des constantes réelles, et par conséquent les valeurs de s* que fournissent les équations (9), (10) deviendront (39) s'—1KkS s?—t(1+f)#?,
ou, ce qui revient au même,
(40) s2—u{u?+v+ a), s2—ul1+f) (u?+ 02+ 2),
SE. — Sur les perturbations qu'éprouvent les mouvements simples, lorsque les équations des mouvements infiniment petits sont altérées dans le voisinage d'une surface plane.
Concevons que, les molécules qui composentle système donné étant toutes situées d’un même côté d’un plan fixe, la constitution du sys-
EXTRAIT N° 54. hat
ième, et par suite les équations des mouvements infiniment petits se trouvent altérées dans le voisinage de ce plan. Supposons, par exemple, que, toutes les molécules étant situées du côté des x positives, les équations des mouvements infiniment petits conservent constamment la même forme pour des valeurs de + positives et sensiblement différentes de zéro, mais que, dans le voisinage du plan des y, z, ces équations changent de forme sans cesser d’être linéaires, et de telle sorte que les coefficients des variables principales
