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étendue à tous les points de ce contour que nous supposerons parcouru par le point mobile Z avec un mouvement de rotation direct autour de l’aire S. En vertu d’une formule que j'ai donnée dans le Mémoire de 1831 (page 9), on aura
(1) (S)=eri L(f(<)),
le signe £ indiquant la somme des résidus de /(z) relatifs aux valeurs de z qui vérifient l’équation
—— 7 Q EUR et correspondent à des points renfermés dans l'aire S.
IL est bon d'observer que l’équation (1) peut servir à déduire ou l'intégrale curviligne (S) du résidu intégral £ (/(z)), ou ce résidu lui-même de l'intégrale (S). Dans ce dernier cas, l'équation (r) doit être présentée sous la forme
Si l’on suppose que, /(z) étant une fonction transcendante, l'équation (2) offre une infinité de racines z,, 3,, 3,,... dont quelques-unes offrent des modules infiniment grands, le premier membre de l’équation (3) offrira la somme d’un certain nombre de termes d’une série simple ou multiple. Si, dans la même hypothèse, on fait croître, dans un rapport donné #, le rayon vecteur mené aux divers points du contour PQR qui renferme l'aire S, ce contour se dilatera, en demeurant semblable à lui-même, Cela posé, soient 4,, 4, ..., k, des valeurs croissantes du rapport #4; S,,S,, ...,S, les valeurs correspondantes de S, et
Os G)1 + Gos Lie" ty Di + Do+... + On
les valeurs correspondantes du résidu intégral £ (/(z)). On aura
4 VB L (4) | Gi+ +. HO
w, étant la somme des résidus relatifs à des points situés entre les
contours des aires S,,, S,; et si, pour des valeurs croissantes de », l'intégrale curviligne (S,) converge vers une limite fixe, alors, en nommant Q le rapport de cette limite au produit 27i, on verra les quantités &,, &,, ..., w, se réduire aux divers termes d’une série convergente dont Q représentera la somme, en sorte qu’on aura
(5) Gi + Do + D +... Q.
On déduit des équations (1), (3) et (5) une multitude de résultats importants, en assignant des formes déterminées soit à la fonction f(z), soit au contour PQR.
Parmi les formes qu'on peut assigner au contour PQR, on doit remarquer celle qu’on obtient quand on réduit ce contour à un polygone dont les côtés sont des droites ou des arcs de cercle. Dans plusieurs Mémoires, j'ai spécialement examiné ce qui arrive quand l'aire S se réduit soit à un rectangle, soit à un cercle décrit de l’origine avec le rayon P. Dans cette dernière hypothèse, l'équation (3) donne .
(6) d, (FU) = MP),
AU Reef ar 2
P étant une fonction de l'argument p déterminée par le système des
formules (7) | Paris) (8) SEE HEPt
et (P) étant la moyenne isotropique de P déterminée par la formule
(on MP) = f P dp.
Si, pour des valeurs croissantes de À, cette moyenne isotropique converge vers une limite fixe Q, l'équation (6) donnera
(10) dE, ()=L
Si l’on réduisait la surface S, non plus au cercle décrit de l’origine
avec le rayon R, mais à l’un des demi-cercles dans lesquels ce cerele est divisé par l'axe des æ ou par l'axe des y, alors, en désignant par
p=Pp"
P=P la valeur moyenne de la fonction P de p, entre les limites p — p', p = p’, c'est-à-dire la valeur du rapport
P dp
on obtiendrait à la place de l’équation (6) les quatre formules
. (0) (0) (AR) (0) y P=0
\ or) rene f(x) dx,
ot (f(&) RUES TT )d
que ST re iy) dy,
(0) =) CN .. TI (12) { ie %
(R) Le) PRE ; R Ces) OR e n Gr) dr.
