C. R., T. XXXII, p. 207 (7 février

Les principes du calcul des résidus, et les formules que j'en ai déduites dans divers Mémoires, fournissent immédiatement la solution d’un grand nombre de questions importantes. S'agit-il, par exemple, de développer une fonction en une série d’exponentielles, ou plus généralement en une série dont les divers termes dépendent des diverses racines d’une équation transcendante; s’agit-il de démontrer la convergence d’une telle série, ou bien encore de transformer les fonctions à simple et à double période, et en particulier les fonctions elliptiques, en produits composés d’un nombre infini de facteurs, les formules et les théorèmes que j'ai donnés, dès l'année 1827, dans le second Volume des Exercices de Mathématiques ('}) et dans le Mémoire du 27 novembre 1831 (?), permettront d'effectuer les développements et les transformations demandées et d'établir les conditions de convergence des séries obtenues. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Soient æ, y les coordonnées rectangulaires, r, p les coordonnées polaires, et 3=x+yi reri

la coordonnée imaginaire d’un point mobile Z. Soit encore f(z) une fonction de =, dont la valeur soit unique et déterminée, quand elle ne devient pas infinie, et dont la différentielle divisée par dz fournisse un rapport qui dépende uniquement des variables réelles æ, y. Soit enfin S l'aire d’une portion du plan des æ, y; nommons PQR Ie contour qui renferme cette aire, et désignons par (S) l'intégrale ASE) dz

(1) OEuvres de Cauchy, S. I, T. VIL (2) Hbtt;: SH, T. XV.

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