C. R.,T. XXXI, p. 160 (10 février

La théorie des fonctions de variables imaginaires présente des questions délicates qu’il importait de résoudre, et qui ont souvent embarrassé les géomètres. Mais toute difficulté disparaîtra si, en se laissant guider par l’analogie, on étend aux fonctions de variables imaginaires les définitions généralement adoptées pour les fonctions de variables réelles. On arrive ainsi à des conclusions, singulières au premier abord, et néanmoins très légitimes, que j'indiquerai en peu de mots.

Deux variables réelles sont dites fonctions l’une de l’autre, lorsqu’elles varient simultanément de telle sorte que la valeur de l’une détermine la valeur de l’autre. Si les deux variables sont censées représenter les abscisses de deux points assujettis à se mouvoir sur

une même droite, la position de l’un des points mobiles déterminera la position de l’autre, et réciproquement. |

Ajoutons que le rapport différentiel de deux variables réelles est une quantité généralement déterminée, et qui néanmoins peut cesser de l'être pour certaines valeurs particulières des variables. Ainsi, par exemple, le rapport différentiel de y à æ deviendra indéterminé pour æ = 0, si l’on suppose

ER à Y = Æ SIN —:

Concevons maintenant que, æ, y étant des variables réelles et indépendantes l’une de l’autre, on pose

i étant une racine carrée de — 1; z sera ce qu’on nomme une variable imaginaire. Soit - u—p+wi

une autre variable imaginaire, # et w étant réels. Si, comme l'on doit naturellement le faire, on étend aux variables imaginaires les définitions adoptées dans le cas où les variables sont réelles, u devra être censé fonction de z, lorsque la valeur de = déterminera la valeur de u. Or il suffit pour cela que # et æ soient des fonctions déterminées de æ, y..Alors aussi, en considérant les variables réelles x et y renfermées dans z, ou les variables réelles # et æ renfermées dans 4, comme propres à représenter les coordonnées rectilignes et rectangulaires d’un point mobile Z ou U, on verra la position du point mobile Z déterminer toujours la position du point mobile U.

Si d’ailleurs on nomme 7 le rayon vecteur mené de l’origine des coordonnées au point mobile Z, et p l'angle polaire formé par ce rayon vecteur avec l’axe des x, les coordonnées polaires r et p, liées à æ, y par les équations

L'ErCOoNp, y =rsinp,

et à = par la formule

ve re,

E dihi * ice à à

tn al à

# he $ à s à

ui tm dE Dr

Me "té nt À

Es

seront ce qu'on nomme le module et l'argument de la variable imaginaire 5.

Ces définitions étant adoptées, et w étant une fonction quelconque de la variable imaginaire z, le rapport différentiel de w à = dépendra, en général, non seulement des variables réelles æ et y, ou, ce qui revient au même, de la position attribuée au point mobile Z, mais encore du rapport différentiel de y à æ, ou, en d’autres termes, de la direction de la tangente à la courbe que décrira le point mobile, lorsqu’on fera varier =. Ainsi, par exemple, comme on aura

ds = d2, si le point mobile se meut parallèlement à l'axe des >, et ds —idy,

. . . U \ D , x / si le point mobile se meut parallèlement à l'axe des y, le rapport différentiel de # à z sera, dans la première hypothèse,

D, + iD,w, et, dans la seconde hypothèse,

De + iD, :

RE Du Die:

Ajoutons que, si ces deux valeurs particulières du rapport différentiel de u à = sont égales entre elles, ce rapport deviendra indépendant de la direction suivie par le point mobile et se réduira simplement à une fonction des deux variables æ, y.

Dans ce cas particulier, on aura

par conséquent Dée+D'0—0, D£w + D? —o

et

Da+Diu—o.

Donc alors la fonction w de z sera en même temps une fonction de x, y

qui vérifiera une équation aux dérivées partielles du second ordre, et représentera une intégrale de cette équation.

C’est ce qui arrivera ordinairement, si les variables imaginaires u et z sont liées entre elles par l’équation qu’on obtient en égalant à zéro une fonction toujours continue de ces deux variables.

Les principes que je viens d'exposer confirment ce que j'ai dit ailleurs sur la nécessité de mentionner la dérivée d’une fonction de x, dans le théorème qui indique les conditions sous lesquelles cette fonction peut être développée en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de z. C’est, au reste, ce que j’expliquerai plus en détail dans un autre article, où je déduirai des principes dont il s’agit les propriétés diverses des fonctions d’une variable imaginaire et de

leurs intégrales définies.

CaLcuL INTÉGRAL. — Addition au Mémoire sur les fonctions irrationnelles,

et sur leurs intégrales définies.