PM, 0,9 SA
à des fonctions qui soient du second degré par rapport au système des coefficients w, , æ. D'ailleurs, comme on l’a vu dans le Mémoire sur les mouvements infiniment petits d’un système de molécules, si l'on nomme T, Vs Z
les coordonnées d’une molécule m du système donné, et
THX, F+Y, 2 +2 les coordonnées d’une autre molécule mr», les valeurs de
L; JL, M; œ, Ti R
seront représentées par des sommes de termes correspondants aux diverses molécules »2 voisines de m, et dont chacun, considéré comme fonction de &, #, æ, sera proportionnel à la différence
UX HV Y +2
e té
mais s’évanouira sensiblement hors de la sphère d'activité de la molécule m. Donc, réduire les équations des mouvements infiniment petits au second ordre, c’est négliger dans le développement de cette différence, c’est-à-dire dans la somme
(ux + vy +wz)? . (ux + vy + wz) ié4 E:2,3
UX + VY + (VZ +
EXTRAIT N°55. k49
les puissances du trinôme uX + Vy +wZz
d’un degré supérieur au second. Or il sera généralement permis de négliger ces puissances, au moins dans une première approximation, si le module du trinôme ; uX + VY + wZ
reste très petit pour tous les points situés dans l’intérieur de la sphère d'activité sensible d’une molécule; et cette dernière condition sera remplie elle-même, si le rayon de la sphère dont il s’agit est très petit, par rapport aux longueurs d’ondulations mesurées dans un mouvement simple qui ne s’éteigne pas en se propageant. En effet, dans un semblable mouvement, «, v, æ seront de la forme
u=Hÿt, Y—=VYV— 1, w— Wyÿ—1,
u, v, w désignant des constantes réelles; et le plan d’une onde, parallèle au plan invariable représenté par l'équation
UD; VY + W2z — O0;
formera, avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles dont
les cosinus seront respectivement proportionnels à
tandis que l'épaisseur d’une onde sera représentée par
Ki 1 —-;
la valeur de k étant
k = yur + v?+ w?.
D'autre part, si l’on nomme r le rayon vecteur mené de la molécule m à la molécule m, et l'angle formé par le rayon vecteur 7 avec la perpendiculaire au plan d’une onde, on aura
PEN ET, js
OEuvres de C.—S.I, t. UV. 57
UX + vy + wWz = krcosû — 27 COS);
et il est clair que le produit
P* 2T I cosè
deviendra très petit en même temps que le rapport
Donc le module du trinôme
UX + VyY + wZ,
représenté dans le mouvement simple que l’on considère par la valeur numérique de la somme
Ï cos,
UX+YyY+ WZ=2T restera très petit, si le rayon vecteur r, supposé inférieur ou égal au rayon de la sphère d'activité sensible d’une molécule, est très petit par rapport à la longueur d’une ondulation.
Lorsque la condition 1e1 énoncée sera remplie, et qu'en conséquence les équations des mouvements infiniment petits pourront être, sans erreur sensible, réduites à des équations du second ordre, ces dernières renfermeront généralement des termes du premier ordre et des termes du second ordre. Il semblerait au premier abord que ceux-ci devraient encore être considérés comme très petits par rapport aux autres. Mais on doit observer que les coefficients des dérivées du premier ordre seront des sommes composées de parties, les unes positives, les autres négatives, et qui, dans beaucoup de cas, se détruiront réciproquement. C'est ce qui arrive, en particulier, quand le système de molécules est constitué de telle manière que la propagation du mouvement s'effectue en tous sens suivant les mêmes lois. Ilen résulte que, loin de négliger les termes du second ordre vis-à-vis des termes du premier ordre, on devra plus généralement négliger ceux-ci vis-à-vis des termes du second ordre, ce qui suffira pour rendre homogènes les équations du second ordre auxquelles on sera parvenu. |
EXTRAIT N°55. h51
Considérons maintenant en particulier les conditions relatives aux points situés dans le plan fixe des y, z. D'après ce qu’on à dit, ces conditions supposent qu’on obtient des produits très petits en multipliant la constante e, c’est-à-dire la distance au plan fixe, en decà de laquelle les perturbations des mouvements infiniment petits deviennent sensibles, par certains coefficients renfermés dans ces mêmes équations. D'ailleurs, en vertu des principes développés dans le Memoire qui a pour titre : Methode générale propre à fournir les équations de conditions relatives aux limites des corps, les coefficients dont il s’agit seront généralement ceux par lesquels se trouveront multipliées les variables principales
