LT SE
Supposons d’ailleurs que, dans ces mêmes équations transformées d’abord en équations différentielles par la méthode développée dans un précédent Mémoire, puis ramenées au premier ordre et résolues par
rapport à 0£ 00
les produits des coefficients, ou plutôt des variations, par la distance e, restent très petits. Alors un ou plusieurs mouvements simples, propagés séparément ou simultanément dans le système donné, éprouveront, dans le voisinage du plan fixe des y, z, des perturbations en vertu desquelles les valeurs des déplacements effectifs
0e NO 2
se trouveront altérées pour de très petites valeurs positives de æ; mais,
à l’aide des principes établis dans le Mémoire dont il s’agit, on prou-
vera que les valeurs altérées et les valeurs non altérées sont liées
entre elles par certaines équations de condition qui subsistent dans le ŒEuvres de C.—S.I, t. IV. 56
voisinage du plan fixe, et spécialement pour une valeur nulle de la coordonnée æ. Entrons à ce sujet dans quelques détails.
Considérons, pour fixer les idées, le cas où, avant d’être altérées, les équations des mouvements infiniment petits sont homogènes et indépendantes de la direction des axes coordonnés. Alors les équations symboliques de ces mouvements, c’est-à-dire les équations (3) du S IH, seront, pour des valeurs de x positives et sensiblement différentes de zéro, déterminées par des équations de la forme
D rade à f D:(D.Ë ML D,1 D me D, 6),
[A (D, (D. Ë + D,1 + D. 6), =4(D;iD,54 Dan Di,
{ CD?—:(Di+ Di+ Di)]E (1) {[D?—:(D?+ D?+ D?)]n [D?—:(D?+ D?+ D?)]é
nn —
Alors aussi les déplacements symboliques, correspondants à un mouvement simple, seront, pour des valeurs de + positives et sensiblement différentes de zéro, déterminés par des équations de la forme
(2) Ë es A D n = | mena dre 6 LS CNET HwE sl,
les constantes uv) 4 265 AS À
étant assujetties à vérifier l’un des deux systèmes d'équations
(3) s’—(u?+v2+wt), uA +vB + wC-=0, 0] { A à 9 9 9 \ A B C
dans lesquels 1, f représentent deux quantités réelles. Le mouvement simple dont il s’agit sera du nombre de ceux qui ne s’éteignent point en se propageant, si les coefficients d'extinction relatifs à l'espace et au temps s’évanouissent, c’est-à-dire, en d’autres termes, si les coeffi-
cients
des variables indépendantes dans l'exponentielle
ex ++ wz —st
n'offrent pas de parties réelles, par conséquent, si l’on à
(5) UC Y-r1, U—YY—i1, W— Wy—1, 8 —Sÿ—1,
U, Y, W, s étant des quantités réelles. Le même mouvement simple sera du nombre de ceux dans lesquels la densité de l'éther reste invariable, si les valeurs précédentes de
vérifient la première des équations (3), réduite à (6 S—1{(u?+ v?+ w?),
ce qui suppose la constante « positive. C’est ce qui aura lieu, par
exemple, si, en posant pour abréger
(7) K= VER, OV, on prend (8) s—Qk.
Alors le mouvement simple sera représenté par le système des équations
Frs (ue +9 + wz 50) V1 | Ë — Aer ) À :
UX+-\) +Wz—st) 7 — BUT+ NV + er
| LE Celur + +wz-st) AR jointes à la formule (8) et à la seconde des formules (3), ou, ce qui revient au même, à la suivante :
(ro) uA + vB + wC— o.
Si d’ailleurs on pose (us) UT + VY + Wz—=kr et
(12) A—ae Vi, B—be“V—, C =: ce”V—1,
h4% . COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.
a, b, c désignant des quantités positives, et ?, u, y des ares réels, les formules (9) deviendront
œ Per PAYS AR "= Le ses Tv (ki —s RE TUE (13) E—aek st+))V ; 1 = bek st+p) ; = cek M+v)V—1, et l’on en conclura (14) E—acos(ki— s{+2), n—bcos(k: —s/+u), É—ccos(k:—st +7).