Si, pour des valeurs croissantes de À, les quatre valeurs moyennes de la fonction p correspondantes aux demi-circonférences qui s’appuient sur l'axe des æ, ou sur l’axe des y, convergent vers des limites fixes, alors, en désignant par Q,, Q@,, Q,, Q, ces mêmes limites, on tirera des formules (11)
SR (/G)=:e, es Ha} de,
(13) (æ) n & | Ee (f(5)=:0,— — Î f(æ)dx,
et des formules (12)
L Uu=ie — 2 [ find,
UNE Le+ LE [ fGNdr Au reste, on peut déduire les formules (12) des formules (11), et les formules (14) des formules (13), en remplaçant /(z) par (13). Les formules (13), appliquées à la détermination de l'intégrale
th {(x) dx, fournissent les valeurs de plusieurs intégrales données
par Euler, Laplace, ete., et d’une multitude d’autres.
Si l’on supposait la surface S comprise entre deux courbes, et terminée : 1° par un contour extérieur PQR; 2° par un contour intérieur pgr ; alors, en nommant S, la surface enveloppée par le contour extérieur PQR, etS$, la surface enveloppée par le contour intérieur pgr, on aurait évidemment S—S,—S,, et la somme des résidus de /(z), relatifs à des valeurs de z qui correspondraient à des points renfermés dans l'aire S, serait, eu égard à la formule (3), la différence entre les
S S A: PR rapports SE Ce). Donc, en désignant cette somme de résidus par .
1) 27T d (/(z)}, on aurait ,
: (S:) — (So) (15) E Le) = 8) = Bo).
Supposons, pour fixer les idées, la surface S comprise entre les circonférences décrites de l’origine comme centre avec les rayons À et Tr, LR, et posons
(16) u 2 per; ve He, PU Ju), P=ef(9).
Alors, à la place de la formule (6), on obtiendra la suivante :
(17) ST JG)=M(P)— MP.)
rer)
EXTRAIT No 482. 311
Concevons maintenant que l’on attribue à la fonction /(z:) des formes particulières, et supposons d’abord
! étant la coordonnée réelle ou imaginaire d’un certain point T. On aura, si le point T est extérieur à la surface S,
(18) f (D = FD
et, si le point T est intérieur à la surface,
BE
(19) EEE
Dans cette hypothèse, l'équation (17), jointe aux formules (16), donnera
GT) (o(s)) vo(s) uo(u) FRS É SES che de he IE, , (20) o(£) RSR +. PRET ed t—u
D'ailleurs, le module de 4 étant, par hypothèse, supérieur au module
. Te [ [42 de w et inférieur au module de », les deux rapports ea, x seront
mnt. É — développables, le premier suivant les puissances ascendantes nulles et
positives de la variable 4, le second suivant les puissances descendantes et négatives de la même variable. Donc, sé (3) est une fonction dont la valeur, quand elle demeure finie, soit toujours unique et déterminee, et si le rapport differentiel de o(3) à la variable z dépend uniquement de cette variable, alors pour un module de t compris entre deux limites donnees r,, R, la fonction o(t) pourra être décomposée en trois
parties dont la première sera exprimée par le résidu intégral
(AR) {T) 5 r (21) FU tir, ‘ rm l— 3
tandis que les deux dernières auront pour développements deux séries tou- Jours convergentes, ordonnées l’une suivant les puissances ascendantes, l'autre suivant les puissances descendantes de la variable t. D'ailleurs, le
résidu (21) sera une somme de fractions simples, qu offriront, avec des numératleurs constants, des dénominateurs représentés ou par les diverses valeurs du binôme t — =, correspondantes à celles des racines de l'équa-
lion
ue,
dont les modules seront compris entre les limites r,, R, ou par des puussances de t — z, si quelques-unes des racines dont il s'agit deviennent égales entre elles. Cela posé, il est clair que l'équation (5) fournit simultanément la théorie de la décomposition des fractions rationnelles, ou même des fonctions transcendantes en fractions simples, la série de Taylor avec le théorème sur la convergence de cette série, et le théorème de M. Laurent.