Em 6 Ps D Ÿ dans”les équations symboliques des mouvements infiniment petits, transformées d’abord en équations différentielles par la substitution des constantes
aux caractéristiques D, D, D,,
puis ramenées au premier ordre par l’adjonction des variables principales ©, y, Ÿ aux variables principales £, n, €, et résolues par rapport à
Mais il est important d'observer que, si, dans un mouvement simple, l'épaisseur | des ondes planes devient très petite, les constantes
ne 0. 4
offriront de très grands modules comparables à la quantité
Alors les dérivées
DD D SD. DL ut
seront elles-mêmes comparables aux produits KE, kn, k£;
et comme, dans les équations des mouvements infiniment petits, réduites à des équations homogènes du second ordre, puis transformées en équations différentielles, les divers termes resteront tous compaables les uns aux autres, les coefficients qui, multipliés par e, devront fournir des produits très petits, seront, dans les valeurs de
dp 0x ‘dŸ
? TErX FAT
exprimées en fonctions linéaires de
5e is À D, %» Y, je
les coefficients de ou ceux de
On peut ajouter que les coefficients de » dans la valeur de %. de +
0; re dans la valeur de SE .….., auront, dans le mouvement troublé, des va-
leurs comparables à celles qu'ils acquièrent dans le mouvement simple et non troublé, c’est-à-dire au coefficient w, par conséquent à la constante k. Done, en définitive, pour que la valeur de la distance + permette aux conditions relatives à la surface de subsister, 1l suffira que le produit
reste très petit, ou, en d’autres termes, que la distance e soit très petite relativement à la longueur d’une ondulatron.
Cette condition étant supposée remplie, les formules (25) ou (27) subsisteront, pour æ—o, dans les circonstances que nous avons.Iindiquées, si les variables
EXTRAIT N° 55. | 153 représentent les déplacements symboliques relatifs à un mouvement simple pour lequel on aurait
IL ya plus : en vertu des principes établis dans le Mémoire déjà cité, on arrivera encore aux formules (25) ou (27), si les variables
représentent les déplacements symboliques relatifs à un mouvement simple pour lequel on aurait
u——uûuV— 1,
ou même les déplacements symboliques relatifs à un mouvement résultant de la superposition de deux mouvements simples, pour lun desquels on aurait
u—U VY—1, tandis qu’on aurait pour l’autre u = u ÿ—1.
Cela posé, on pourra énoncer la proposition suivante :
Tnéorème. — Considérons un système homogéne de molécules situé, par rapport au plan des y, 7, du côté des x positives, et pour lequel les equations des mouvements infiniment pelits, indépendantes de la direction des axes coordonnés, puissent se réduire, sans erreur sensible, à des équations homogènes du second ordre, par conséquent aux formules (1). Supposons en outre que, dans le voisinage du plan des y, z, et entre les limites tres rapprochées
Fr: À es ces équations changent de forme, les coefficients des déplacements effectifs ou des déplacements symboliques et de leurs dérivées devenant alors fonc-
tions de la coordonnée x. Nommons
les derivees premières de
relatives à x, et Los 10; Co, Pos 0» Lo
ce que deviennent, pour x — 0, les valeurs de
À fn» GC 9, X Ÿ, correspondantes à un mouvement infiniment petit, propagé dans le système de molécules donné, quand on a égard aux perturbations de ce mouvement indiquées par l’altération des équations (1) dans le voisinage du plan des Y, z. Enfin, supposons que le mouvement dont il s'agit soit un mouvement simple qui ne s'éleigne point en se propageant, ou bien encore qu'il résulte de la superposition de deux mouvements simples de cette espèce, corres-
pondants aux mêmes valeurs imaginaires des coefficients
mais à des valeurs imaginaires de u, qui, étant égales au signe pres, se crouvent affectées de signes contraires. St d’ailleurs la distance + est tres
petite relativement à la longueur d'une ondulation, les valeurs de
ë; 1; b, 9, 2e 6) Ÿ, calculées comme st le mouvement simple n’éprouvait aucune perturbation dans le voisinage du plan des y, z, vérifieront, pour x = o, les conditions
(25) ou (27), savoir, les conditions
RS 1 — 10» (AE ® — %o; X — 0» A A si l’on a L > v? + w° tt 4 et les conditions EE ° n—n0 E—Co P—Po X — %o a Ÿ = do ma YY—: vu: DA — Ov y—1 — Owy—1 si l’on a k2