Soient maintenant
, 15 on >. HER #0 PS run et
dË dn 1: . RES
> — ÿ ne à = À] (16) Yo d 5 de "+
et nommons Ces Mes ‘Ce: 203 %0» Lo, ou
= e É ee G0> 10» Los 20: %0» Vo,
ce que deviennent, pour zéro, les valeurs des variables principales
ou
E mn & 9 % 4
déterminées par le système des formules (14) et(r15), ou (13) et (16), quand on commence par modifier ces valeurs de manière qu’elles vérifient, non plus les équations(1), mais ces équations altérées par la variation que subissent les coefficients des variables principales et de leurs dérivées dans le voisinage du plan des y, z. En vertu des principes établis dans le Mémoire ci-dessus mentionné, les différences
A mi
— Ëo, NT Nos 6 — Co, PT Pos
fl
vérifieront certaines équations de condition, et, pour obtenir celles-ci, on devra d'abord chercher les divers systèmes d’intégrales simples que
EXTRAIT N° 54. h45 peuvent représenter les équations (2), jointes aux formules (3) ou (4), quand on y regarde les coefficients
comme invariables, et devant acquérir, dans chaque système d’intégrales simples, les valeurs fournies par les trois dernières des équations (5). Or, dans cette hypothèse, on tirera des équations (3) ou (4), jointes à la formule (6) et à la première des formules (7),
(17) u?— — L?, uA + (vB+wC }V—=1=0 ou k? ne B C (18) WP N + W?-— 9 a Re + Î RE vy—1 wW V—:
Il en résulte que, dans un mouvement simple correspondant aux valeurs imaginaires données de v, 5v, s, le coefficient & peut acquérir quatre valeurs distinctes, puisqu'on peut satisfaire à la première des équations (17), en prenant non seulement
(19) en
mais encore
(20) uU——Uy—:1,
puis à la première des équations (18), en prenant
k?2 iGe r 2 (21) = (vw | V—:1 ou a (+ NN | V—1, si l’on à
et en prenant au contraire
(23) = (ets €) ou u—— (sr + we L )
\ 4) p. ee
Observons à présent que, si la formule (22) se vérifie, aucune des quatre valeurs de u n’offrira de partie réelle, et qu'en conséquence aucune d'elles n’offrira de partie réelle négative ou, en d’autres termes, inférieure à celle de
U—Uy—1.
Donc alors, en vertu des principes établis dans le Mémoire ci-dessus
rappelé, les valeurs de
relatives au mouvement simple qui correspond à la valeur précédente
de u, vérifieront, pour æ — 0, les équations de condition
(25) tte 1 == No» F0, — os X = Yo Ÿ — Vo.
Si au contraire la formule (24) se vérifie, alors des quatre valeurs de «, celle que détermine la seconde des équations (23) offrira seule une partie réelle négative. Donc alors les valeurs de E,n,.. relatives au mouvement simple dont il s’agit vérifieront, pour x — 0, les équations de condition que l’on obtiendra en supposant, dans la formule
Res cn mo" 6% bo : pr pe LEE te M OR 2 D ei eB #0 les constantes É, D Ne 2 D A choisies de manière que lon ait Re CL
ui 0, oævi, w=wyi, | à
la valeur de w étant
n) k2? À (26) = (ve MR, SE )
on aura, dans ce cas, pour x — 0,
(27) ë— 50 FL Mar: LOS 5 — 0 Fe LÉERE TN té. Pepe Vo, TO vy—-ir wy—: Ù°? —OUvVV—r —Owy—:
GS REE Fr. d, l y Oz 4 ; \ "Q ?> ; 55. \®, PB NE CRE.