Soit maintenant 7 une valeur particulière de 4, et supposons qu'après 9'(s) p(z) intègre les deux membres par rapport à £, à partir de 4 — +. Alors, en
avoir remplacé, dans la formule (20), la fonction &(z) par » on : P
passant des logarithmes aux nombres, on trouvera
)T, TT Le PPS l
(22) T, T, étant les sommes des deux séries convergentes ordonnées, la première suivant les puissances ascendantes et positives, la seconde suivant les puissances descendantes et négatives de #, et IE étant un produit déterminé par la formule
t\”# * 3, m, ta z, m, Ti 5! m' Poe z! m" (23) 1 s = .… à Ducs sl.
F4 sn (has l— 3 l—535
Se 7:
.… d'une part, et z’, 3", ... de l’autre, désignent
dans laquelle z,, =, ,
les valeurs de z qui vérifient comme racines, d’une part la première, d'autre part la seconde des équations
et qui, d’ailleurs, offrent des modules compris entre les limites r,, À,
tandis que m», représente le nombre des racines égales à 2,1 m, le nombre des racines égales à :,; ..., » le nombre des racines égales à 3°; ... et m la différence entre les deux nombres qui expriment, pour les deux équations dont il s’agit, combien il existe de racines égales ou inégales qui offrent des modules inférieurs à 7,. Ajoutons que les valeurs de T et T, peuvent être facilement déterminées à l’aide des formules
‘o' i: uo'(u) der RTL LE EC RAA PRES "A LAS à à 8 PM p(u) u
La formule (22) est féconde en résultats qui paraissent dignes d’attention, surtout lorsqu'on l’applique aux fonctions à double période et, en particulier, aux fonctions elliptiques. On doit remarquer le cas où l’on suppose 7, = 0, À =. Alors, en effet, comme je l’expliquerai plus en détail dans un prochain article, on déduit immédiatement de cette formule, non seulement une décomposition des fonctions elliptiques en facteurs simples que l’on peut combiner entre eux par voie de multiplication, de manière à reproduire les beaux théorèmes de M. Jacobi, mais encore un grand nombre de résultats du même genre et qui semblaient plus difficiles à obtenir.
J'examinerai aussi ce qui arrive quand on suppose
(26) f@)=30 f ett-b) op) du ou
és D (27) fs) =3() | eU—H) (x) du,
L étant une variable réelle comprise entre les limites a, b. On verra, dans cette hypothèse, les formules ci-dessus établies reproduire et même étendre les théorèmes énoncés dans le second Volume des Exercices de Mathématiques (pages 344 et suivantes) (‘), relativement
(1) OEuvres de Cauchy, S. WU, T. VIE, p. 397 et suiv. OEuvres de C., S.I,t. XI. 4o
au développement des fonctions en séries dont les divers termes dépendent des diverses racines d’une équation transcendante; et l’on remarquera que, pour démontrer facilement ces théorèmes, il est utile d'appliquer à la détermination du produit = f(z) une intégration par parties, attendu que l'on a, par exemple,
t (28) sf a Heu) du = e0 (a) —g(2)+ f e*lt—b) o'(u) du.
Ajoutons que, si l’on pose 7 (=) = 1 dans les formules (26) et (27), si d’ailleurs la fonction 4 (uw) reste finie entre les limites u — a, u —b, on tirera immédiatement des équations (14), jointes à la formule (28), les deux équations
2 t (29) (= 2 ff et-mie(u)dy du, I 2 :
(30) (= f f ert-wio(u) dy du ta so 7e
et, par suite, la formule a b (31) (of A erU-Wio(u) dy du,
qui peut être utilement substituée à celle de Fourier, eu égard à l’avantage qu'elle possède de ne renfermer qu'une seule exponen-
tielle trigonométrique.
ANALYSE. — Memoire sur l'application du calcul des résidus
a la décomposition des fonctions transcendantes en facteurs simples.
